Prisma retto. Generatrice. Direttrice. Prisma obliquo. Nel caso le generatrici non siano parallele. Generatrice

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1 Oggetti (identificati) nello spazio Una porzione di piano delimitata da una linea spezzata chiusa si chiama poligono, un solido delimitato da un numero finito di facce piane si chiama poliedro. In un poliedro ogni lato di ciascun poligono che costituisce una faccia coincide con il lato di un'altra faccia e viene detto spigolo del poliedro; il punto di incontro di più spigoli si dice vertice. La figura rappresenta un dodecaedro costituito da 12 facce pentagonali ed un tetraedro, con facce triangolari. Incontreremo spesso, anche nel lavoro futuro, molti poliedri, ma per nostra fortuna, solitamente questi saranno piuttosto semplici. Tra tutti consideriamo la famiglia dei prismi, costituiti da facce poligonali con lati (es. il cubo), solidi di rotazione (come il cilindro, il cono e la sfera) o poliedri semplici come la piramide. Le superfici che costituiscono le facce di questi oggetti possono talvolta essere generate da rette (generatrici) che scorrono lungo una curva o una polilinea (direttrice). In questo caso le superfici che vengono generate si dicono rigate. Ancora possiamo pensare a curve generatrici che formano superfici scorrendo su direttrici a loro volta curve (ad es. le superfici toriche). Supponiamo di avere come direttrice una circonferenza e come generatrici un fascio di rette parallele: la superficie generata è un cilindro Generatrice Direttrice Prisma retto Generatrice Nel caso le generatrici non siano parallele ma concorrano in un punto allora la superficie che generano è un cono Prisma obliquo Direttrice Superficie rigata cilindrica

2 La rappresentazione nelle proiezioni ortogonali V 2 A 2 C 2 C 1 V 1 Fig. 1 Fig. 2 Fig. La fig.1 rappresenta un parallelepipedo (tutte le facce sono parallele), definito dalle proiezioni degli spigoli e dei vertici: in questo caso il solido ha 2 facce sui piani 1 e ed uno spigolo sulla linea di terra. La fig. 2 rappresenta un cilindro. Utile è rappresentare il quadrilatero che circoscrive la circonferenza: si definiscono punti nei quali la circonferenza è tangente. Altro punto fondamentale è il centro. La fig. rappresenta una piramide a base quadrata posta su un piano parallelo a. Punto importante è il vertice. Intersezione fra un prisma ed un piano generico Si vuole trovare l intersezione fra il piano generico ed il prisma, ovvero occorre determinare le intersezioni fra il piano e le facce piane che costituiscono il poliedro. Quindi non facciamo altro che determinare alcune intersezioni fra piani. La figura sezione sarà piana ed avrà i vertici appartenenti agli spigoli del poliedro.

3 s Il parallelepipedo interseca il piano a su 1 nei punti 1e 2, appartenenti alla traccia non ho intersezioni reali su Consideriamo due piani paralleli a, (li chiamiamo e, che contengono le facce del prisma parallele a. Questi piani intersecano il piano a con due rette, r e s, che individuano rispettivamente i punti - e - 1, ovvero i lati della sezione. Con l ausilio del piano primo proiettante con t' perpendicolare a operiamo il ribaltamento della sezione, quindi del piano, sul piano 1. Come determinare su quali piani giacciono le facce del poliedro? Data la faccia A-B-C-D determino nella retta che contiene l intersezione che questa ha con il piano 1 la prima traccia del piano. Per determinarne la seconda considero la retta di livello r che contiene lo s 2 Ts 2 spigolo A-D, ne determino la traccia in 1 : T si trova A 2 D 2 T nell intersezione di con la retta di richiamo ver- ticale del punto T proiezione su p 1 (sulla linea di terra). Poi posso tracciare la. Oppure considero la retta s appartenente al piano a e ne determino le tracce in prima e seconda proiezione. La retta s appartiene al piano, così posso B 2 C 2 tracciare D 1 C 1 s 1 B 1

