C F TRACCIA. Dati: α = 45 β= 60 L AB = 1200 mm F = 10 kn. α B. Calcolo della varie distanze e lunghezze. Dalla analisi della figura si ricava:

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1 TRI Risolvere la struttura disegnata a lato, calcolando le reazioni vincolari e disegnando i diagrammi delle sollecitazioni. Ipotizzando gli elementi in acciaio e a sezione circolare, calcolare i diametri, verificando la resistenza a carico di punta e a fatica. alcolare lo spostamento del punto F Dati: = 5 β= 60 L = 100 mm F = 10 kn β L alcolo della varie distanze e lunghezze Dalla analisi della figura si ricava: =180 =180 60=10 e =180 = =15 φ pplicando il teorema dei seni al triangolo si ha L L LD L sen = L sen e L sen = L sen da cui L θ β LD D L = L 100 sen = sen10 = 015,3 mm sen sen15 L = L 100 sen = sen10 = 378,5 mm sen sen5 LD Dai triangoli rettangoli D e D si ha L D =L sen = 015,3 sen5 = 839,3 mm e L D = L D = 839,3 mm L D =L cos = 378,5 cos60 = 1639,5 mm nalisi isostaticità struttura La struttura è formata da due aste avente ognuna 3 gradi di libertà, per cui la struttura ha un totale di 6 g.d.l. Le cerniere esterne hanno grado di vincolo n, dove n è il numero di aste collegate al vincolo, per cui, essendo le cerniere esterne, impongono alla struttura gradi di vincolo. La cerniera interna ha (n-1) gradi di vincolo dove n è il numero di aste, in questo caso le aste sono per cui i gradi di vincolo saranno (-1)= I gradi di vincolo presenti sono quindi 6 come i gradi di libertà. L'uguaglianza dei due gradi, di vincolo e di libertà, è condizione necessaria ma non sufficiente per garantire l'isostaticità della struttura; è necessario effettuare anche una analisi cinematica per verificare se ci sono o meno labilità; nel caso in esame è facile verificare che per le aste non ci sono possibilità di movimento, per cui la struttura è isostatica Esercizio alcolo aste struttura a 3 cerniere - armine Napoli pag. 1 di 8

2 alcolo delle reazioni vincolari Si disegna il corpo libero associato, sostituendo ai vincoli le reazioni vincolari. Si applicano le equazioni cardinali della statica F x = 0 R x R x = 0 F y = 0 R y R y F = 0 M z = 0 R y L F L D = 0 ( rispetto al punto ) LD F Risolvendo il sistema si ottiene Rx Ry L Rx Ry LD D R y = F L D ,3 = = 3660,8 N L 100 R y = R y F = 3660, = 13660,8 N Per calcolare R si deve tener presente che la sua direzione coincide quella dell'asta, inclinata di 5 gradi rispetto all'orizzontale. Dal grafico a lato è facile ricavare che R X = R Y = 13660,8 N Infine si ottiene: R x = R x = 13660,8 N in modulo Le forze agenti sulle due aste saranno: R = R x cos = 13660,8 cos5 = 19319,3 N R = R x cos = 13660,8 cos60 = 731,6 N L'asta è sottoposta a trazione mentre l'asta è sottoposta a compressione R Rx Ry Scelta del materiale e grado di sicurezza Si sceglie un acciaio Fe 590 bonificato avete le seguenti caratteristiche: r = 590 N mm s = 315 N mm D = 95 N mm s = 315 r 590 = 0,530,7 lim = s si impone un grado di sicurezza non inferiore a per cui si ha = am = s = 315 = 157,5 N mm Esercizio alcolo aste struttura a 3 cerniere - armine Napoli pag. di 8

3 alcolo diametri Per rendere la struttura più rigida si fa l'ipotesi di utilizzare tubi supponendo che sia D i D e =0,9 l'area è D = e D i = D e 0,9 D e = D e 0,81 D e = 0,19 D e sta L'asta è un tirante, essa e sottoposta alla sola sollecitazione di trazione La tensione è: 1 = R = R 1 0,19 D 1e pplicando l'equazione di stabilità max am R 0,19 D am 1 e D 1 e R = 0,19 am 19319,3 = 8,67 mm 0,19 157,5 si sceglie un diametro D 1e = 30 mm ed uno spessore di 1,5 mm 1 = D 1e D 1i = 30 7 = 13,30 mm sta Per i calcolo del diametro si deve tener conto del fatto che l'asta e soggetta a compressione per cui la si deve verificare anche a carico di punta Si calcola il diametro facendo riferimento alla compressione = R = R 0,19 D e max am R 0,19 D am e D e R = 0,19 am 731,6 = 3,10 mm 0,19 157,5 Tra i diametri disponibili si sceglie un diametro di 35 mm con uno spessore di 1,8 mm Esercizio alcolo aste struttura a 3 cerniere - armine Napoli pag. 3 di 8

