Calcolo della deformata elastica

Transcript

1 alcolo della deformata elastica

2 Metodo della linea elastica Si integra l equazione differenziale del secondo ordine della linea elastica " ( M ( ottenuta con le conenzioni y, M ( M imponendo le condizioni al contorno corrispondenti ai incoli fisici

3 Esempio trae a mensola con carico d estremità F F al contorno condizioni F F F F M ( 0 0 '(0 0; 0 (0 6 ( ( ( '( ( "( ( (

4 Esempio trae appoggiata con carico distribuito Determinazione delle costanti q / Q Q/ Q/ 4 4 ( ( ( 0; 0 (0 4 ( 6 4 ( ' ; "( ( 4 4 Q q Q Q q Q q Q q Q q Q q Q M /

5 Esempio considerazioni sulla linea elastica Il alore assoluto massimo dell inflessione è al centro q ( (/ 5Q 84 a linea elastica risulta simmetrica rispetto al centro

6 Esempio trae appoggiata con coppia concentrata Determinare le reazioni incolari Scriere le equazioni dell azione flettente Integrare olte l equazione della linea elastica / / B D ' B M ' B B 6 DB M ' ' ' DB - ' DB - 6 ' 4

7 Esempio 4 Determinare le costanti d integrazione con le condizioni di incolo e di congruenza ondizioni di incolo ondizioni di congruenza dalle e 4 B quindi 0 B( dalle e 4 0 0; DB 4 DB ( 0 4 ' B ( ' DB (

8 Esempio considerazioni sulla linea elastica e equazioni della linea elastica risultano B DB ( ( 6 4 ' ' ( ' ( 6 4 Quindi si ha B B DB ( DB ( 0 ( 4 8 ( 4 8 a linea elastica risulta antisimmetrica rispetto al piano di mezzeria B ( 4 / / DB ( 4

9 ongruenza nel caso di assi inclinati y' y ' V' V α V ' V cosα

10 ENERGI ESTI

11 Energia di deformazione del concio elementare effetto dell azione normale N Si possono aere casi: N iene applicata gradualmente dal alore 0 al alore finale e contemporaneamente lo spostamento du cresce in modo proporzionale. In questo caso d N Ndu o spostamento du iene applicato dopo che N ha assunto il alore finale. In questo caso du * d N Ndu

12 Energia di deformazione del concio elementare effetto del momento flettente d M aso di incremento proporzionale di M e dφ d M Mdϕ dϕ aso di applicazione istantanea di dφ * d M Mdϕ

13 Energia di deformazione del concio elementare effetto del taglio d d T T aso di incremento proporzionale di M e dφ d T Td aso di applicazione istantanea di dφ * d T Td T

14 Trae a mensola Energia elastica di deformazione totale energia totale si ottiene integrando sulla lunghezza e sommando le energie del concio elementare F N( 0 T( F M( F 0 Ndu F χ G Nd du 0 E Td dt χ G Md dϕ TdT Md ϕ F N d E T d χ G M d

15 Energia elastica - considerazioni Il rapporto fra energia douta al taglio ed energia douta al momento flettente T M F χ G F χ G χe è molto piccolo perché 0 (per materiali metallici, G e per le normali aste lunghe e snelle risulta molto piccolo il rapporto I Per aste con lunghezza grande rispetto alle dimensioni trasersali il contributo del taglio all energia di deformazione si può trascurare

16 PRINIPIO D VORI VIRTUI

17 Principio dei laori irtuali per corpi e sistemi meccanici rigidi F δ F a δα F F Fδδ-δ Fδ 0 PV Per δ qualsiasi F-F F 0 F PV 0 per δα qualsiasi Fδα F aδα 0 F F a

18 Principio dei laori irtuali per strutture deformabili Ipotesi di base: la struttura è in equilibrio sotto l azione delle forze applicate e dei incoli lla struttura iene idealmente applicato un sistema di spostamenti irtuali Il PV stabilisce che il laoro di deformazione compiuto dalle forze esterne (e dalle reazioni incolari è uguale al laoro compiuto dalle azioni interne e i Per il calcolo degli spostamenti è utile usare la ersione del PV nota come Metodo delle forze: Il sistema delle forze è un sistema fittizio applicato alla struttura Il sistema degli spostamenti (irtuale è il sistema degli spostamenti della struttura reale

