DIDATTICA DELLA GEOMETRIA Lezione n 3

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Tito Cappelli
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1 DIDATTICA DELLA GEOMETRIA Lezione n 3

2 PERCORSI NELLA GEOMETRIA SOLIDA

3 LA RELAZIONE DI EULERO f+v=s+2

4 Possiamo fare un po di algebra con la Geometria solida! Quanti vertici ha un prisma a base triangolare? Quanti spigoli? Quante facce? E un prisma a base quadrangolare?.. E un prisma con base un poligono di n lati? vertici=2n ; facce= n+2; spigoli = 3n (2n)+ (n+2)= (3n)+2

5 E la piramide? Provare!!!!

6 IL PRINCIPIO DI CAVALIERI (Bonaventura Cavalieri, )

Nel piano Due figure piane sono equivalenti se esiste una retta tale che ogni altra retta parallela ad essa le interseca secondo segmenti di uguale lunghezza.

7 Nel piano Due figure piane sono equivalenti se esiste una retta tale che ogni altra retta parallela ad essa le interseca secondo segmenti di uguale lunghezza. Possiamo costruire un modello materiale per rendere più concreto il principio costruendo una figura piana con bastoncini impilati e poi spostando da una parte i loro estremi con un righello.

8 RETTANGOLO E PARALLELOGRAMMA Il rettangolo e il parallelogramma in figura hanno basi congruenti e altezze congruenti. Ogni retta parallela alle basi taglia le due figure con segmenti congruenti alle basi stesse. Per le proprietà dei parallelogrammi, tali segmenti sono congruenti alle basi, perciò congruenti tra loro. Le due figure quindi sono equivalenti per il principio di Cavalieri.

TRIANGOLI I due triangoli in figura hanno basi congruenti e altezze congruenti; utilizzando la similitudine si può capire che ogni retta parallela alle

9 TRIANGOLI I due triangoli in figura hanno basi congruenti e altezze congruenti; utilizzando la similitudine si può capire che ogni retta parallela alle basi taglia i due triangoli con segmenti congruenti, perché proporzionali alle basi stesse con lo stesso rapporto; quindi i due triangoli sono equivalenti.

10 Nello spazio Due solidi sono equivalenti se esiste un piano tale che ogni altro piano parallelo ad esso li interseca secondo sezioni equivalenti. Possiamo costruire un modello materiale per rendere più concreto il principio costruendo due solidi con un ugual numero di strati di cartone dello stesso spessore aventi per base due figure piane equivalenti. In prima battuta può bastare anche un mazzo di carte!!!

11 PARALLELEPIPEDO RETTI E NON I due parallelepipedi hanno basi e altezze congruenti; piani paralleli alle basi li tagliano secondo poligoni congruenti alle basi, perciò congruenti tra loro; i due poliedri sono perciò equivalenti per il principio di Cavalieri.

12 PARALLELEPIPEDI E PRISMI Il parallelepipedo e il prisma in figura hanno basi equivalenti e altezze congruenti. Per motivazioni analoghe alle precedenti i due solidi sono equivalenti. In generale: prismi aventi basi equivalenti ed altezze congruenti sono equivalenti.

PIRAMIDI Utilizzando la similitudine possiamo concludere che, se le basi delle piramidi sono equivalenti, anche le sezioni parallele sono equivalenti;

13 PIRAMIDI Utilizzando la similitudine possiamo concludere che, se le basi delle piramidi sono equivalenti, anche le sezioni parallele sono equivalenti; quindi le due piramidi sono equivalenti per il principio di Cavalieri. In generale: piramidi aventi basi equivalenti ed altezze congruenti sono equivalenti.

14 PIRAMIDI E PRISMI Quindi: quella piramide occupa la terza base di un prisma avente base ed altezza ad esso congruenti. Ma per il principio di Cavalieri: una piramide è 1/3 di un prisma con base equivalente ed altezza congruente a quelle della piramide stessa. Si può anche fare un bellissimo modello!!!

15 Coni e cilindri Sempre con il principio di Cavalieri si può giustificare che: un cilindro è equivalente ad un prisma avente base equivalente ed altezza congruente a quelle del cilindro stesso. un cono è equivalente ad una piramide avente base equivalente ed altezza congruente a quelle del cono stesso

scaviamo una semisfera, otteniamo un solido chiamato scodella di Galilei.

figura è sempre uguale a quello della corona circolare corrispondente, si può

16 E la sfera? La scodella di Galilei Se in un cilindro di altezza pari al raggio di base scaviamo una semisfera, otteniamo un solido chiamato scodella di Galilei. Utilizzando il principio di Cavalieri, facendo vedere che l area del cerchio in figura è sempre uguale a quello della corona circolare corrispondente, si può dimostrare che la scodella è equivalente al cono avente base e altezza congruenti a quelle del cilindro. Quindi la semisfera è i 2/3 del cilindro. Da qui il suo volume.

17 POLIEDRI REGOLARI

18 Quanti sono i poligoni regolari? In quanti modi si può dividere una circonferenza in parti uguali? In infiniti modi i poligoni regolari sono infiniti

19 Quanti sono i poliedri regolari? Scopriamolo!!!!!

20 DEFINIZIONE Un poliedro è regolare se tutti i suoi diedri sono congruenti e tutte le sue facce sono poligoni regolari.

Triangolo equilatero Quanti triangoli possono concorrere in un vertice? Il numero minimo è 3, altrimenti non si forma l angoloide Facciamo esperienza: Risposta: 3, 4, 5.

21 Triangolo equilatero Quanti triangoli possono concorrere in un vertice? Il numero minimo è 3, altrimenti non si forma l angoloide Facciamo esperienza: Risposta: 3, 4, 5. Perché? La somma degli angoli concorrenti in un vertice ( cioè la somma degli angoli dell angoloide) deve essere inferiore ad un angolo giro, quindi: 3 60 = = = 300

22 Quadrato Proviamo: solo tre quadrati in un vertice!!! 3 90 = = 360 impossibile!!!!

23 Pentagono Quanto vale l angolo al vertice del pentagono? : 5 = = 324 possibile!

24 Esagono Quanto vale l angolo al vertice dell esagono? : 6 = = 360 impossibile!

25 In sintesi 3 poliedri con il triangolo equilatero 1 poliedro con il quadrato 1 poliedro con il pentagono Come contare facce, spigoli, vertici?

26 Tetraedro, cubo, ottaedro: facile! Dodecaedro 12 facce, ognuna con 5 spigoli, ma ogni spigolo è comune a 2 facce, quindi: 12 5: 2 = 30 Icosaedro Idem! 20 3: 2 = 30 E i vertici? Relazione di Eulero!!!!!!

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I solidi. Un solido è una parte di spazio delimitata da una superficie chiusa. I solidi delimitati da poligoni vengono chiamati poliedri. I solidi Un solido è una parte di spazio delimitata da una superficie chiusa. I solidi delimitati da poligoni vengono chiamati poliedri. I solidi che hanno superfici curve vengono chiamati solidi rotondi.