4 Verifica a carico di punta alcolo del raggio di inerzia I min = D e D i = 35 31, = 593,07 mm 6 6 = D e D i = 35 31, = 187,7 mm = I min = 593,07 187,7 = 11,76mm L'asta risulta incernierata alle due estremità per cui la lunghezza libera di inflessione l 0 è proprio pari alla lunghezza dell'asta, il rapporto di snellezza vale: = l 0 = 378,5 11,76 = 78,78 con questo valore della snellezza è necessario effettuare la verifica a carico di punta. La formula di Eulero per il calcolo della forza critica è P cr = E I l 0 deve essere soddisfatta valere la relazione p cr cr P E I min P cr l 0 dove E è il modulo di Young essendo il materiale acciaio si ha E = N/mm I min è il momento di inerzia minimo, nel caso in esame I min = 593,07' mm l 0 è la lunghezza libera di inflessione, essendo l'asta è vincolata con due cerniere si ha l 0 = l = 378,5 mm γ è il coefficiente di sicurezza che poniamo pari a 3 da cui I min = P l 0 E = 731,6 378,5 3 = 5068,301 mm dalla definizione del momento di inerzia I x = D e D i = D e 0,9 D e = D e 6 6 si ha 1 0,9 D e = I min 6 0,339 = 5068,301 6 = 70,8 mm 0,339 si deve scegliere un diametro di 76,1 mm con uno spessore di 5 mm 6 = 0,339 D e 6 Esercizio alcolo aste struttura a 3 cerniere - armine Napoli pag. di 8

5 Le I min = D e D i = 76,1 66,1 = 7090,30 mm 6 6 = D e D i = 76,1 66,1 = 1116,8 mm = I min = 7090, ,8 = 5,0mm snellezza = l 0 = 378,5 5,0 = 130,10 cr = E = ,10 =1,5 N mm valore inferiore alla tensione di snervamento alcolo dello spostamento punto alcolo con analisi geometrica Si pone l 1 = l = 015,3 mm e l = l = 378,5 mm L'asta, sottoposta a trazione, si allunga di Δl 1 mentre l'asta, sottoposta a compressione, si accorcia di Δl La deformazione nel caso di trazione-compressione è l= F l E 1 = D 1e D 1i = 30 7 = 13,30 mm l 1 = R l 1 E 1 = 19319,3 015,3 =,75 mm ,30 y x 1 l = R l E = 731,6 378,5 =0,38 mm ,8 L1 L1e l 1 e l 1 =015,3,75=018,05mm L l e l =378,1 0,38=378,1mm applicando il teorema di arnot al triangolo 1 è possibile ricavare l'angolo 1 1 L0 1 =arccos l 1 el 0 l e =arccos 018, ,1 =,83 l 1e l 0 018, y=l 1 e sen 1 l 1 sen=018,05 sen,83 015,3 sen5= 6,33mm x=l 1e cos 1 l 1 cos=018,05 cos,83 015,3 cos5=10,0 mm Esercizio alcolo aste struttura a 3 cerniere - armine Napoli pag. 5 di 8

6 alcolo con il metodo dell'energia pplicando la forza F la struttura si deforma ed il punto si sposta nel punto 1 la forza F compie un lavoro mentre le due aste si deformano e, essendo in condizioni di elasticità, accumulano una certa energia di deformazione (si comportano come delle molle), il lavoro e le energie accumulate sono uguali. Posto L d il lavoro fatto dalla forza, U 1 l'energia accumulata dall'asta 1 e U l'energia accumulata dall'asta si ha: L d =U 1 U Le due energie saranno: U 1 = R l 1 = 19319,3 015,3 = 6568, Nmm E ,30 U = R l = 731,6 378,5 = 517,3 Nmm E ,8 La formula del lavoro è L d = 1 F y y= U 1U F = 6568,517,3 =6,35mm Valore quasi uguale a quello trovato in precedenza. alcolo con il principio dei lavori virtuali. Si usa il P.L.V. per calcola lo spostamento orizzontale della cerniera. Si pone nella cerniera una forza orizzontale F 1 come nel disegno a lato F1 Nella stessa cerniera agiscono oltre a F 1 anche le reazioni R 1 ed R 1 agenti sulle due aste e ; esse avranno come direzione la direzione delle rispettive aste. Imponendo la condizione di equilibrio della cerniera le forza agenti devono formare un poligono chiuso come riportata nella figura che segue. Per il teorema dei seni si ottiene: F 1 sen = R 1 sen = R 1 sen φ R 1 =F 1 sen sen =F 1 sen10 sen15 =F 1 3,35 N R 1 =F 1 sen sen =F 1 sen5 sen15 =F 1,73 N R1 F1 R1 β nche i questo caso l'asta è sottoposta a trazione mentre l'asta è soggetta a compressione Esercizio alcolo aste struttura a 3 cerniere - armine Napoli pag. 6 di 8

7 pplicando il principio dei lavori virtuali si ha: F 1 x= R R 1 E 1 dz R R 1 E F 1 x= R F 3,35 L 1 R F,73 L 1 E 1 E semplificando la F1 e sostituendo i rispettivi valori si ottiene: x= 19319,3 3,35 015, valore molto prossimo a quello trovato in precedenza. dz 731,6,73 378,5 =9,1,0=10,6 mm ,8 Esercizio alcolo aste struttura a 3 cerniere - armine Napoli pag. 7 di 8

8 pplicando il teorema dei seni ai triangoli formati dalla forza e dalle sue componenti si ricava il valore delle Forza R ed R ( in kn) R = 10 sen135=7,3 kn sen15 R = 10 sen135=1,1 kn sen30 30 F 135 R R 15 Esercizio alcolo aste struttura a 3 cerniere - armine Napoli pag. 8 di 8