19 Esempio Si uole calcolare la rotazione dell estremità di una trae a mensola SISTEM DEGI SPOSTMENTI α? SISTEM DEE FORZE F N( 0 T( F M( F PV e i α N' du du d T dϕ T' d Nd E χ T Fd 0 Fd G M ' dϕ N' Nd E N'( 0 T'( 0 M'( χtd T' G M ' Md 0 Fd F

20 Esempio Trae soggetta a carico distribuito alcolo della freccia in mezzeria Q q? SISTEM N( 0 Qq / / Q T( q Q M( q SPOSTMENTI du 0 Q χ Q dt ( qd G Q dϕ ( q d SISTEM B N'( 0 T '( M '( B FORZE BD N' ( 0 T '( M' ( D

21 Esempio PV e i Q d Q q d Q d χ χ ( q ( ( q G G 0 χq 8G 5 84 Q 0 Q ( q d Se χ,;d40mm;000mm;g7000mpa;e70000mpa 57mm ;I5664mm 4 Q(4,05 0-6, Da cui si ede che il contributo del taglio è trascurabile d

22 Strutture con grado di iperstaticità pari a Modi per rendere isostatica una struttura iperstatica gd gdv 4 gdv gdv abile gdv gd 6 gdv 6

23 Strutture iperstatiche con g.i. Risoluzione con il PV Rendere la struttura isostatica eidenziando la reazione iperstatica incognita in corrispondenza del incolo rilassato alcolare le reazioni incolari in modo che risulti la dipendenza da Determinare le azioni interne e le componenti degli spostamenti interni elementari 4 onsiderare la struttura fittizia isostatica in cui agisce come forza esterna la reazione resa unitaria e determinarne reazioni e azioni interne 5 alcolare il laoro irtuale compiuto dal sistema delle azioni interne fittizie per gli spostamenti elementari della struttura reale e porlo pari a zero (nel caso di incolo rilassato rigido

24 Esempio Rendere la struttura isostatica eidenziando la reazione iperstatica incognita in corrispondenza del incolo rilassato q q gd gdv gdv 4 alcolare le reazioni incolari in modo che risulti la dipendenza da -Q/ Qq Q-

25 Esempio Determinare le azioni interne e le componenti degli spostamenti interni elementari -Q/ q Q- N 0 T - q q M du 0 χ( q d dt G q dϕ ( d 4 onsiderare la struttura fittizia isostatica in cui agisce come forza esterna la reazione resa unitaria e determinarne reazioni e azioni interne N' 0 T' - M '

26 Esempio 5 alcolare il laoro irtuale compiuto dal sistema delle azioni interne fittizie per gli spostamenti interni elementari della struttura reale e porlo pari a zero (nel caso di incolo rilassato rigido e χ( q d 0 i N' du T ' dt M ' dϕ G χ ( G 0 4 q q G q q G 8 χ G 0 q ( χ q d ( G ( q 8 4

27 Esempio F F F F y gd gdv4 a α b gdv a α b a F α b H B B V H B B dati: F kn a 000 mm b 400 mm α F F cosα 88,7 N; Fy F sinα 544,6 N - F - V H F Fa H y B H B 0 0 ( b acosα asinα 0 V H H F B y 544,6 Fa asinα 78 0,970 b acosα 6 0,970

28 F Esempio struttura reale-sistema degli spostamenti H V a H B α b B N H T H M ( H B N T H B M H sinα V cosα V cosα V 78 0,970 B cosα 970,6 0.0 sinα 495,58 sinα 495, ,970 Spostamenti inf initesimi Nd χtd du ; dt ; dϕ E G Md

29 Esempio struttura fittizia-sistema delle forze b α H' V' H' B B a -0,970 -H M' 0,970 H T' - N',58 sin V' cos (-H' M',58 sin V' cos -H' T' 0,0 cos V' sin -H' N' interne : azioni e 0,970 ' ' ; ' 0,970; ' risultano : incolari e reazioni B B B H H V H B α α α α α α N Se I I E Md M G Td T E Nd N PV i e mm I : 964mm 50mm; d 0 4, ,7 0 0,0 0 4,76 0 (,7 70, 0 0,0 ( ' ' ' 0 taglio (trascurando il χ

30 Esempio azioni interne -490 N 970, N -490 N 86 T 495,58 0 M 495,58 0 B N 86N T 78 0,970 0 M 78 0, B