on line on line on line on line ESERCIZI, 44 on line on line on line on line ESERCIZI, 50 ESERCIZI, 80 SINTESI, 83 on line on line on line on line

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1 Indice III Pilastri con staffe semplici: tabella Calcolo dei pilastri con avvolgimento a spirale ESERCIZI SVOLTI, Instabilità flessionale, 8 Esercizio svolto Progetto della sezione rettangolare, 21 Sezione rettangolare con armatura semplice, 21 Sezione rettangolare con armatura doppia, 22 Esercizi svolti Trave con sezione a T, 25 Considerazioni sulle travi a T Il calcolo della sezione a T, 27 Sezione a T sollecitata da momento negativo, 27 Sezione a T sollecitata da momento positivo, 27 Unità 1 IL CALCESTRUZZO ARMATO, La teoria del calcestruzzo armato ordinario, Le tensioni ammissibili nei materiali, 2 Calcestruzzo, 2 Acciaio per c.a., Ipotesi fondamentali, 3 La combinazione delle azioni, Sforzo normale di compressione semplice, Pilastri, 4 Pilastri con staffe semplici, 4 Pilastri con avvolgimento a spirale, 5 ESERCIZI SVOLTI, 9 ESERCIZI, Flessione semplice retta, Criteri generali di resistenza, Verifica della sezione rettangolare, 14 Sezione rettangolare con armatura doppia, 15 Sezione rettangolare con armatura semplice, 15 ESERCIZI SVOLTI, 17 Area metallica in funzione del numero e del diametro dei tondini: tabella ESERCIZI SVOLTI, 23 Sezione a T con armatura doppia ESERCIZI SVOLTI, 28 ESERCIZI, 30 Esercizi 1.4 Flessione semplice retta e taglio, Sezione rettangolare e sezione a T, 31 Sezione rettangolare con armatura semplice, 31 Sezione rettangolare con armatura doppia, 31 Sezione a T con armatura semplice, 32 ESERCIZI SVOLTI, Assorbimento delle tensioni tangenziali, 34 Funzione delle staffe Calcolo delle armature per il taglio, 35 Armatura longitudinale. Aderenza e ancoraggio Il diagramma dei momenti resistenti e la freccia elastica, 38 Momenti resistenti, 38 La freccia elastica, 39 ESERCIZI SVOLTI, 39 ESERCIZI, 44 Elementi sollecitati a presso-flessione Presso-flessione con piccola eccentricità (e GX ), Presso-flessione con grande eccentricità (e > GX ), 46 Esercizio svolto 1.5 Flessione semplice retta e sforzo normale, Caratteristiche generali, 45 Il progetto della sezione rettangolare soggetta a pressoflessione La verifica al punzonamento, 47 ESERCIZI SVOLTI, 48 ESERCIZI, Strutture in calcestruzzo armato, Prescrizioni per il calcolo con il MTA, 51 ESERCIZI SVOLTI, 52 ESERCIZI, 80 SITESI, 83 Autovalutazione Unità 2 L ACCIAIO, Analisi delle sollecitazioni, Verifica di resistenza, Membrature tese e membrature compresse, 91 Membrature tese, 91 Membrature compresse, 91 ESERCIZI SVOLTI, 91 Esercizio svolto Membrature compresse soggette a carico di punta, 92 Pilastri (o aste) semplici, 93 ESERCIZIO SVOLTO, Flessione semplice. Taglio, 95 Flessione semplice retta, 95 Flessione semplice deviata, 95 Taglio semplice, 95 Flessione e taglio, 96 ESERCIZI SVOLTI, 97 Esercizi svolti Verifiche di deformabilità e di stabilità degli elementi inflessi, 101 Verifica della freccia, 101 Verifica nei confronti dell imbozzamento, 101 Verifica dello svergolamento, 102

