C.BRUTTI Ordinario di Progettazione Meccanica e Costruzione di Macchine ELEMENTI COSTRUTTIVI DELLE MACCHINE ESERCIZI E APPROFONDIMENTI

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1 .BRUTTI Ordinario di Progettazione eccanica e ostruzione di acchine EEENTI OSTRUTTIVI DEE HINE ESERIZI E PPROFONDIENTI

2 P.1 RIHII DI ENI DEE STRUTTURE 1.1 Deformazione di una trave isostatica Questo esercizio riguarda il paragone tra la limitazione della resistenza e quella della deformazione per una trave appoggiata. Nelle costruzioni meccaniche spesso oltre alla limitazione sulla resistenza si deve rispettare anche il limite delle deformazioni per non mettere in crisi la funzionalità degli organi collegati. Solitamente le limitazioni adottate sono le seguenti: Valori limite del rapporto = freccia/ luce Tipo =f/ Grossolano 1/1000 omune 1/000 Riduttori 1/000 acchine utensili 1/5000 Valori della rotazione sugli appoggi Tipo uscinetti corti 1/500 uscinetti lunghi 1/1000 acchine utensili 1/000 Studiare su una trave appoggiata con le caratteristiche esposte in figura l influenza delle seguenti condizioni < 160 pa / < 1/000 y F = 4000 N d B x = = = 1500 Figura 1 Per evidenti ragioni di simmetria R = R B = F/

3 Il diagramma del momento è riportato in figura B F 4 Pertanto il momento massimo in mezzeria è F 4 o sforzo massimo è dunque W f Figura Dove d W f onsiderando quindi la limitazione dello sforzo che deve al massimo essere pari al valore limite, si ottiene che il diametro minimo che assicura il rispetto della condizione di resistenza è d 8F = mm Più complessa è la determinazione della freccia massima; si applica la ben nota proprietà della deformata di una trave per la quale 1 d y R EI dx Dato che l andamento di (x) presenta una discontinuità in corrispondenza della mezzeria, conviene posizionare l origine del sistema di riferimento proprio in mezzeria e procedere all integrazione. dy ( x) x x ( x) dx dx xd x 1 dx EI EI EI EI Il valore della costante si ricava dalla condizione al contorno 0 0 da cui deriva 1 4EI In deitiva ( x) x 4EI 4EI Un valore notevole è la rotazione in corrispondenza dell appoggio: F ( ) 4EI 4EI 16EI Proseguendo nell integrazione si ha:

4 Diametro (mm) c c c x x dx dx x d x y 4EI 4EI 8EI c x c x 8EI 4EI Il valore della costante si ottiene con la condizione y 0 da cui deriva 8EI In deitiva yx x x 4EI 4EI 8EI In conclusione si può valutare la freccia in mezzeria c c c F y0 4EI 8EI 1EI 48EI Ricordando che: 4 d I 64 e imponendo la condizione che la freccia sia tale per cui y/<1/000 si ha c dx 4EI 4F 000 d 4 = mm E Il calcolo dimostra dunque che la condizione sulla deformazione è più gravosa di quella sulla resistenza nelle condizioni dell esercizio sviluppato. Il paragone eseguito nelle condizioni dell esercizio può essere esteso a tutte le condizioni deendo quindi un paragone generale tra le due limitazioni di resistenza e di deformazione. onfronto tra resistenza e deformazione Resistenza Def. /000 Def. /1000 Def. / Sforzo ammissibile (Pa) Figura

5 Diametro (mm) Nella figura è rappresentata la condizione di resistenza al variare del valore limite. a curva in blu è quella della limitazione sullo sforzo massimo in funzione del valore limite. Per comodità sono rappresentate anche tre livelli di limite sulle deformazioni; ovviamente la limitazione sulla massima freccia è indipendente dallo sforzo limite e quindi si hanno le tre rette orizzontali. Si vede che per la lunghezza esaminata la limitazione y/<1/000 è sempre più gravosa della condizione di resistenza in quanto richiede un diametro maggiore. Nella figura 4 le condizioni limite sono paragonate al variare della lunghezza della trave. Dal paragone si vede che la limitazione y/<1/000 è più gravosa di tutte le altre. Inoltre nel campo delle lunghezze esaminato, per i valori più bassi, la condizione di resistenza è più gravosa di quella sulla deformazione y/<1/500. a figura fornisce anche il dominio di ammissibilità per le coppie di valori e d che è situato sopra la più alta delle curve di resistenza o deformazione. Paragone tra resistenza e deformazione 10 mmissibile 160 Pa y< /000 mmissibile 10 Pa y< / unghezza (mm) Figura 4 1. Deformazione di una trave iperstatica nche questo esercizio riguarda il paragone tra la limitazione della resistenza e quella sulla deformazione. Il confronto questa volta è sviluppato nel caso di trave iperstatica caratterizzata da un incastro e un appoggio (fig.5). Il primo passo è quello di risolvere la struttura iperstatica. Un sistema per conseguire questo obiettivo è quello di considerare il caso di una mensola con una forza concentrata e di considerare due condizioni di carico: - la prima con un carico F in / - la secondo con un carico R incognito all estremità Imponendo la condizione che y() = 0 è possibile calcolare il valore di R.

