Come vedere la matematica in ciò che ci circonda

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1 1/46 Come vedere la matematica in ciò che ci circonda Savona 19 Dicembre 2001

2 2/46

3 2/46

4 2/46

5 2/46

6 2/46

7 2/46

8 3/46 Sono entrambi parti di un paraboloide

9 Un paraboloide si ottiene facendo ruotare una parabola 4/46 attorno al suo asse

10 La parabola è il luogo dei punti del piano equidistanti da una retta, la direttrice, e da un punto, il fuoco. 5/46

11 La parabola è una sezione conica: si ottiene intersecando un cono con un piano parallelo alla sua generatrice. 6/46

12 Un cono si ottiene dalla rotazione di una retta, la generatrice, attorno ad un asse. 7/46 Le sezioni coniche si ottengono intersecando un cono con un piano.

13 Se il piano è orizzontale e non passa per l origine, la sezione conica è una Circonferenza Se il piano è verticale e non passa per l origine, la sezione conica è una Iperbole Se il piano è parallelo alla generatrice,e non passa per l origine, la sezione conica è una parabola Se il piano non è parallelo alla generatrice, e non passa per l origine, la sezione conica è una ellisse 8/46

14 Se il piano passa per l origine, la sezione conica è una coppia di rette, se il piano non è parallelo alla generatrice, ed e abbastanza inclinato una retta di rette, se il piano è parallelo alla generatrice, un punto, se il piano non è parallelo alla generatrice, ed e poco inclinato 9/46

15 Piano orizzontale che non passa per l origine Circonferenza 10/46

16 Piano verticale che non passa per l origine Iperbole 11/46

17 Piano non parallelo alla generatrice che non passa per l origine Ellisse 12/46

18 Piano parallelo alla generatrice che non passa per l origine Parabola 13/46

19 Piano per l origine Coppia di Rette - Retta Doppia - Punto 14/46

20 Archimede calcolò l area del segmento parabolico utilizzando il metodo di esaustione. Sommò, cioè, l area di infiniti triangoli fino a ricoprire il segmento parabolico. 15/46

21 16/46

22 17/46

23 18/46 T

24 19/46 T, T T

25 T T T 20/46 T T T T + n=0 ( ) 1 n = T = T 4 3

26 Per descrivere una parabola è utile considerare un sistema di riferimento cartesiano nel piano: 21/46

27 ed esprimere il fatto che i punti della parabola sono equidistanti dalla direttrice y = d e dal fuoco F = (0, d) x2 + (y d) 2 = y + d 22/46 x 2 + (y d) 2 = (y + d) 2 y = x2 4d x 2 + y 2 2dy + d 2 = y 2 + 2yd + d 2

28 Sistema di riferimento Cartesiano e Sistema di riferimento polare 23/46

29 24/46 z = x 2 + y 2 z = ρ 2

30 25/46

31 Sfera 25/46

32 Sfera 25/46 Icosaedro Troncato

33 La Sfera 26/46 È il luogo dei punti dello spazio che sono equidistanti da un punto fisso che chiamiamo centro.

34 Un punto di coordinate (x, y, z) appartiene alla sfera di raggio R se e solo se x 2 + y 2 + z 2 = R 2 (Equazione della sfera) oppure 27/46 ρ = R

35 L Icosaedro Troncato 28/46

36 È un solido Archimedeo: è delimitato da 12 pentagoni e 20 esagoni. 29/46 Si ottiene asportando 20 piramidi a base pentagonale dai vertici di un iscosaedro. Le facce triangolari diventano esagonali.

37 Un solido Archimedeo è delimitato da almeno due tipi di poligoni regolari che si presentano nella stessa sequenza attorno ad ogni vertice. L icosaedro troncato è delimitato da pentagoni ed esagoni ed attorno ad ogni vertice troviamo la sequenza esagono - pentagono - esagono 30/46

38 31/46

39 Solidi Platonici: sono poliedri regolari, le loro facce sono poligoni regolari dello stesso tipo. Ne esistono solo 5: tetraedro ( 4 facce triangoli equilateri) esaedro ( 6 facce quadrate) ottaedro ( 8 facce triangoli equilateri) dodecaedro ( 12 facce pentagoni regolari) icosaedro ( 20 facce triangoli equilateri) 32/46

40 33/46

41 Tornando all icosaedro troncato, il suo sviluppo è il seguente; 34/46

42 L icosaedro troncato compare anche nella struttura di una molecola di recente scoperta e di grandi applicazioni. 35/46

43 36/46

44 La Spirale 36/46

45 La Spirale 36/46 Logaritmica

46 La spirale Logaritmica È una curva con la proprietà di mantenere costante l angolo formato dal raggio vettore e dalla tangente in ogni punto. 37/46

47 La spirale Logaritmica È una curva con la proprietà di mantenere costante l angolo formato dal raggio vettore e dalla tangente in ogni punto. 38/46

48 La spirale Logaritmica È una curva con la proprietà di mantenere costante l angolo formato dal raggio vettore e dalla tangente in ogni punto. 39/46

49 La spirale logaritmica compare in natura molto spesso. Bernoulli la chiamò Spira Mirabilis È presente nel Girasole nel Nautilo nella Pigna 40/46

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