2 IV Indice Verifica dell imbozzamento: calcolo e applicazioni Verifica dello svergolamento: calcolo e applicazioni ESERCIZI SVOLTI, 102 Esercizi svolti Aste soggette a presso-flessione, 103 Momento flettente M = M A = M B costante, 104 Momento flettente M con variazione lineare, 105 Momento flettente M con variazione nare, 105 ESERCIZI SVOLTI, 106 ESERCIZI, 110 Esercizio svolto 2.2 Strutture in acciaio, 113 ESERCIZI SVOLTI, 113 ESERCIZI, 128 Problemi di collegamento delle strutture in acciaio Calcolo delle aste composte Travi reticolari SITESI, 129 Autovalutazione Unità 4 LE FODAZIOI, Interazione terreno-fondazioni, Carico limite e carico ammissibile, 180 ESERCIZI SVOLTI, 182 ESERCIZI, Tipi di fondazioni e calcolo, Plinto massiccio, 184 ESERCIZI SVOLTI, Plinto elastico, 190 Plinto elastico (in calcestruzzo armato), 190 Altri tipi di plinto ESERCIZI SVOLTI, 191 ESERCIZI, Fondazioni continue, Fondazione a travi rovesce, 195 Fondazioni a platea e su cordolo ESERCIZIO SVOLTO, 195 ESERCIZI, 202 Unità 3 LE MURATURE, Strutture in muratura, Caratteristiche e proprietà meccaniche, 132 Resistenza caratteristica a compressione f k e tensione ammissibile σ m, 132 Modulo di elasticità, 132 Resistenza caratteristica a taglio f vk e tensione ammissibile τ m, 132 Combinazione delle azioni, Concezione strutturale dell edificio, 134 ESERCIZIO SVOLTO, Analisi strutturale, 139 Muri sollecitati prevalentemente da azioni verticali, 139 ESERCIZIO SVOLTO, Le azioni orizzontali del vento, 144 Muri sollecitati prevalentemente da azioni orizzontali (muri di controvento), 144 Le azioni del vento sui fabbricati ESERCIZIO SVOLTO, Strutture in muratura non tridimensionali, 149 I balconi appoggiati su mensole ESERCIZI SVOLTI, Archi, volte in muratura e piattabande, 156 SITESI, 203 Autovalutazione Unità 5 I MURI DI SOSTEGO, Le verifiche di stabilità, 206 La normativa, 206 Verifica al ribaltamento, 206 Verifica a scorrimento sul piano di posa, 207 Verifica per carico limite dell insieme fondazione-terreno (verifica a schiacciamento), 207 ESERCIZI SVOLTI, 208 ESERCIZI, Il progetto dei muri di sostegno, Progetto dei muri di sostegno a gravità, 218 La fondazione del muro di sostegno a gravità, 218 Muri a semigravità, 218 ESERCIZI SVOLTI, 220 ESERCIZI, 244 SITESI, 245 Autovalutazione ESERCIZI SVOLTI, 157 ESERCIZI, 167 IDICE AALITICO, 247 SITESI, 176 Autovalutazione

3 1 il percorso Teoria del calcestruzzo armato ordinario Tensioni ammissibili nei materiali Sollecitazioni semplici e composte Calcolo di progetto e di verifica delle srutture in c.a. Pilastri con staffe semplici: tabella Calcolo dei pilastri con avvolgimento a spirale Area metallica in funzione del numero e del diametro dei tondini: tabella Considerazioni sulle travi a T Sezione a T con armatura doppia Funzione delle staffe Armatura longitudinale. Aderenza e ancoraggio Elementi sollecitati a presso-flessione Il calcestruzzo armato Il progetto della sezione rettangolare soggetta a presso-inflessione Esercizi svolti Esercizi Autovalutazione

4 2 unità La teoria del calcestruzzo armato ordinario Le tensioni ammissibili nei materiali Con il metodo alle tensioni ammissibili (MTA) la verifica di resistenza di un elemento strutturale consiste nel controllare che le tensioni massime che si verificano nel calcestruzzo e nell acciaio risultino inferiori a determinati valori massimi, definiti tensioni ammissibili, che dipendono dalle caratteristiche meccaniche dei materiali. Calcestruzzo Tensioni normali di compressione Elementi soggetti a flessione o a presso-flessione: σ R c = 6 + ck 15 (/mm 2 ) [1] 4 Solette con spessore s < 5 cm: la tensione è ridotta a σ c = 0,70 σ c Elementi soggetti a compressione semplice (assiale), essendo s la minore dimensione della sezione: σ c = 0,70 [1 0,03 (25 s)] σ c per s < 25 cm σ c = 0,70 σ c per s 25 cm Travi a T con soletta collaborante di spessore s: σ c = 0,90 σ c per s 5 cm σ c = 0,70 σ c per s < 5 cm Tensioni tangenziali τ c0 = 0,4 + τ c1 = 1,4 + R ck R ck (/mm 2 ) [2] Indicando con τ max la tensione tangenziale massima nell elemento strutturale, se risulta: τ max τ c0: non sono necessarie specifiche armature al taglio e alla torsione in quanto le tensioni tangenziali possono essere assorbite dal conglomerato; τ c0 τ max τ c1: le tensioni tangenziali devono essere integralmente assorbite da specifiche armature metalliche; τ max > τ c1 (massima tensione tangenziale ammissibile): è necessario modificare le caratteristiche geometriche della sezione in modo da portare τ max τ c1. Acciaio per c.a. La tensione ammissibile nell acciaio σ s si ottiene dividendo la tensione caratteristica di snervamento f yk per il coefficiente parziale di sicurezza γ m che assume i valori: γ m = 1,6 quando vengono utilizzati calcestruzzi con R ck 25 /mm 2, per cui: σ 450 s = 281 /mm 2 [3] 1,6 Le tensioni tangenziali di aderenza si oppongono allo scorrimento delle barre di armatura all interno della massa di calcestruzzo, tensioni dovute principalmente alla scabrosità della superficie delle barre ad aderenza migliorata. Il loro valore effettivo non deve superare quello ammissibile dato da: τ b = 3,0 τ c0 Collaudo dinamico di una fondazione.

5 1.1 La teoria del calcestruzzo armato ordinario Ipotesi fondamentali Il calcolo delle strutture in c.a. si basa su alcune ipotesi che sono: 1. si ammette l ipotesi di Bernoulli, in base alla quale le sezioni si conservano piane anche dopo la deformazione della membratura, sia nella sollecitazione di sforzo normale sia in quella di flessione; 2. si ammette la validità della legge di Hooke anche per il calcestruzzo, per cui si ritiene costante il suo modulo elastico E c ; 3. si considera come inesistente la resistenza a trazione del calcestruzzo; ciò significa che la parte di calcestruzzo nella zona tesa di una sezione non viene considerata nei calcoli; 4. si ammette la totale solidarietà fra acciaio e calcestruzzo per effetto della sicura, completa e costante aderenza esistente fra loro, ipotesi questa che risulta sempre verificata in ogni caso. Per effetto di tale perfetta aderenza e tenendo presente che i due materiali, acciaio e calcestruzzo, presentano il medesimo coefficiente di dilatazione termica lineare, la deformazione elastica ε (allungamento o accorciamento) risulta uguale per entrambi i materiali, per cui si ha: ε c = ε s [4] Applicando la legge di Hooke risulta: σ s = E s ε s σ ossia s = E s ε s σ c = E c ε σ c c E c ε c che, semplificata tenendo presente la [4], diventa: Si pone ora: Il termine n viene definito coefficiente di omogeneizzazione o coefficiente di amplificazione dell area di acciaio in un area di calcestruzzo. Sostituendo nella [5] si ottiene: da cui: σ s σ c = E s E c E s E c = n σ s σ c = n σ s = n σ c [5] [6] La [6] indica che 1 cm 2 di ferro si considera equivalente a n cm 2 di calcestruzzo. Mentre il modulo elastico E s dell acciaio è praticamente costante, quello E c del calcestruzzo presenta una notevole variabilità in funzione di numerosi fattori e inoltre il suo valore tende a diminuire nel tempo; di conseguenza il valore di n risulta anch esso variabile mediamente da 6 a 15. Poiché risulterebbe estremamente complesso tenere conto nei calcoli di tale variabilità, le norme stabiliscono che deve essere adottato in ogni caso il valore: n = 15 Tale valore è in realtà notevolmente cautelativo e dimostra l interesse posto dalla norma alle condizioni