EQUAZIONE DELLA LINEA ELASTICA

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1 ESERCIZI SVOLTI O CON TRACCIA DI SOLUZIONE SU EQUAZIONE DELLA LINEA ELASTICA v 0.9

2 Calcolare lo spostamento verticale del pattino A della struttura utilizzando l equazione della linea elastica. Materiale: acciaio (E=0 GPa) (Prova scritta 5 luglio 0) Utilizziamo N e mm come unità di misura. Si avrà allora E = 0000 N/mm 8 J = = 887. mm Le reazioni vincolari al carrello a terra in B (R B ) ed al pattino a terra in A (M A ) possono essere calcolate con semplici equazioni di equilibrio della trave (per esempio alla traslazione in direzione verticale ed alla rotazione intorno al carrello B). Si ricava R B = 50 N ed M A = 50 Nmm.

3 Per calcolare lo spostamento verticale del pattino A è sufficiente scrivere l equazione della linea elastica nel tratto A-B. L equazione generale della linea elastica è la seguente ( ) M y' '=, valida per le seguenti convenzioni di segno: Scegliendo l origine delle ascisse in A, come dalla figura seguente, l equazione del momento flettente nel tratto A-B può essere scritta come: M ( ) = 50 + per 0 < < 00

4 L equazione della linea elastica nel tratto A-B (0<<00) vale pertanto 50 + y '' = per 0 < < 00 da cui y'' = + 50 () e, integrando in sequenza, y' = C () y = C + C () Le costanti C e C si possono determinare imponendo le opportune condizioni al contorno nel tratto A-B (0<<00): a) b) Nel punto A (=0), in corrispondenza del pattino, la rotazione della linea d asse della struttura deve essere nulla (il pattino non permette la rotazione della trave) Nel punto B (=00), in corrispondenza del carrello, lo spostamento verticale della linea d asse della struttura deve essere nullo (il carrello non permette spostamenti verticali) _ y ' = 0 in = 0 _ y = 0 in = 00 Imponendo la condizione a) nell equazione () si ricava: 0 0 = C e dunque C = 0 Imponendo la condizione b) nell equazione (), ed essendo C =0, si ricava:

5 = C 00 + C = C da cui C = + 50 = 7.97E6 L equazione () si può quindi scrivere come: y = E6 ed anche come y = E6 Lo spostamento verticale y del pattino si può quindi ricavare dalla precedente equazione imponendo il valore =0: y E6 = E6 0. mm + = = Poichè il valore di y è negativo, lo spostamento è diretto verso l alto (per le convenzioni scelte, y è positivo se diretto verso il basso). La deformata qualitativa (e non in scala) della struttura è rappresentata nella figura seguente. 5

6 Data la trave di figura (Alluminio; E = 70 GPa), si richiede di determinare l equazione della linea elastica nel tratto A-B e di calcolare (sfruttando l equazione della linea elastica) lo spostamento verticale della sezione C. (Prova scritta 8 gennaio 0) Nm N/mm C 6 8 A B 0 Utilizziamo N e mm come unità di misura. Si avrà allora E = N/mm π 6 π 8 J = = 06 mm Nmm N/mm 6 8 A B R A R B Le reazioni vincolari al carrello a terra in B (R B ) ed alla cerniera a terra in A (R A ) possono essere calcolate con semplici equazioni di equilibrio della trave (per esempio alla rotazione intorno al punto A ed alla traslazione in direzione verticale). Si ricava R A = 6 N ed R B = -06 N. 6

7 Nmm N/mm A B 6 N 06 N Per calcolare lo spostamento verticale della trave nel punto C è sufficiente utilizzare l equazione della linea elastica nel tratto A-B. L equazione generale della linea elastica è la seguente ( ) M y' '=, valida per le seguenti convenzioni di segno: Scegliendo l origine delle ascisse in B, come dalla figura seguente, Nmm N/mm A B 6 N 06 N l equazione del momento flettente nel tratto B-A può essere scritta come: 7