6 onsiderando che tutti i contributi provengono dalla soluzione di una mensola con carico concentrato, è senza dubbio utile studiare prima di tutto questo caso. onsiderando lo schema di figura 6 è possibile studiare il problema. F = 4000 N x d B = = y = 1500 Figura 5 y d P x Figura 6 Il momento flettente è pari a: x Px pplicando l equazione fondamentale della teoria della trave si ha d y Px dx EI Integrando si ottiene

7 Px Px x dx 1 EI EI a costante di integrazione si determina con la condizione P 0 1 EI In deitiva si ha per la rotazione: Px P x EI EI Un valore importante risulta essere: P 0 EI Integrando l espressione delle rotazioni si determina la freccia Px P Px P y x dx dx x EI EI 6EI EI Per x = deve essere y()=0 e quindi P P P 6EI EI EI Px P P yx x (.1) 6EI EI EI Un valore importante risulta essere: P y0 EI Utilizzando quindi i risultati della trattazione svolta è possibile risolvere il problema iperstatico della trave di figura 5. Effetto nel punto B della forza F agente a / di una mensola Sopprimendo il vincolo in B, la forza F applicata nel punto (x=/) provoca uno spostamento nel punto B pari a F F F F 5F yb F y F F EI EI 4EI 16EI 48EI Effetto nel punto B della forza R B agente a di una mensola effetto del vincolo soppresso è una forza R B applicata in B, che produce lo spostamento: RB yb RB EI Per la congruenza con il vincolo effettivamente esistente deve essere 5F RB 5 ybf ybrb 0 RB F 48EI EI 16 Di conseguenza il momento di incastro è pari a F RB 0 F 16 on gli elementi calcolati è possibile valutare l andamento della deformata che, a causa della discontinuità causata dalla forza concentrata F, deve essere spezzata in due parti Tratto da B a Utilizzando la relazione (.1) con gli opportuni adattamenti si ha

8 Y (mm) RBx RB RB x R B 6EI EI EI - Effetto di F y F F x x F 4EI 8EI In totale si ha quindi 5 Fx F x y B x 96 EI EI Tratto da ad RBx RB RB - Effetto di R B y x x R B 6EI EI EI - Effetto di R B y x F x F F - Effetto di F y x x F 6EI 8EI 4 EI In totale si ha quindi 11 Fx 1 F 1 Fx 5 F x 1 y x 96 EI 48 EI 4 EI EI Nella figura 7 è riassunto il calcolo eseguito per d= 40 mm e F= 4000N F = 4000 N d = 40 mm 0 B Deformata X (mm) Figura 7 Dall andamento riportato in figura 7 si evidenzia che il massimo si verifica nel tratto B. ascissa di tale punto si può calcolare imponendo che la derivata della freccia, cioè la rotazione è nulla; si ottiene: 1 a verifica dell esattezza dei calcoli si può fare, per esempio, calcolando nel punto la deformata con le due espressioni trovate; si ottiene per entrambe mm.

9 15 Fx ax F xf 1 xax 0 xax ( ) 96 EI EI x 5 a freccia massima è in deitiva 5 Fx ax F xax F yax EI EI EI alcolando il diametro minimo che soddisfa il requisito di deformazione massima </000 si ottiene: F 64F 000F F d EI E d E E ioè d = 6.8 mm Per individuare la sollecitazione massima si deve calcolare il momento massimo. andamento del momento è quello rappresentato in figura 8. F F = 4000 N B Figura 8 Infatti le reazioni vincolari sono: 5 RB F R 16 Il momento in mezzeria vale invece 5 F 11 F 16 Quindi il punto più sollecitato è in dove la limitazione dello sforzo ammissibile impone che d F 16 6F = 41.5 mm nche in questo caso si dimostra che la limitazione sulla deformazione è più gravosa di quella sulla resistenza. Solo se il requisito di deformazione scende a valori più bassi (p.es 1/50) allora la condizione sulla resistenza guida il dimensionamento. Il dominio dei dimensionamenti ammissibili per il problema studiato è riportato in figura F E possibile dimostrare che il risultato è valido se il punto di applicazione del carico è ad un valore di x F >0.414 ; se invece x F xf <0.414 il punto di massimo si ottiene a FxF xf pari a yax EI x F x ax x. In tal caso il valore della freccia massima è