di sicurezza delle strutture; infatti, fissando una tensione ammissibile del calcestruzzo σ c = 8,50 /mm 2, dalla [6] si ricava: σ s = 15 8,50 = 127,5 /mm 2 valore notevolmente inferiore alla tensione ammissibile dell acciaio, il quale, a causa della sua totale aderenza con il calcestruzzo, è soggetto a tensioni reali di compressione notevolmente ridotte affinché l accorciamento dei due materiali risulti uguale. Si ricorda che le relazioni riportate sulla normativa sono espresse nel Sistema Internazionale di unità di misura (SI), e viene ammessa la conversione approssimata: 1 kgf 10 solo per le grandezze relative al conglomerato cementizio, mentre per quelle relative all acciaio deve essere utilizzato il coefficiente esatto ossia: 1 kgf = 9, ,81 La combinazione delle azioni Per edifici civili e industriali correnti, in base alle prescrizioni delle.t.c. 2008, applicando il MTA le azioni devono essere combinate utilizzando la combinazione caratteristica (rara) con la relazione: F d = G 1 + G 2 + Q k1 dove: G 1 = peso proprio degli elementi strutturali G 2 = peso proprio degli elementi non strutturali Q k1 = azione varibile dominante, cioè l azione che si presenta con la maggiore continuità.

6 4 unità Sforzo normale di compressione semplice Pilastri Pilastri con staffe semplici: tabella Calcolo dei pilastri con avvolgimento a spirale La sollecitazione di sforzo normale di compressione semplice è tipica dei pilastri non soggetti a carico di punta, e quindi la minore dimensione della sezione deve essere superiore a 1/14,5 della lunghezza dell elemento. In relazione alle caratteristiche delle staffe, cioè dell armatura trasversale, si possono avere: pilastri con staffe semplici; pilastri con avvolgimenti a spirale. Pilastri con staffe semplici I pilastri con staffe semplici hanno generalmente sezione quadrata o rettangolare (in questo caso il rapporto fra i lati è opportuno che non superi il valore di 2 2,5), ma per specifiche necessità architettoniche o strutturali possono anche avere anche altri tipi di sezione [fig. 1]. 0,3% A c,eff A s 6% A c,eff, dove A c,eff = sezione effettiva di calcestruzzo, ossia l area A c della sezione trasversale del pilastro meno l area totale A s dell armatura longitudinale; A s 0,8% A c. Le staffe hanno la funzione di contrastare il fenomeno di spostamento verso l esterno dell armatura longitudinale [fig. 2], per cui sono soggette a trazione e quindi le loro parti terminali devono essere avvolte a uncino attorno a un tondino longitudinale con piegatura di circa 45 penetrando nel calcestruzzo per almeno 10 cm. Fig. 2 Fig. 1 Devono essere rispettate le seguenti prescrizioni di progetto ed esecutive: armatura longitudinale: diametro minimo 12 mm, costituita da un minimo di quattro barre, oppure sei per la sezione circolare; trattandosi di elementi soggetti a sola compressione assiale, le armature longitudinali hanno la funzione di aumentare la resistenza della sezione, oltre che di consentire efficaci collegamenti con altri elementi della struttura; staffe chiuse di collegamento dell armatura: diametro minimo di 6 mm e comunque non inferiore a del diametro 1 massimo dell armatura longitudinale; 4 interasse delle staffe: non maggiore a 15 volte il diametro dell armatura longitudinale con un massimo di 25 cm; la sezione totale A s dell armatura longitudinale deve soddisfare le limitazioni: A c =sezione di calcestruzzo strettamente necessaria σ c per sforzo normale; Armatura a staffe semplici per un pilastro.

