Valutazione della curvatura media di un elemento strutturale in c.a.

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1 16.4 Stato limite di deformazione Generalità Lo stato limite di deformazione può essere definito come la perdita di funzionalità della struttura a causa di una sua eccessiva deformazione. Segnali di eccessive deformazioni nella pratica operativa possono essere le fessurazioni di tramezzi i ristagni d acqua sui solai di copertura il distacco di intonaci e i dissesti delle pavimentazioni. È quindi comprensibile come il controllo e la verifica di queste deformazioni assumano un importanza di rilievo. La verifica dello stato limite di deformazione consiste quindi nel controllare che per i carichi relativi allo stato limite di esercizio le conseguenti deformazioni siano minori della massima deformazione ammissibile. Nel determinare lo stato limite di deformazione bisogna evidenziare che le zone della trave in cui il momento dato dai carichi esterni risulta maggiore del momento di fessurazione F rappresentano generalmente la maggior parte della struttura. Quindi (con F ) la trave risulta fessurata e si assumerà la sezione come parzializzata (indicando il relativo momento d inerzia con J ) con una curvatura pari a: = 1 R J Invece nei tratti dove risulta < F si assume la sezione interamente reagente con l acciaio opportunamente omogeneizzato (indicando il momento d inerzia della sezione integra con J 1 ); in condizioni di curvatura 1 = 1 / R 1 si avrà: 1 = 1 =. R 1 J 1 Bisogna però evidenziare che nelle zone tra due fessure consecutive si verifica il trasferimento degli sforzi di trazione dall acciaio teso al calcestruzzo teso quindi si avrà un effetto irrigidente detto «tension stiffening». Quindi anche nel caso dello stato limite di deformazione come già visto nei paragrafi precedenti per lo stato limite di fessurazione si valuterà una curvatura media in questo caso indicata da m = 1 / R m Valutazione della curvatura media di un elemento strutturale in c.a. Da quanto osservato nel paragrafo precedente si deduce che nei tratti in cui si ha > F si rende necessario determinare la curvatura media che si verifica tra due fessure consecutive quindi: per = F deve risultare m = 1 / R m = 1 / R = ; per F la curvatura m deve tendere al valore limite che corrisponde alla fessurazione completa; come per lo stato limite di fessurazione anche in questo caso la curvatura media deve essere correlata al risultato sperimentale pratico. Fissati questi concetti l espressione della curvatura media si può scrivere nella forma seguente: m = 1 1 F F dove 1 e assumono i valori già visti nel paragrafo In particolare ricordando anche quanto anticipato al paragrafo si riporta nella figura 16.5 l andamento della deformazione fm in funzione del valore della tensione f. 990

2 Nota per la composizione: sistemare figura su singola pagina per agevolare la lettura!! Inserire figura: ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 16)\Figura 16_5.tif Figura 16.5 Andamento qualitativo della deformazione unitaria media dell acciaio (nel concio compreso tra due fessure) in funzione della tensione dell acciaio valutata nelle fessure (quando l acciaio è soggetto all intera trazione) Calcolo della freccia tramite il Principio dei lavori virtuali L ampiezza delle frecce delle travi in calcestruzzo armato dopo aver determinato le curvature (per zone fessurate e non fessurate) come visto nel paragrafo precedente può essere calcolato con i metodi usuali. Un metodo generalmente utilizzato è il cosiddetto «principio dei lavori virtuali» ossia: 1 f = ds s dove con s si indica la distanza misurata lungo l asse longitudinale dell elemento strutturale in esame e con il diagramma del momento relativo alla forza unitaria applicata nella sezione in cui si sta calcolando lo spostamento f. Se si suddivide l elemento strutturale nella parte non fessurata s 1 ed in quella fessurata s si può scrivere: 991

3 f = 1 ds + m ds s 1 s dove le curvatura 1/R 1 è data come si è visto dall equazione: 1 = 1 = ; R 1 J 1 mentre la curvatura 1/R m è data dall equazione vista nel paragrafo precedente Calcolo della freccia tramite il metodo del modulo effettivo Oltre al metodo del principio dei valori virtuali viene utilizzato per calcolare la curvatura media un metodo semplificato detto metodo del modulo effettivo. Esso assume che la deformazione media dell acciaio fm fra due fessure consecutive sia ricavata da (vedere quanto detto al paragrafo ): fm = f fr 1 1 E f f. Visto che il rapporto fr f è pari a F si può anche scrivere: fm = f 1 1 F E f = f dove si è posto (modulo efficace di deformazione dell acciaio): E f = ; 1 1 ( F ) in altre parole si considera una sezione parzializzata nella quale l acciaio delle armature longitudinali possiede un modulo elastico maggiorato del valore in virtù dell effetto di irrigidimento offerto dal conglomerato teso. A questo punto il calcolo della curvatura media (1) può essere effettuato determinando la posizione dell asse neutro e le deformazioni medie dell acciaio e del calcestruzzo con un coefficiente di omogeneizzazione n eff : n eff = E feff. Quindi la curvatura media può essere calcolata con: m = 1 R m = cm + fm h dove cm è la deformazione media del calcestruzzo nella fibra maggiormente compressa e fm la deformazione unitaria media dell acciaio teso; quindi dette con cm e con fm le tensioni medie dei materiali si può scrivere () : cm = cm = x m ; inoltre sempre in termini di valori medi: J m fm = f fm = n eff (h x m ) = (h x m ) J m J m 1 Si è costretti a parlare di valori medi in quanto pur se la sollecitazione flettente e costante o quasi la posizione dellasse neutro così come anche la distribuzione delle tensioni nei materiali sono variabili tra una fessura e la successiva cosicché nel calcolo della freccia se ne considerano i valori medi indipendenti dalla posizione delle fesure. Ovviamente trattando per forza con tutte grandezze mediate anche il valore dellasse neutro deve essere pensato come valore medio. 99

