ESERCIZI Capitolo 1 Soluzioni

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1 ESERCIZI Capitolo 1 Soluzioni Soluz E 1.1 E ben noto dagli insegnamenti relativi al disegno che ogni disegno tecnico di un componente meccanico riporta in maniera dettagliata le dimensioni sotto forma di quote (nel nostro esempio A, B, C, D, d 1, d 2 e d 3 ). Alcune di esse (d 1, d 2 e d 3 ) sono indipendenti dalle altre; le rimanenti (A, B, C e D) sono legate tra di loro e nel complesso formano una catena di quote in quanto tra loro sussiste la relazione dimensionale A + B + C = D. In particolare, tre di queste quattro quote sono dette quote funzionali, mentre la quarta è detta quota ausiliare, in quanto risulta dalle altre tre e, se si vuole indicarla nel disegno (è facoltativo, non obbligatorio) deve essere scritta tra parentesi, come in figura Fig. es 1.1b. Dalla Fig. es 1.1b, quindi, risulta che A, B e C sono le quote funzionali, mentre D è la quota ausiliaria. Fig. es. 1.1b Nulla però impedirebbe di considerare D come quota funzionale e una qualunque delle altre tre come quota ausiliaria. Si effettuerebbe cioè un trasferimento di quote. Nella quotatura, secondo i principi normalizzati, alle quote funzionali vengono attribuite le tolleranze, a quelle ausiliarie no. Quindi nel nostro esempio, la tolleranza compare solo per A, B, C; ognuna di tali tolleranze è ovviamente indipendente dalle altre. Richiamando i concetti base sulle tolleranze, ogni tolleranza è definita dalla sua ampiezza (IT, differenza tra i valori massimo e minimo ammissibili per la quota alla quale la tolleranza è applicata). Questa ampiezza è definita dagli scostamenti superiore ed inferiore dal valore nominale della quota stessa. Mentre la tolleranza è sempre positiva, gli scostamenti possono essere sia positivi che negativi. Volendo determinare i valori massimi e minimi della quota D in base alle tolleranze riportate in Fig. es. 1.1b, si avrà: D max =A max +B max +C max D min =A min +B min +C min A max =D max -B max -C max A min =D min -B min -C min B max =D max -A max -C max B min =D min -A min -C min C max =D max -A max -B max C min =D min -A min -B min Le tolleranze assegnate alle quote in serie di un pezzo meccanico costituiscono una catena di tolleranze. Come detto, tali quote sono indipendenti una dall altra. Può però accadere di dover determinare il valore della tolleranza della quota ausiliaria. Si deve subito notare che la tolleranza della quota ausiliare, a differenza di quelle delle quote funzionali, non è indipendente: IT(D) = IT(A) + IT(B) + IT(C) 1

2 Passando dalle tolleranze ai relativi scostamenti si ha: ei(d) = ei(a) + ei(b) + ei(c) es(d) = es(a) + es(b) + es(c) Come esempio numerico, si consideri un semplice pezzo meccanico da quotare (Fig. es. 1.1c). Fig. es. 1.1c Le quote d e D sono indipendenti, non legate alle altre, quindi non vengono qui considerate. Invece le quote A, B e C sono legate tra loro dalla relazione: C = A + B, che costituisce una catena di quota. Delle tre quote A, B, C, due sono funzionali (A e B) mentre la terza (C) è ausiliaria, cioè può essere omessa o riportata sul disegno tra parentesi (Fig. es. 1.1d). Fig. es. 1.1d Se A = 50 mm e B = 30 mm, allora si avrà che: C = = 80 mm Volendo conoscere qual è la tolleranza della quota ausiliaria, si procede come segue: ei(c)= ei(a) + ei(b)= = -0.3 es(c)= es(a) + es(b)= = +0.1 Quindi si è avuto (Fig. es. 1.1e): C =

3 Fig. es. 1.1e La valutazione della quota ausiliaria risultante da una catena di tolleranze è di fondamentale importanza per le analisi di montaggio e per la determinazione di giochi ed interferenze. A tal riguardo, si analizzi il caso riportato in Fig. es. 1.1f Fig. es. 1.1f 3

4 Volendo calcolare il gioco G esistente tra le varie parti della Fig. es. 1.1f, si dovrà proseguire con la seguente relazione: G = R (A + B + C) Gli scostamenti che tale gioco potrà subire, quindi l ampiezza della sua tolleranza, può essere valutata come: G max = R max (A + B + C) min G min = R min (A + B + C) max Se le dimensioni delle quattro parti da accoppiare fossero: allora il gioco G sarà: Quindi: A = 15 ± 0.2 cm B = 10 ± 0.2 cm C = 22 ± 0.3 cm R = 53 ± 0.2 cm G = R (A + B + C) = 53 ( ) =6 cm G max = R max (A + B + C) min = 53.2-( ) = 6.9 cm G min = R min (A + B + C) max = 52.8-( ) = 5.1 cm G = 6 ± 0.9 cm Fig es. 1.1g Soluz E 1.2 La risultante R può essere calcolata come segue: R = =20 mm La tolleranza della quota ausiliaria, si procede come segue: Quindi si ottiene: ei(c)= ei(a) + ei(b)= = 0.1 es(c)= es(a) + es(b)= = +0.6 C =

5 Soluz E 1.3 Dalla relazione E min = D min (A + B + C) max si ricava che 0.005=(2.894-X) [( ) + ( ) + ( )] X = Questo significa che D = 2.894±0.002 Soluz E 1.4 Per risolvere tale problema, occorre prendere in esame le Tabelle 1.3 e 1.4 del libro, in particolare il gruppo di dimensioni nominali da 30 a 50 mm con un grado di tolleranza normalizzato IT10 (in quanto l albero in oggetto ha un diametro D=45 mm e un valore di IT=10). Dalla Tabella 1.3 si ricava il valore numerico del grado di tolleranza normalizzato IT, che per il gruppo 30 < D = 50 mm con IT10, è pari a 100 μm. Dalla Tabella 1.4, invece, si ricava lo scostamento fondamentale, che è uguale allo scostamento superiore, che, per il grado di tolleranza g, è pari a -9 μm. Le relazioni tra gli scostamenti, inferiore e superiore, e le tolleranze, per gli alberi, sono: Nel nostro caso, quindi, si ha: es = ei +IT ei = es -IT es = -9 μm ei =es IT = = -109 μm Quindi la dimensione limite massima e la dimensione limite minima saranno pari a: D max = D + es = = mm D min = D +ei = = mm Soluz E 1.5 Si considerino le Tabelle 1.3 e 1.4 del libro, in particolare il gruppo di dimensioni nominali da 50 a 80 mm con un grado di tolleranza normalizzato IT9 (in quanto l albero in oggetto ha un diametro D=60 mm e un valore di IT=9). Dalla Tabella 1.3 si ricava il valore numerico del grado di tolleranza normalizzato IT, che per il gruppo 50 < D = 80 mm con IT9, è pari a 74 μm. Dalla Tabella 1.4, invece, si ricava lo scostamento fondamentale, che è uguale allo scostamento superiore, che, per il grado di tolleranza h, è pari a 0 μm. Note le relazioni tra gli scostamenti e le tolleranze per gli alberi, si ha: es = 0 μm ei =es IT = 0-74 = -74 μm Quindi la dimensione limite massima e la dimensione limite minima saranno pari a: D max = D + es = = 60 mm 5

6 D min = D +ei = 60 0,074 = 59,926 mm 6