7 1.2 Sforzo normale di compressione semplice 5 Calcolo di progetto L area della sezione resistente di un pilastro [fig. 3] è costituita dall area A c del calcestruzzo e da quella A s dell acciaio, ognuna delle quali può sopportare rispettivamente il seguente carico: c = A c σ c (calcestruzzo) s = A s σ s (acciaio) Il carico totale che può gravare sul pilastro è quindi: = c + s = A c σ c + A s σ s e quindi con la relazione seguente, ricavata dalla [3], si effettua la verifica del pilastro: σ c = A c (1 + n ρ) σ c Calcolo di collaudo ote le aree A c e A s del pilastro, viene calcolato il coefficiente ρ e successivamente si determina con la [3] il carico che può gravare sul pilastro: [4] = A c σ c (1 + n ρ) che rappresenta la formula di collaudo. Fig. 3 Trattandosi di compressione semplice si assume per il calcestruzzo la tensione ammissibile ridotta σ c ed essendo σ s = n σ c si ottiene: = A c σ c + A s n σ c = σ c (A c + n A s ) [1] La normativa stabilisce che l armatura metallica longitudinale debba avere una sezione complessiva che sia una percentuale di quella del cls con i valori prima riportati. Indicando con ρ la percentuale geometrica di armatura riferita alla sezione effettiva di calcestruzzo, si ha quindi: A s = ρ A c per cui sostituendo nella [1] si ottiene: = σ c (A c + n ρ A c ) = A c σ c (1 + n ρ) [2] da cui: A c = σ c (1 + n ρ) [3] che rappresenta la formula di progetto. Poiché il valore di ρ deve essere prefissato dal progettista, generalmente lo si assume pari a 0,8 1% e tale percentuale viene applicata all area reale della sezione del pilastro; calcolata l area A c, vengono definite le dimensioni della sezione del pilastro, in genere arrotondate ai 5 cm superiori. Comunemente, noto il carico gravante sul pilastro, anziché effettuare il calcolo di progetto vengono utilizzate le tabelle riportate sui manuali che, in funzione del carico e della tensione ammissibile ridotta σ c, forniscono l area del calcestruzzo A c e l area dell acciaio A s. Pilastri con avvolgimento a spirale I pilastri con avvolgimento a spirale, detti anche pilastri cerchiati o pilastri Considère dal nome del progettista che li propose all inizio del secolo scorso, presentano una sezione generalmente circolare, più raramente poligonale, con un armatura longitudinale disposta sul perimetro attorno alla quale è avvolto un tondino continuo disposto a spirale che costituisce la staffatura [fig. 4]. Le caratteristiche principali di questi pilastri sono: rispetto a un pilastro con staffe semplici trasversali, a parità di sezione trasversale e di tensione nel calcestruzzo, possono sopportare carichi più elevati; poiché la loro esecuzione risulta più onerosa rispetto ai pilastri con staffe semplici, vengono generalmente impiegati quando si hanno forti carichi e si vogliono contenere le dimensioni della sezione dei pilastri; il tondino elicoidale continuo che costituisce la staffatura deve essere calcolato come diametro e passo della spirale, in quanto assolve a una funzione strutturale di cerchiatura. Calcolo di verifica ote le caratteristiche del pilastro, cioè l area A c del calcestruzzo e quella A s dell acciaio, e il carico gravante, si calcola prima il rapporto: ρ = A s A c Fig. 4

