Definizione Chiamiamo poliedro la regione di spazio limitata che ha per bordo una superficie poliedrale.

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1 1 Poliedri Definizione Un sottoinsieme connesso dello spazio è detto superficie poliedrale se è l unione di un numero finito di poligoni P j (poligoni che si diranno facce del poliedro) in modo che risultino soddisfatte le seguenti condizioni: 1. l intersezione di due facce, se non è vuota, è uno spigolo o un vertice comune alle due facce (che chiameremo spigolo o vertice del poliedro); 2. ogni spigolo appartiene esattamente a due facce; 3. due facce adiacenti (cioè tali che la loro intersezione sia uno spigolo) non sono complanari; 4. comunque si fissi un vertice v, e due facce f e g che contengono v, esiste una catena f 1,..,f n di facce, tutte contenenti v, e tali che f = f 1, g = f n e f i sia adiacente a f i+1, per ogni i = 1,,n 1. Si dimostra che ogni superficie poliedrale divide lo spazio in due regioni una delle quali limitata ed in base a tale proprietà è possibile formulare la seguente Definizione Chiamiamo poliedro la regione di spazio limitata che ha per bordo una superficie poliedrale. Poliedri Regolari Definizione Dato un vertice V di un poliedro P, per Figura al Vertice rispetto a V, si intende la linea spezzata chiusa che ha per vertici i punti medi degli spigoli che concorrono in V, e per lati i segmenti che congiungono i punti medi degli spigoli che appartengono ad una stessa faccia di P. Va osservato che non è detto che tali poligonali siano piane. Si definisce valenza di un vertice di un poliedro P il numero di spigoli che concorrono in quel vertice. Definizione Un poliedro convesso si dice regolare se 1. tutte le facce sono poligoni regolari 2. tutte le facce sono uguali fra loro 3. tutte le figure al vertice sono uguali fra loro 4. tutte le figura al vertice sono (il bordo di) poligoni regolari Per definire un poliedro regolare in realtà sono sufficienti tre delle quatto condizioni espresse nella definizione. Quindi, ad esempio, è possibile definire un poliedro regolare attraverso le condizione e la quarta sarà una conseguenza. In generale due sole di queste condizioni ad eccezione della 1 e 4 non sono sufficienti a definire un poliedro regolare possiamo infatti considerare i seguenti controesempi:

2 2 Prisma a base esagonale con altezza tale che le figure al vertice siano poligoni regolari Le figure al vertice sono triangoli equilateri (4) Le figure al vertice sono tutte uguali fra loro (3) Le facce NON solo tutte uguali Le facce NON sono tutti poligoni regolari Dodecaedro rombico Le facce sono tutte uguali (rombi) (2) Le figure al vertice sono poligoni regolari (4) Le facce NON sono poligoni regolari Le figure al vertice NON sono tutte uguali Cubottaedro Le facce sono poligoni regolari (1) Le figure al vertice sono tutte uguali loro :rettangoli (3) Le facce NON sono tutte uguali Tetraedro con spigoli di lunghezze diverse Le facce soni triangoli isosceli: due spigoli opposti hanno stessa lunghezza l 1, gli altri quattro sono fra loro uguali e di lunghezza l 2 Le facce sono uguali fra loro (2) Le figure al vertice sono uguali fra loro (3) Le facce NON sono poligoni regolari Poliedro ottenuto unendo due tetraedri regolari lungo una faccia Le facce sono poligoni regolari (1) Le facce sono tutte uguali (2) Le figure al vertice NON sono tutte uguali

