Sussidi didattici per il corso di COSTRUZIONI EDILI. Prof. Ing. Francesco Zanghì TRAVI CONTINUE AGGIORNAMENTO DEL 27/10/2011

Transcript

1 Sussidi didattici per il corso di OSRUZIONI EILI Prof. Ing. Francesco Zanghì RVI ONINUE GGIORNMENO EL 7/0/0

2 orso di OSRUZIONI EILI Prof. Ing. Francesco Zanghì Per trave continua intendiamo una trave unica, vincolata su più appoggi di cui almeno uno deve essere fisso a terra (cerniera), mentre glia altri possono essere muniti di carrello. causa della continuità della trave, sulle campate si verifica una forte riduzione dei momenti flettenti rispetto alla soluzione con campate separate isostatiche. La riduzione dei momenti massimi positivi si paga, tuttavia, con la comparsa di momenti negativi (che tendono le fibre superiori) in corrispondenza degli appoggi intermedi.

3 orso di OSRUZIONI EILI Prof. Ing. Francesco Zanghì E E

4 orso di OSRUZIONI EILI Prof. Ing. Francesco Zanghì La trave continua è iperstatica in quanto il numero di incognite è superiore a quello delle equazioni di equilibrio. iò significa che esistono infinite soluzioni che soddisfano il sistema. La soluzione esatta, però, è solo quella congruente con le caratteristiche di deformabilità degli elementi che compongono la struttura e con i suoi vincoli. EQUZIONE EI RE MOMENI I LPEYRON onsideriamo una trave continua su tre appoggi caricata con un carico ripartito q. q L Immaginiamo di sconnettere la trave in corrispondenza del punto ed introdurre una cerniera. Per ripristinare la continuità e rendere i due schemi equivalenti dobbiamo applicare i momenti M che sono incogniti. L q M M q L L 4

5 orso di OSRUZIONI EILI Prof. Ing. Francesco Zanghì La cerniera permetterebbe ai due tronchi di ruotare liberamente l uno rispetto all altro mentre nel sistema reale i due tronchi sono legati dal vincolo di continuità. θ L L θ' θ L L θ' Pertanto la congruenza implica: θ = θ ' 5

6 orso di OSRUZIONI EILI Prof. Ing. Francesco Zanghì Per il teorema di Mohr gli angoli di rotazione delle tangenti d estremità della linea elastica di una trave appoggiata-appoggiata sono dati dal rapporto tra le reazioni ausiliarie ottenute caricando la trave con il diagramma dei momenti della trave reale e la quantità EJ. M α β N M N α = M* EJ β = N* EJ M* N* lla rotazione dovuta ai carichi esterni deve essere sommata la rotazione dovuta ai momenti di estremità pertanto, con riferimento alla trave continua --, si ha: * EJ L 6EJ sin ' des θ = + ( + ) θ = + ( M + M ) M M Sostituendo nell equazione di congruenza e semplificando: M L * EJ L 6EJ ( L + L ) + M L = ( sin des ) + M

7 orso di OSRUZIONI EILI Prof. Ing. Francesco Zanghì Questa equazione è nota come equazione dei tre momenti di lapeyron. Le reazioni fittizie dipendono da come è caricata la struttura. 7

8 orso di OSRUZIONI EILI Prof. Ing. Francesco Zanghì 8

9 orso di OSRUZIONI EILI Prof. Ing. Francesco Zanghì ESEMPIO Studiare la trave continua omogenea, a sezione costante, riportata in figura e tracciare i diagrammi di taglio e momento flettente. 0 kn 50 kn/m 40 kn/m '.50 m 5.00 m 4.00 m LOLO EI MOMENI GLI PPOGGI Il momenti agli appoggi e sono noti: M = 0.50 = 45 knm; M = 0 Il momento all appoggio si calcola mediante l equazione dei tre momenti: M M ( ) + M 4.00 = 6( sin + des ) M = 6( sin + des ); 5 + 8M = 6( sin + des ) * q l 50 5 kn * 40 4 kn sin = = = 60.4 ; des = = (vedi tabelle di pag.7) 4 4 m 4 m Pertanto: 5+ 8M = da cui si ricava: M = knm 9

10 orso di OSRUZIONI EILI Prof. Ing. Francesco Zanghì LOLO ELLE REZIONI VINOLRI 0 kn kn/m 40 kn/m M M.50 m 5.00 m 4.00 m ' V V V H V V V = 0 + V + V = 0 ( ) = M = M Equilibrio alla traslazione orizzontale Equilibrio alla traslazione verticale Equilibrio alla rotazione a sinistra di Equilibrio alla rotazione a destra di alla terza equazione si ricava: V = ; V 5.00 = ; V = 4. 0 kn alla quarta equazione si ricava: V 4.00 = 0.4 ; V = 5. 5 kn 0

11 orso di OSRUZIONI EILI Prof. Ing. Francesco Zanghì Sostituendo V e V nella seconda equazione: 4.0 V = 0; V = kn + RERISIHE ELL SOLLEIZIONE 0 kn 50 kn/m 40 kn/m S S S.50 m 5.00 m 4.00 m ' tratto : Guardiamo a sinistra della sezione S: GLIO 0 kn S = 0 kn per per = 0 ' =.50 = 0 kn = 0 kn MOMENO M S = 0 per per = 0 M ' =.50 M = 0 = 45 knm lineare ' S