8 6 unità 1 Il calcestruzzo armato ESERCIZI SVOLTI ESERCIZI SVOLTI 1 Si consideri un pilastro soggetto a un carico di 920 k, con una sezione di mm2 e armato con 8 16 = = 1608,495 mm 2. Supponendo di impiegare calcestruzzo classe C 20/25 con σ c = 5,95 /mm 2, verificare l armatura metallica. Sezione di calcestruzzo strettamente necessaria per lo sforzo normale: A c = = , mm 2 σ c 5,95 Sezione effettiva di calcestruzzo: ( ) 1608,495 = 1583, mm 2 La sezione complessiva dell armatura metallica deve risultare: non inferiore a: 0,8% 1546, ,98 mm 2 compresa fra i valori: 0,3% 1583, ,18 mm 2 6,0% 1583, ,52 mm 2 Di conseguenza l armatura metallica prevista costituita da 8 16 va bene. 2 Progettare la sezione di un pilastro in c.a., alto 3,50 m e sul quale grava un carico assiale = 800 k, che verrà realizzato impiegando calcestruzzo classe C 20/25. La tensione ammissibile del calcestruzzo risulta: σ c = 0, R ck 15 = = 0, = 5,95 /mm 2 Si assume una percentuale di armatura: ρ= A s = 0,009 A c L area di calcestruzzo necessaria risulta: A c = = 3 σ c (1 + n ρ) 5,95 ( ,009) 1184, mm 2 Il pilastro viene progettato a sezione quadrata con lato: l = 1184, ,18 mm 350 mm per cui l area reale vale: A c = = mm 2 L armatura metallica occorrente è: A s = ρ A c = 0, = 1102,50 mm 2 e, utilizzando la tabella relativa ai tondini di acciaio, riportata sul manuale e disponibile, tale armatura sarà costituita di: 4 16 = 804,248 mm = 307,876 mm 2 A s = 1112,124 mm 2 Le staffe verranno realizzate con tondino 6 disposte ogni 200 mm in quanto: 16 mm 15 = 240 mm > 200 mm Considerando il pilastro incernierato agli estremi, poiché risulta: l = =10 < 14,5 a 350 non si ha carico di punta.

9 1.2 Sforzo normale di compressione semplice 7 3 Verificare la stabilità di un pilastro in cemento armato che presenta una sezione di mm 2, alto 4,50 m, armato con 6 18 e staffe 6 ogni 200 mm, sul quale grava un carico assiale = 920 k; è stato impiegato calcestruzzo classe C 25/30. Considerando il pilastro semplicemente appoggiato alle estremità, si ha: l = 12,86 < 14,5 a 350 e quindi non si ha carico di punta. La tensione ammissibile risulta: σ c = 0, R ck 15 4 = 6,825 /mm2 Con le caratteristiche della sezione, si ha: area dell armatura metallica: A s = 6 18 = 1526,814 mm 2 sezione effettiva di calcestruzzo: A c,eff = ( ) 1526,814 = 1384, mm 2 sezione di calcestruzzo strettamente necessaria: A c = , mm 2 6,825 Si procede ora al controllo della percentuale di armatura rispetto all area di calcestruzzo: in base alla sezione effettiva: A 1526,814 ρ= s = =0,01103 = 1,103% > 0,3% 1384, A c,eff in base alla sezione strettamente necessaria: A ρ= s 1526,814 = =0,01133 = 1,133% > 0,8% A 1347, c Controllato il rispetto delle prescrizioni normative, viene eseguita la verifica: σ c = = 3 A 1384, c (1 + n ρ) ( ,011) 5,70 /mm 2 <σ c Come è già