4 C 2 =D A 2 =B 2 C 1 V 2 B 1 Sezione di una piramide Consideriamo la faccia A-B-V: il piano che la contiene (piano ) ha la sua prima traccia coincidente con il segmento A-B e la seconda coincidente con la seconda proiezione della faccia. Dall intersezione di con il piano a si ottiene la retta che determina i punti e, estremi del segmento -, lato della sezione. Analogo procedimento (con il piano ) consente di trovare il segmento 1-. Nell intersezione reale della base A-B-C-D in prima proiezione con la traccia determiniamo il punto 2 e, nuovamente, il punto 1. Quale sarà la vera forma della sezione? V 1 1 D 1 2 Sezione del cilindro 1 L immagine rappresenta un semicilindro con l asse orizzontale, parallelo alla linea di terra, sezionato da un piano primo proiettante. La sezione è una semiellisse la cui vera forma è rappresenta mediante il ribaltamento di. Da notare che per la rappresentazione del semicilindro è necessaria la terza proiezione su.

5 Dalle proiezioni ortogonali all assonometria Asse z B O 2 Asse x * O u z u x u y A Asse x O 1 Asse y O * 1 1 Asse y * C Asse z * Rappresentiamo lo spazio nelle proiezioni ortogonali suddiviso dai piani coordinati 1,,, le linee di terra divengono gli assi x, y, z che si intersecano nel punto di origine O. Poniamo un piano generico e proiettiamo su questo il punto origine O, con il raggio di proiezione r. Congiungendo O con i punti uniti A,B e C rappresentiamo su a gli assi x,y,z. Con raggi paralleli ad r, proiettiamo su gli assi x,y e z le unità di misura u x, u y e u z. Operando il ribaltamento di sul piano 1 abbiamo ottenuto la rappresentazione assonometrica dei piani 1, e, degli assi, dell origine O e delle unità di misura.

6 Se i raggi di proiezione sono perpendicolari al piano di proiezione l assonometria si dice ortogonale z e l origine O diviene l ortocentro del triangolo costituito dalle tracce sui piani coordinati di (, t, triangolo delle tracce). Nel caso i raggi t di proiezione (che ricordiamo hanno centro all infinito) non siano ortogonali al piano u z O u x l assonometria si dice obliqua. L angolo che formano gli assi x,y e z variano al variare del raggio di u y proiezione, così come si modificano le unità di misura u x, u y e u z proiettate. x A seconda del rapporto fra le unità di misura y 1 l assonometria si dice trimetrica (tutte le unità sono diverse fra loro), di metrica (2 sono uguali) o monometrica (tutte uguali). Quando due assi sono ortogonali l assonometria, obliqua, si dice militare. In generale nella rappresentazione assonometrica si conserva il parallelismo, non l ortogonalità. Nel caso dell assonometria militare l ortogonalità si conserva su un piano. Il tipo di assonometria che utilizzeremo è quella militare obliqua monometrica, con l ortogonalità conservata sul piano 1 e l asse z verticale. L angolo che gli assi x e y formano con l orizzontale varia a seconda di ciò che si desidera rappresentare (solitamente gli assi x e y ruotano di multipli di 1 ). Il punto in assonometria Il punto reale P è rappresentato nello spazio mediante le sue proiezioni, come per le proiezioni ortogonali, sui piani 1, e P 2 P P P 1 1

7 r A A 2 La retta Dati i punti A e B, è possibile disegnare la retta che li contiene. Nel caso rappresentato si determina la posizione di T, riportando nella prima proiezione il punto di intersezione di con la linea di terra B 2 B B 1 T I piani Come per le proiezioni ortogonali i piani sono definiti dalle loro tracce, ovvero le rette di intersezione con i piani 1, e. La retta intersezione fra i piani e è la retta che passa per l intersezione delle tracce dei piani. T t t r T