10 d (mm) Paragone tra resistenza e deformazione mm 160 pa mm 10 pa y</000 y</ = = (mm) Figura 9 1. Deformazione di una trave a sezione variabile Un altro problema tipico della costruzione di macchine è lo studio della resistenza e della deformazione di una trave a sezione non costante, in particolare variabile a tratti. esempio da analizzare è riportato in figura F=500 N E 150 B D Figura 10 E evidente, dall esame del caso illustrato in figura 10 che ricavare la soluzione teorica, integrando cioè il diagramma dei momenti per ottenere l andamento della freccia, è piuttosto oneroso. E meglio quindi rivolgersi verso una procedura numerica che consenta, attraverso calcoli elementari, di determinare la linea elastica.

11 Se si divide il problema in tanti tronchi quanti sono i tratti di trave con proprietà costanti ovvero in porzioni in cui non sono presenti discontinuità si ottengono i seguenti elementi costituenti. Dette Ra e Re le reazioni vincolari Tb, Tc,Td i valori del taglio, a,b,c,d,e le rotazioni e ya, yb, yc, yd, ye le frecce. iascun tratto può essere schematizzato come una mensola nel cui incastro sono note le frecce e le rotazioni. Il generico tratto ha le seguenti espressioni per rotazioni e frecce: ( ) y( ) y T x x x x x EI tratto x T EI x x x x EI tratto tratto Se nel punto si assume che y() = 0 e un valore di () opportuno il valore di y(e) risulterà nullo, rispettando così le condizioni di vincolo. Il valore di da imporre può essere determinato mediante una procedura numerica iterativa: - si assume () - si calcolano tutti i valori di e y - si verifica il valore di y(e) - si corregge il valore di (), p.es. aumentandolo - si calcolano tutti i valori di e y - si verifica il valore di y(e) e si confronta con il valore del precedente passo: se esso si avvicina al valore vero si deve proseguire nell aumento di () altrimenti è necessario diminuirlo - la procedura si arresta quando y(e) differisce dal valore vero per una quantità inferiore all errore ammissibile. Per metter a punto la procedura ora esposta si è studiato il caso dell esercizio 1.1, che risulta più semplice sia come numero di tronchi e sia come discontinuità. I dati della trave sono i seguenti: F -500 N E,10E+011 Pa EI 1,5 m d 0,04 m umax esatto -0,00666 m Rot numerica -0,01 rad rot esatto 0,0116 rad I risultati ottenuti sono esposti nella seguente tabella dove con esatto si intende la soluzione ottenuta con le relazioni dell esercizio 1.1 mentre con numerico si intende il risultato della procedura numerica. x (m) u esatto(m) u numer(m) x (m) u esatto(m) u numer(m) 0 0, , ,9-0,0069-0,0069 0,15-0, , ,05-0,0058-0,0058 0, -0,0078-0,0078 1, -0,0078-0,0078 0,45-0,0058-0,0058 1,5-0, , ,6-0,0069-0,0069 1,5 0, ,041E-17 0,75-0, ,00666 Una volta verificata l esattezza della procedura numerica, essa è stata applicata al caso dell esercizio in studio, ottenendo i risultati esposti nella figura seguente sotto forma di linea continua. tratto

12 0 0 0,1 0, 0, 0,4 0,5 0,6 0,7-0,05-0,1-0,15-0, -0,5-0, y (FE) y (teor) -0,5 Figura 11 Per eseguire un controllo ulteriore dell esattezza dei risultati è stato sviluppato un modello numerico secondo il metodo degli elementi iti per il codice di calcolo commerciale NSTRN NX, assistito dal pre/post-processor FEP. Nella fig.1 è riportato il modello. Figura 1 Nella figura 1 è riportata la configurazione deformata mentre nella figura 11 gli indicatori romboidali sono i valori calcolati con gli elementi iti. Il metodo degli elementi iti (FE) è il metodo numerico più diffuso per l analisi strutturale; ad esso è dedicato, solitamente un corso specifico nelle laurea magistrale. Per i concetti fondamentali vd..brutti, Introduzione alla Progettazione eccanica, cap.4, evrotto&bella, Torino.

13 Figura 1 Si nota il buon accordo tra le due serie di valori. E da notare che nella trattazione svolta è stata trascurata la deformabilità a taglio che invece il modello FE tiene in conto.