stato detto, data la minima incidenza dell area metallica rispetto a quella della sezione reale del pilastro (1526,814 mm 2 contro mm 2 ), generalmente viene considerata quest ultima nella formula di verifica, con una differenza trascurabile; infatti: σ c = 3 5,64 /mm ( ,011) ESERCIZI SVOLTI 4 Verificare il pilastro in c.a. con sezione di mm 2, armato con 8 14 longitudinali, realizzato con calcestruzzo classe C 25/30, soggetto allo sforzo normale di compressione assiale = 800 k. Area della sezione del pilastro: A c = = mm 2 Area dell armatura metallica: A s = 8 14 = 1231,504 mm 2 Poiché il lato della sezione è minore di 25 cm, la tensione ammissibile ridotta viene calcolata con l espressione: σ c = 0,7 [1 0,03 (25 s)] σ c = = 0,7 [1 0,03 (25 20)] ,80 /mm 2 Il rapporto di armatura vale: A ρ= s 1231,504 = 0,95% A c Applicando la formula di verifica si ha: σ c = = 3 A c (1 + n ρ) ( ,0095) 5,39 /mm 2 < σ c

10 8 unità 1 Il calcestruzzo armato Instabilità flessionale I pilastri in cemento armato devono essere considerati soggetti a fenomeni di instabilità flessionale, ossia caricati di punta, quando il rapporto di snellezza λ è maggiore di 50: λ = l 1 i min > 50 dove: l 1 = lunghezza libera di inflessione; I i min = c + n I s = raggio d inerzia minimo della sezione (nel caso di pilastri cerchiati A c + n A s è quello relativo alla sezione ideale resistente, trascurando il tondino della spirale). Il momento d inerzia I s di ogni tondino rispetto al proprio baricentro ha un valore molto piccolo e può essere trascurato, per cui si considera solo il momento di trasporto, ossia [fig. 5]: I s = A s d 2 Snellezze λ > 100 devono essere considerate con particolare cautela ed è consigliabile evitarle. I calcoli di progetto, verifica e collaudo vengono sviluppati con le formule relative ai pilastri in c.a. soggetti a sforzo normale, sostituendo al termine il valore amplificato ω, per cui risultano le formule che vengono qui di seguito riportate. Calcolo di progetto A c = ω σ c (1 + n ρ) In questa formula si hanno due incognite ω e A c, per cui è necessario procedere per tentativi, fissando a priori un valore di λ (circa 70 75) e calcolando A c ; si verifica quindi che il valore del rapporto di snellezza effettivo risulti prossimo a quello fissato inizialmente. È possibile anche procedere al calcolo come se il pilastro fosse soggetto a sforzo normale e quindi controllare che la sezione ottenuta sia valida anche per la sollecitazione di carico di punta. [5] Fig. 5 Si ha la presenza del carico di punta in un elemento strutturale quando: l 1 > 14,5 per pilastri a sezione quadrata o rettangolare, a essendo a la minore dimensione della sezione. I calcoli vengono svolti applicando il metodo omega, i cui coefficienti, validi per pilastri in c.a. con carico assiale, sono forniti dall apposita tabella [tab. 1]. Calcolo di verifica σ c = ω A c (1 + n ρ) σ c Calcolo di collaudo σ = A c c (1 + n ρ) ω [6] [7] Snellezza l Tabella 1 Coefficiente w 1,00 1,08 1,32 1,62 Pilastri in calcestruzzo armato.