3 3 Mostriamo che le condizioni 1 e 4 sono sufficienti a garantire la regolarità di un poliedro. Teorema 1 Sia P un poliedro convesso tale che tutte le facce siano regolari e tutte le figure al vertice sono regolari. Allora P è un poliedro regolare. Dim. Dobbiamo dimostrare che da 1 e 4 2 e 3 Iniziamo con l osservare che gli spigoli del poliedro soddisfacente alle ipotesi del teorema devono avere necessariamente tutti la stessa lunghezza: infatti le facce sono poligoni regolari e avendo due facce adiacenti uno spigolo in comune si ricava che gli spigoli sono tutti della stessa lunghezza. Indichiamo con 2l tale lunghezza. Consideriamo una figura al vertice ed un suo lato: questo lato sarà contenuto in una faccia del poliedro e se tale faccia ha n spigoli la sua lunghezza è data da cos( π n) Da questo possiamo ricavare che tutte le face sono uguali fra loro. Infatti supponiamo per assurdo che le facce non siano tutte uguali e consideriamo due facce diseguali, la prima avente p lati la seconda p lati, aventi un vertice v in comune. La figura al vertice relativa a v allora risulta avere due lati diseguali, uno di lunghezza cos( π p) e l altro di lunghezza cos π p' contro le nostre ipotesi. ( ) Mostriamo ora che tutte le figure al vertice sono fra loro uguali Iniziamo con l osservare che i lati delle figure al vertice del poliedro hanno tutti la stessa lunghezza; infatti considerata una qualsiasi faccia del poliedro e due vertici A, B i lati ML e LN delle due figure al vertice relative ad A e B risultano uguali per i primo criterio di congruenza dei triangoli applicato ai triangoli AML, LNB ( M ÂL = LBˆ N, MA = LB, AL = BN). Consideriamo uno spigolo del poliedro di estremi VV e indichiamo con f ed f le facce del poliedro contenenti lo spigolo considerato Consideriamo le due figure al vertice relative ai due vertici V e V.

4 4 f f Le due piramidi di vertici V e V e basi rispettivamente le due figure al vertice relative risultano uguali. Infatti esse hanno uguali l angolo diedro individuato dalle facce delle piramidi appartenenti alle due facce f ed f del poliedro. le due facce appartenenti alle faccia f (terzo criterio di uguaglianza dei triangoli) le due facce appartenenti alle faccia f (terzo criterio di uguaglianza dei triangoli ) Essendo le piramidi uguali lo saranno anche le loro basi e il teorema rimane così dimostrato. Teorema 2 I poliedri regolari convessi sono cinque. Dim. Considerato un poliedro regolare convesso P, indichiamo con p il numero dei lati di una faccia di P q la valenza dei vertici di P S in numero di spigoli del poliedro F il numero di facce del poliedro V il numero di vertici Risulta pf = 2S da cui 2S F = (1) p in quanto ogni spigolo appartiene a due facce 2S qv = 2S da cui V = (2) q in quanto ogni spigolo contiene due vertici. I poliedri convessi sono semplici vale quindi la relazione di Eulero V + F S = 2 Sostituendo le espressioni trovate (1) e (2) per F e V nella relazione di Eulero risulta 2S 2S + S = 2 q p da cui, dividendo per 2S, si ottiene: = + > q p S 2 2

5 5 Mostriamo ora che le soluzioni intere della > q p 2 soggette al vincolo p, q 3 sono cinque. Osserviamo innanzi tutto che p e q non possono essere entrambi maggiori di 3, infatti considerati p 4 e q 4 abbiamo = q p quindi uno dei due è necessariamente uguale a 3 se p=3 si ottiene > q 3 2 da cui q<6 ( q = 3, 4, 5 ) analogamente fissato q=3 si ottiene p<6 ( p = 3, 4, 5 ). Le sole possibilità per p e q sono quindi cinque e date da: p=q=3 p=3 e q=4 p=3 e q=5 p=4 e q=3 p=5 e q=3 In base ai risultati ottenuti nella dimostrazione del teorema, sul tipo di facce e valenza dei vertici troviamo i seguenti poliedri cinque regolari: I cinque poliedri convessi regolari ( solidi Platonici ) Tetraedro ottaedro icosaedro esaedro (cubo) dodecaedro p=q=3 p=3 e q=4 p=3 e q=5 p=4 e q=3 p=5 e q=3 facce triangolari, facce triangolari, facce triangolari facce quadrate facce pentagonali valenza vertici 4 valenza vertici 5 Materiale prodotto dalla dottoressa Simona Bianchi tirocinante Silsis-Mi