8 M ( ) = 06 per 0 < < 00 L equazione della linea elastica nel tratto B-A (0<<00) vale pertanto y '' = = + per 0 < < 00 da cui y' ' = 06 ( ) e, integrando in sequenza, y' = 06 + C () y = 06 + C + C 6 () Le costanti C e C si possono determinare imponendo le opportune condizioni al contorno nel tratto B-A (0<<00): a) b) Nel punto B (=0), in corrispondenza del carrello, lo spostamento verticale della linea d asse della struttura deve essere nullo (il carrello non permette spostamenti verticali) Nel punto A (=00), in corrispondenza della cerniera, lo spostamento verticale della linea d asse della struttura deve essere nullo (la cerniera non permette spostamenti verticali) _ y = 0 in = 0 _ y = 0 in = 00 Imponendo la condizione a) nell equazione () si ricava: 0 0 = 06 + C 0 + C = C 6 e dunque C = 0 Imponendo la condizione b) sempre nell equazione (), ed essendo C =0, si ricava: 8

9 da cui 00 = C C = L equazione () si può quindi scrivere come: y = ed anche come y = Lo spostamento verticale y della linea d asse della trave nel punto C si può quindi ricavare dalla precedente equazione imponendo il valore =70 (poichè l origine delle è in B): 70 y = = ( 6.07E6) = 0. mm Poichè il valore di y è negativo, lo spostamento è diretto verso l alto (per le convenzioni scelte, y è positivo se diretto verso l alto). La deformata qualitativa (non in scala) della struttura è rappresentata nella figura seguente. 9

10 Calcolare la rotazione (in gradi) della linea d asse della struttura nel punto A utilizzando l equazione della linea elastica. Materiale: acciaio (E=0 GPa) (Prova scritta gennaio 00) Utilizziamo N e mm come unità di misura. Si avrà allora E = 0000 N/mm 8 6 J = + = 995. mm Le reazioni vincolari al pattino a terra C (M C ) ed alla cerniera a terra B (R B ) possono essere calcolate con semplici equazioni di equilibrio della trave (per esempio alla traslazione in direzione verticale ed alla rotazione intorno al punto B). Si ricava R B = 00 N ed M C = -500 Nmm. 0

11 C A N/mm 500 Nmm 0 B N Per calcolare la rotazione della trave nel punto A possiamo scrivere l equazione della linea elastica nel tratto C-B. L equazione generale della linea elastica è: ( ) M y' '=, valida per le seguenti convenzioni di segno: Scegliendo l origine delle ascisse in C, come dalla figura seguente, C N/mm 500 Nmm B N l equazione del momento flettente nel tratto C-B può essere scritta come: M ( ) = 500 per 0 < < 0

12 L equazione della linea elastica nel tratto C-B (0<<0) vale pertanto y '' = = per 0 < < 0 da cui y' ' = 500 () e, integrando in sequenza, y' = C () y = C + C () Le costanti C e C si possono determinare imponendo le opportune condizioni al contorno nel tratto C-B (0<<0): a) b) Nel punto C (=0), in corrispondenza del pattino, la rotazione della linea d asse della struttura deve essere nulla (il pattino non permette la rotazione della trave) Nel punto B (=0), in corrispondenza della cerniera, lo spostamento verticale della linea d asse della struttura deve essere nullo (la cerniera non permette spostamenti verticali) _ y ' = 0 in = 0 _ y = 0 in = 00 Imponendo la condizione a) nell equazione () si ricava: 0 = C e dunque C = 0 Imponendo la condizione b) nell equazione (), ed essendo C =0, si ricava: 0 0 = C da cui 0 C = 500 =.5E7

13 L equazione () si può quindi scrivere come: y' = 500 ed anche come y' = (500 ) La rotazione della linea d asse della trave nel punto A è espressa dal valore della y in =0: 80 y ' = (500 0) = = rad = ( ) = π α = 0.07 La deformata qualitativa (e non in scala) della struttura è rappresentata nella figura seguente. L equazione (), y = 500.5E7, permette invece di determinare lo spostamento δ del punto A, calcolando il valore di y per = 0 mm: 0 y = 500.5E7 = 0. 08mm δ = 0.08 mm