I POLIEDRI SEMIREGOLARI

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1 I POLIEDRI SEMIREGOLARI Il matematico, come il pittore o il poeta, è un creatore di forme. E se le forme che crea sono più durature delle loro è perché sono fatte di idee Godfrey H. Hardy In geometria un poliedro semiregolare è una figura convessa le cui facce sono formate da due o più tipi di poligoni regolari che si incontrano in vertici identici. Iniziamo il nostro percorso sui poliedri semiregolari dividendoli in due categorie: - alla prima categoria appartengono i poliedri archimedei, i prismi e gli antiprismi; - alla seconda categoria appartengono i diamanti, gli antidiamanti e i poliedri di Catalan (ciascuno rispettivamente duali ai prismi, agli antiprismi e ai poliedri di Archimede). Ciò che differenza questi due gruppi sono le proprietà che caratterizzano le facce, gli spigoli e i vertici di tali poliedri. Perciò andiamo a vedere più nel dettaglio le loro caratteristiche.

2 1^ CATEGORIA: I POLIEDRI ARCHIMEDEI Le facce sono dei poligoni regolari di due o più tipi. I vertici sono isometrici, vale a dire che in ogni vertice convergono delle stesse figure con lo stesso ordine. Gli spigoli sono congruenti. Gli spigoli di questi poliedri sono tutti congruenti e poiché le facce sono poligoni regolari possiamo ricavare l area della superficie e il volume del solido in funzione dello spigolo. Inoltre poiché sono presenti almeno due tipi di facce distinte (altrimenti avremmo un solido platonico), i solidi archimedei si possono considerare i più regolari dopo quelli platonici. I vertici di questi solidi sono omogenei, cioè per ogni coppia di questi esiste una simmetria del solido che sposta il primo nel secondo. Quindi i vertici sono tutti uguali. Inoltre i vertici sono isometrici, cioè le facce convergenti in uno di esso sono disposte in un ordine preciso e il vertice riceve ugual numero di spigoli. Ad esempio l'icosidodecaedro alterna due triangoli e due pentagoni intorno a ogni vertice. Infine per tutti i vertici passa la sfera circoscritta al solido. Per incidenza sui vertici si intende il numero di lati che caratterizzano i poligoni regolari che incidono in ogni vertice e questa sequenza viene riportata partendo dal poligono con il numero minore di lati e procedendo in senso orario attorno al vertice. Tutti questi poliedri semiregolari si possono quindi classificare in base al numero di facce, di spigoli, di vertici e incidenza dei vertici. Ad esempio l icosidodecaedro ha 30 vertici con un incidenza di 3,5,3,5 (dal momento che in ogni suo vertice troviamo un triangolo, un pentagono, un triangolo e poi nuovamente un pentagono. I solidi archimedei sono tredici: il cubottaedro, l icosidodecaedro, il tetraedro, il cubo, l ottaedro (o poliedro di Lord Kelvin), il dodecaedro, l icosaedro, il rombicubottaedro, il cubottaedro (o grande rombicubottaedro), il rombicosidodecaedro, l Icosidodecaedro (o grande rombicosidodecaedro), il cubo camuso e il dodecaedro camuso. Il cubo camuso e il dodecaedro camuso, riportati qui a sinistra, vengono chiamati anche chirali (cioè che non sono equivalenti alla loro immagine riflessa). Il cubottaedro e l icosidodecaedro, riportati qui a destra, si definiscono anche quasi regolari perché hanno anche gli spigoli omogenei oltre ai vertici.

3 Ma come si è giunti a tali figure? Archimede utilizzò il troncamento: partendo dai cinque solidi platonici, troncò ciascuno di essi in modo da ricavare cinque nuovi poliedri, i solidi platonici troncati, e poi procedette troncandoli ulteriormente, ottenendo con questo metodo i 13 solidi archimedei che abbiamo appena classificato. Questo processo consiste nella limatura di un vertice del poliedro fino ad ottenere un poligono, che costituisce una nuova faccia del poliedro, che incontra tutti gli n spigoli del poliedro che incidono sul vertice considerato. Più precisamente il troncamento è la rimozione di una cuspide del poliedro: un taglio vicino al vertice elimina una piramide, la cui base è ottenuta dal piano lungo cui è fatto il taglio. Il poliedro iniziale non possiede più un vertice, ma ha una nuova faccia (la base della piramide eliminata) e n nuovi vertici e anche n nuovi spigoli. I solidi archimedei si realizzano con il troncamento prima di tutti i vertici dei cinque poliedri regolari e poi con ulteriori troncamenti dei cinque poliedri troncati così ottenuti, in modo che i nuovi poliedri abbiano tutti gli spigoli identici; di conseguenza anche le facce saranno dei poligoni regolari, di due o più tipi, e i vertici saranno isometrici. Vediamo il primo troncamento dei cinque poliedri regolari. Cubo Cubo Tetraedro Tetraedro Ottaedro Ottaedro