11 1.2 Sforzo normale di compressione semplice 9 ESERCIZI SVOLTI 5 0Progettare un pilastro alto 8,20 m a sezione rettangolare, con un lato di 400 mm, sul quale grava un carico assiale = 1600 k e che verrà realizzato con calcestruzzo classe C 25/30. Le estremità del pilastro si possono considerare incernierate. La tensione ammissibile vale: σ c = 0, R ck 15 4 = = 0, = 6,825 /mm 2 Assumendo una percentuale di armatura ρ = 0,009, si inizia a progettare il pilastro come se fosse soggetto a compressione semplice, e quindi: A c = = 3 σ c (1 + n ρ) 6,825 ( ,009) 2065, mm 2 perciò: 2065, = 516,37 mm 550 mm 400 per cui in prima approssimazione la sezione del pilastro ha le dimensioni di mm 2. Assumendo un coefficiente β = 1, si effettua il rapporto: l 1 β l = = =20,50 > 14,5 a a 400 quindi il pilastro è caricato di punta. Si fissa a priori una snellezza λ = 70 alla quale corrisponde un valore ω = 1,08; con la formula di progetto si ha: ω 1, A c = = 3 σ c (1 + n ρ) 6,825 ( ,009) 2230, mm 2 e quindi: 2230, ,68 mm 550 mm 400 per cui la sezione inizialmente prevista di = mm 2 si può ritenere idonea e presenterà un armatura: A s = ρ A c = 0, = 1980 mm 2 costituita da = 2016,902 cm 2, con staffe 6 ogni 200 mm. Si procede ora alla verifica della snellezza effettiva calcolando prima l area e il momento d inerzia minimo della sezione ideale resistente: A i = A c + n A s = ,902 = = 2502, mm 2 1 I i = I c + n I s = , = 12 = 3807, mm 4 I 3807,66 10 i min = = 6 i = 123,35 mm 2502, l λ = = = 66,48 123,35 i min A i Il valore è quasi uguale a quello inizialmente fissato a priori, per cui la sezione progettata può intendersi idonea. Qualora il valore calcolato risultasse notevolmente differente da quello prefissato, si dovrebbe assumere un nuovo valore di λ intermedio fra quello calcolato e quello assunto all inizio. Si effettua ora il controllo della percentuale di armatura: in base alla sezione effettiva di cls: A c,eff = ,902 = 2179, mm 2 A ρ = s 2016,902 = 0,0093 = A 2179, c,eff = 0,93% > 0,3% in base alla sezione di cls strettamente necessaria: A c = = , mm 2 σ c 6,825 A ρ = s 2016,902 = =0,0086 = A 2344, c = 0,86% > 0,8% ESERCIZI SVOLTI

12 10 unità 1 Il calcestruzzo armato ESERCIZI SVOLTI 6 Verificare la stabilità di un pilastro alto 5,80 m con una sezione di mm2, che presenta un armatura longitudinale costituita da 6 18 con staffe 8 ogni 200 mm, sul quale grava un carico = 870 k. Il pilastro è realizzato con calcestruzzo classe C 25/30 e può essere considerato incernierato alle estremità. La tensione ammissibile del calcestruzzo risulta: σ c = 0, R ck 15 4 = 6,825 /mm2 Considerando la lunghezza del pilastro, occorre dapprima calcolare se si hanno fenomeni di instabilità flessionale; in base alle condizioni di vincolo si assume β = 1, per cui si ha: l 1 = β l = = 5800 mm Si calcola ora il rapporto di snellezza: A s = 6 18 = 1526,814 mm 2 A i = A c + n A s = ( ) + ( ,814) = = 1579, mm 2 1 I i = I c + n I s = , , mm 4 I 1399,55 10 i min = = 6 i 94,15 mm 1579, l λ = = 61,60 > 50 94,15 i min quindi il pilastro è caricato di punta. Viene ora effettuato il controllo della percentuale di armatura: in base alla sezione effettiva di conglomerato: A c,eff = ( ) 1526,814 = 1334, mm 2 A s A i 1526,814 ρ = = 0,0114 = 1,14% > 0,3% 1334, A c,eff in base alla sezione di conglomerato strettamente necessaria: A c = = , mm 2 σ c 6,825 A ρ = s 1526,814 = 0,012 = 1,2% > 0,8% A 1274, c Applicando il metodo omega, dalla tabella 1, per interpolazione, si ricava il valore del coefficiente ω in funzione della snellezza calcolata: λ = 70 ω = 1,08 λ = 61,64 λ = 50 ω = 1, ,64 0,08 quindi: 20 : 0,08 = 11,64 : x x = per cui: 11,64 0,08 20 = 0,04656 ω = 1,00 + 0,04656 = 1,04656 Con la formula di verifica si ottiene: ω 1, σ c = = 3 A c (1 + n ρ) ( ,0114) 5,76 /mm 2 < σ c