12 orso di OSRUZIONI EILI Prof. Ing. Francesco Zanghì tratto : Guardiamo a sinistra della sezione S: GLIO 0 kn 50 kn/m S = per per = 0 + = 5.00 =.0 kn = 7.97 kn Punto di nullo: = 0 MOMENO IN MP ;. 4 m = dal punto '.50 m S = ( ) M S 4 + ; per =.4 M ma knm = 4.0 tratto : Guardiamo a destra della sezione S: GLIO 40 kn/m S + = per per Punto di nullo: = 0 MOMENO IN MP = 0 = 4.00 = 5.5 kn + ;. m = kn = dal punto S + M S = ; per =. M ma 4.50 knm = 5.5

13 orso di OSRUZIONI EILI Prof. Ing. Francesco Zanghì IGRMMI. m.4 m M

14 orso di OSRUZIONI EILI Prof. Ing. Francesco Zanghì ESEMPIO Studiare la trave continua omogenea, a sezione costante, riportata in figura e tracciare i diagrammi di taglio e momento flettente. 0 kn/m 50 kn 0 kn/m.00 m 4.00 m.00 m rattandosi di trave continua incastrata agli estremi, sostituiamo gli incastri di estremità con due appoggi, posti a distanza piccolissima, L 0, le cui reazioni costituiscono una coppia. La nuova campata che si viene a formare viene considerata scarica : 0 kn/m 50 kn 0 kn/m L0.00 m 4.00 m.00 m L0 ' ' 4

15 orso di OSRUZIONI EILI Prof. Ing. Francesco Zanghì LOLO EI MOMENI GLI PPOGGI Scriviamo 4 volte l equazione dei tre momenti: M M M M ' L 0 + M.00 + M M.00 + M ( L0 +.00) + M.00 = 6( sin + des ) ( ) + M 4.00 = 6( sin + des ) ( ) + M.00 = 6( sin + des ) (.00 + L ) + M L = 6( sin + des ) 0 ' 0 RO -- RO -- RO -- RO -- * poiché si può porre L 0 =0 segue : sin = 0 M.00 + M M.00 + M M M M.00 + M.00 = 6 * e des = 0 ( ) + M 4.00 = 6( sin + des ) ( ) + M.00 = 6( sin + des ).00 = 6 * des * sin alle tabelle di pag.7 e 8 si ricavano:, pertanto: q l 0 kn 4 4 m q l 0 kn des = sin = = = m P l 50 4 kn = ; 6 6 m des = sin = = =.5 ; des sin = = = 50 5

16 orso di OSRUZIONI EILI Prof. Ing. Francesco Zanghì Il sistema diventa: 6M M 4M M + M + 4M + 4M + 6M = 5 + 4M + M = 0.5 = 45 = 50.5 alla prima: M.5M 67. 5; dalla quarta: M.5M 0. 5 = Sostituendo nella seconda e terza equazione: =.5M M 4M + 4M.5M + 4M = = 50.5 ;.5M + 4M = M +.5M = 40.5 alla prima: M = M ; sostituendo nella seconda: 4M 9M 48.7 = M =. knm Sostituendo: M = 5. knm M =. 8 knm M =. knm 6

17 orso di OSRUZIONI EILI Prof. Ing. Francesco Zanghì LOLO ELLE REZIONI VINOLRI 0 kn/m 50 kn 0 kn/m m 4.00 m.00 m V V V V V V V V + V + V + V = 0.00 ( ) + M = M.00 ( ) + M = M ( ) + V 4 ( ) M = M Equilibrio alla traslazione verticale Equilibrio alla rotazione a sinistra di Equilibrio alla rotazione a destra di Equilibrio alla rotazione a destra di alla seconda equazione si ricava: V =. ; V = 6. 8 kn alla terza equazione si ricava: V = 5. ; V = 4. 6 kn 7

18 orso di OSRUZIONI EILI Prof. Ing. Francesco Zanghì Sostituendo V nella quarta equazione: ( ) + 4 ( ) = V ; V = 7. 4 kn Sostituendo le reazioni trovate nella prima equazione: 6.80 V = 0 ; V = 57. kn + RERISIHE ELL SOLLEIZIONE 0 kn/m 50 kn 0 kn/m.8 E S S S S4.00 m 4.00 m.00 m

19 orso di OSRUZIONI EILI Prof. Ing. Francesco Zanghì tratto : Guardiamo a sinistra della sezione S: GLIO 0 kn/m S = per per Punto di nullo: = 0 = 0 + =.00 = 6.80 kn ;. 4 m =.0 kn = dal punto.8 S MOMENO IN MP M S = ; per =.4 M ma = 6. knm tratto P : Guardiamo a sinistra della sezione S: GLIO 0 kn/m 6.8 = S = kn costante MOMENO M S ( + ) (.5 + ). 8 = 6.8 per = M E 6. 7 knm =.8.00 m S 9

20 orso di OSRUZIONI EILI Prof. Ing. Francesco Zanghì tratto P: Guardiamo a sinistra della sezione S: GLIO 0 kn/m + S = = 6 kn costante MOMENO M S + ( + ) (.5 + ). = 4.6 S.00 m. + per = M E 6. 7 knm = tratto : Guardiamo a destra della sezione S4: GLIO 0 kn/m S + 4 = per per 4 4 = 0 =.00 = 4.6 kn + = 46.4 kn Punto di nullo: = 4 0 MOMENO IN MP ;. 45 m 4 = dal punto S M S 4 = ; per 4 =.45 M ma = 0.6 knm

21 orso di OSRUZIONI EILI Prof. Ing. Francesco Zanghì IGRMMI.45 m.4 m M

22 orso di OSRUZIONI EILI Prof. Ing. Francesco Zanghì Fonti Ernesto Lo Re Materiale didattico M.G.usato Rotazioni degli estremi di una trave appoggiata