4 Icosaedro Icosaedro Dodecaedro Dodecaedro Gli studiosi moderni comprendono nel gruppo dei poliedri di Archimede anche il prisma archimedeo e l antiprisma archimedeo. Sono definiti impropriamente con questo nome dato che il matematico greco non aveva analizzato i due poliedri. Ricordiamo che: - un prisma archimedeo è un poliedro che ha come basi due poligoni regolari congruenti di n lati e tra loro paralleli, e le cui facce laterali sono date da n quadrati congruenti; - un antiprisma archimedeo è un poliedro che ha come basi due poligoni regolari congruenti di n lati (con n>3) con i centri allineati e situati su piani ruotati tra loro di 45, in modo che i vertici si proiettino reciprocamente, e le cui facce laterali sono date da un numero di triangoli equilateri pari al doppio del numero dei lati dei poligoni di base (2n). Gli antiprismi si differenziano quindi dai prismi perché hanno le basi ruotate una rispetto l altra di 45, collegate tra loro da triangoli anziché da quadrati. Questi tipi di solidi differiscono dai poliedri di Archimede poiché sono infiniti e possiedono solo il gruppo di simmetria diedrale, meno complesso rispetto ai gruppi di simmetria dei solidi archimedei. Qui di seguito abbiamo riportato un prisma e un antiprisma archimedei a basi esagonali

5 2^ CATEGORIA Le facce sono tra loro isometriche, è cioè possibile trasformare una faccia in un altra faccia. Gli angoli che convergono sullo stesso vertice sono congruenti. Essi sono circoscrivibili a una sfera che è a sua volta tangente alle facce del solido. Tra le due categorie si verifica la dualità, precisamente tra prismi e diamanti, antiprismi e antidiamanti, poliedri di Archimede e di Catalan. Ricordiamo che per ottenere un poliedro duale si circoscrive una sfera al solido iniziale; dai vertici che toccano la superficie della sfera si tracciano dei piani tangenti alla sfera e si viene a formare il nuovo solido dall intersezione di questi piani. Perciò al vertice di uno dei due poliedri corrisponde una faccia di un altro e viceversa. In questi tipi di poliedri si può osservare che tutte le facce sono uguali ma non regolari. Quindi: Numero vertici poliedro di Catalan = numero facce rispettivo poliedro archimedeo. Numero di facce poliedro di Catalan = numero vertici corrispondente poliedro di Archimede. In geometria un solido di Catalan è un poliedro convesso duale dei poliedri di Archimede. Questi solidi sono totalmente differenti da quelli archimedei, rispetto ai duali dei solidi platonici che si mostrano come la stessa famiglia. Il primo a descrivere questi solidi nel 1865 fu il matematico belga Eugène Charles Catalan ( ) e da quest ultimo prendono il nome. I tredici poliedri semiregolari duali sono: il dodecaedro rombico, il triacontaedro rombico, il triacistetraedro, il triacisottaedro, il tetracisesaedro, il triacisicosaedro, il pentacisdodecaedro, l esacisottaedro, l esacisicosaedro, l icositetraedro trapezoidale, l esacontaedro trapezoidale, l icositetraedro pentagonale e l esacontaedro pentagonale. Il dodecaedro rombico e il triacontaedro rombico sono omogenei sugli spigoli, caratteristica riscontrata anche nei primi due poliedri di Archimede. Anche gli ultimi due solidi di questo gruppo, l icositetraedro pentagonale e l esacontaedro pentagonale, sono chiamati chirali e non sono quindi equivalenti alla loro immagine riflessa. Diamante Antidiamante

6 Tricontaedro rombico Dodecaedro rombico I POLIEDRI STELLATI Giovanni Keplero fu tra i primi studiosi dei poligoni stellati ( come il pentagramma e la stella di David) e si concentrò sulle loro analogie tridimensionali, i poliedri stellati. Per creare stellazioni poliedriche partendo da un poliedro lo scienziato usò due metodologie: la prima è la stellazione con inizio dagli spigoli, cioè il prolungamento degli spigoli del poliedro principale fino a quando si incontrano nuovamente tra loro; la seconda ha invece inizio dalle facce, cioè il prolungamento di quest ultime finché non si incontrano nuovamente. Con questi procedimenti Keplero riuscì ad ottenere la prima coppia di poliedri stellati attraverso l estensione di un dodecaedro e di un icosaedro; a prima vista sulle loro facce sembrano essere create delle piramidi regolari tutte identiche. I due poliedri trovati furono denominati piccolo dodecaedro stellato (12 punte) e grande dodecaedro stellato (20 punte); essi sono considerati poliedri regolari concavi per la molta regolarità posseduta. Keplero notò inoltre che l estensione degli atri tre poliedri regolari non faceva nascere alcuna stellazione. Keplero era estasiato dalla perfezione estetica dei poliedri regolari e da quella dei due poliedri stellati da lui scoperti; infatti a tal proposito scriveva: alle 'congruenze' perfettissime e regolari si possono aggiungere anche altre due 'congruenze' di dodici stelle pentagonali. Lo studio preciso dei poliedri stellati effettuato dal fisico matematico Louis Poinsot agli inizi del novecento permise la scoperta di due nuove forme: il grande dodecaedro e il grande icosaedro. Questi poliedri regolari stellati hanno come facce poligoni regolari usuali che è possibile intrecciare, cioè hanno in comune dei segmenti che non sono lati delle facce. Sono quindi differenti dai poliedri di Keplero, le cui facce sono poligoni stellati. Poinsot ipotizzò che i quattro solidi trovati fossero gli unici poliedri stellati regolari che si potessero ottenere; l ipotesi venne confermata nel 1812 attraverso le dimostrazioni di

7 Augustin Louis Cauchy. Per questo motivo i quattro poliedri sopra descritti prendono il nome di poliedri di Keplero - Poinsot. Piccolo dodecaedro stellato Grande dodecaedro stellato Grande dodecaedro Grande icosaedro