4 dove J m è il momento d inerzia (medio) della sezione reagente (integra o fessurata) con l acciaio comunque omogeneizzato con il coefficiente n eff. Questo significa ad esempio per una generica sezione rettangolare che si devono utilizzare le note formule generalizzate con l accortezza di porre n = n eff. In particolare: per il calcolo dell asse neutro (valore medio): b x m + n eff F f (x m h ) n eff F f (h x m ) b (H x m ) = 0 ; per il calcolo del momento d inerzia medio: J m = b 3 x 3 m + (H x m ) 3 + n eff F f (h x m ) + n eff F f (x m h ) ; dove andrà considerato: per sezione integra ( F ) il valore (3) = t = 1 ; per sezione fessurata ( > F ) il valore = t = 0 ; A questo punto si può scrivere: m = 1 = + cm fm = 1 R m h h x m + (h x m ) = 1 J m J m h h J m J m Si ottiene quindi la curvatura dell elemento strutturale soggetta al momento flettente funzione dell ascissa della sua linea d asse: m = 1 R m J m Da quest ultima equazione per integrazione numerica si possono ottenere le espressioni delle rotazioni e degli sbandamenti in direzione trasversale prescindendo dagli effetti prodotti dalle altre azioni interne in particolare dal taglio. Infine bisogna ricordare che questo metodo introduce un errore nelle zone dove la trave presenta un momento vicino a quello di fessurazione; infatti ponendo 1 = 1 e F = il valore di E feff tende al valore infinito Gli effetti della viscosità del conglomerato sulle deformazioni Il metodo del modulo effettivo consente la valutazione immediata degli spostamenti a lungo termine. Infatti esso permette di calcolare gli effetti della viscosità tramite un modulo di elasticità ridotto eff : eff = 1 + dove è il coefficiente di viscosità prescritto dalla normativa. Quindi per determinare gli spostamenti a lungo termine basta utilizzare il metodo del modulo effettivo considerando il seguente coefficiente di omogeneizzazione: n eff = E feff. eff Si ottiene così un nuovo valore di J m che permette il calcolo della curvatura media a tempo infinito attraverso l equazione vista al paragrafo precedente e cioè: m = 1 R m J m 3 Notare che secondo il anual of Cracking and Deform del C.E.B. nella determinazione del momento dinerzia medio si assume t = (cioè = 1 ); mentre le.c. non ne esplicita i valori. 993

5 Procedura per il calcolo rapido della freccia Si riporta una semplice e veloce procedura di calcolo approssimata della freccia elastica valida per sezioni di elementi strutturali inflessi non troppo variabili lungo il loro asse e dotati di percentuali medie di armatura. La suddetta procedura è stata proposta da Ettore Pozzo Professore Ordinario di Tecnica delle Costruzioni presso l Università di Cagliari (4). Individuato lo schema statico con cui schematizzare il comportamento dell elemento strutturale inflesso e quindi nota la relazione matematica che esprime la freccia elastica in funzione delle geometrie e dei carichi si assume per il modulo elastico del conglomerato la seguente espressione (vedere eq. 6. al paragrafo 6.7): = sec [N / mm 3 ]= 9500 f ck [N / mm ]+ 8. Infine in funzione del valore del momento di fessurazione F si assume come momento d inerzia della sezione trasversale dell elemento strutturale la seguente espressione: J ic = J c = F = 1 dove: 1 J c f ctk (H x) J c è il momento d inerzia della sezione di conglomerato pensata integra e senza le armature longitudinali (non distinguendo tra conglomerato teso e compresso: = t / = 1 ); x la posizione dell asse neutro nella sezione integra in assenza di armature longitudinali (5) ; H altezza complessiva della sezione trasversale dell elemento strutturale inflesso; F = 1J f c ctk è il momento di prima fessurazione. (H x) 4 Per maggiori dettagli sullargomento si consiglia vivamente di consultare il testo indicato in bibliografia: Teoria e tecnica delle strutture (vol. II) Il calcolo del cemento armato ; al capitolo olto semplicemente per sezione rettangolare di altezza complessiva H (sottoposta a flessione semplice retta) sarà x = H/. 994