Scritto da Maria Rispoli Domenica 09 Gennaio :07 - Ultimo aggiornamento Martedì 01 Marzo :11
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1 Sin dai tempi di Pitagora, sono state esplorate le interessanti proprietà di un certo numero di sassolini messi in forme geometriche, cercando di ricavarne leggi universali. Ad esempio il numero 10, la sacra Tetraktis, era per i Pitagorici il numero sacro per eccellenza, simbolo della salute e dell armonia, grazie anche alla sua perfezione estetica di numero triangolare. La sua rappresentazione geometrica veniva assunta a simbolo della Scuola pitagorica. Essendo 10 la somma di 1, 2, 3, 4, il numero veniva a rappresentare la sintesi dei quattro ordinamenti geometrici: unità, linea, piano, solido. In generale venivano chiamati numeri figurati certe rappresentazioni geometriche dei numeri naturali. I numeri figurati potevano essere lineari, poligonali o solidi e ciascuno poteva assumere più forme [1]. Ci sono una serie di interessanti regole e metodi ricorsivi per calcolarli. I numeri triangolari La nozione di numero triangolare risale al tempo dei Pitagorici, i quali distinguevano i numeri anche in base alla configurazione geometrica con cui potevano essere rappresentati. Si chiamano numeri triangolari i numeri i cui punti assumevano la forma di un triangolo equilatero, come indicato nella figura seguente. 1 / 13
2 Da questa disposizione essi deducevano che la successione dei numeri triangolari si poteva ottenere sommando successivamente i numeri naturali. Infatti: 1+2= = = = =21 Alcuni di essi sono: 2 / 13
3 Interi / 13
4 Triangolari 4 / 13
5 Il numero triangolare n-esimo, T n, è dato dalla seguente formula: 5 / 13
6 Ci Scriviamoli , osserviamo sono 3, , = = 23 10, varie su 15, che: caratteristiche una 21, sola 28, 36, riga: 45, dei 55, numeri triangolari Vengono numero Quindi dove: T = fuori 910 Ogni Osserviamo Infatti n+1 0 = 0numero Tper possiamo triangolare n + il n numero inoltre si tutti 1può ottenerli i il che: numeri scrivere suo 51, ad precedente da esempio, anche con uno al a in massimo dieci, si ne modo ottengono occorrono uno ricorsivo tre in numeri fila tutti due: all altro, i utilizzando numeri triangolari. e naturali continuando quest altra ordine a sottrarre formula: crescente. da un 51 per 83 e anche ne + per occorrono il ne occorrono tre: 6 12 Consideriamo = ancora la sequenza tre: 10 ora 1, sommiamo 3 3, 10 il , secondo = 10, = = 25 15, =4 23 il = 2 primo, 2 con 21, 2 il 28, con successivo 36, il successivo, 45, 55, e, così di numeri abbiamo: i seguito: triangolari: Osserviamo esempio, numero destra, Procedendo 1, si 1 Vediamo + ha 3, 26, che + gli 10, triangolare. 3 possiamo che + il altri dodicesimo 15, 4 perciò in + sei 21, questo 5 i + da numeri che 28, 6 sapere Infatti destra + modo 36, 7 se numero + guardando vogliamo 45, 8 il a risultato uno + si sinistra 55, 9 ottengono è + a 78 66, 10 dodici sapere senza la e + 78, poi sequenza 11 li, effettuiamo tutti + li scriviamo quant è fare sommiamo 12 i quadrati = i conti, 78. di la numeri uno la somma, basta verifica dei otteniamo: sotto numeri triangolari: vedere dei l altro, abbiamo primi naturali. qual i primi 12 appunto: è numeri il sei dodicesimo da naturali, sinistra ad Abbiamo alla somma ottenuto dei primi 6 volte 12 numeri tredici naturali e 6 * 13 [2] = 78,. cioè il dodicesimo numero triangolare che è pari I numeri quadrati Si chiamano numeri quadrati i numeri che disposti al modo pitagorico formano, come indicato nella figura seguente, un quadrato. Il numero quadrato n-esimo, Q n, si ottiene nel seguente modo: Q n = n 2 infatti: 1 * 1 = 1 = * 2 = 4 = * 3 = 9 = / 13
7 Osservando la tabella che segue, vediamo che se al primo numero quadrato aggiungiamo il secondo numero dispari otteniamo il secondo numero quadrato, se al secondo numero quadrato aggiungiamo il terzo numero dispari atteniamo il terzo numero quadrato, e così di seguito: Dispari / 13
8 / 13
9 Quadrati / 13
10 100 Per passare da un numero quadrato al successivo i Pitagorici utilizzavano un metodo grafico che consiste nel tracciare due lati del quadrato di partenza e aggiungere tanti punti quanti erano necessari per formare un altro quadrato. Possiamo ottenere i numeri quadrati utilizzando la seguente formula: Q n+1 = Q n + (2n + 1) dove si pone: Q 0 = 0 Si possono ottenere i numeri quadrati, ancora con le regole ricorsive ricavate in precedenza, e utilizzando anche un procedimento ricorsivo. Osservando la forma dei numeri quadrati i Pitagorici dedussero che un numero quadrato poteva essere ottenuto anche dalla somma di due numeri triangolari successivi. Inoltre questa configurazione permise ai pitagorici di scoprire che ogni numero dispari è la differenza di due quadrati. Leonardo Pisano, nel suo Liber quadratorum (1225), fece osservare che l ennesimo numero quadrato, denotato con n 2, superava il suo 10 / 13
11 antecedente ( la somma della propria radice e di quella dell antecedente; cioè: n-1) 2 per n 2 = (n - 1) 2 + n + (n - 1) Un altra proprietà interessante dei numeri quadrati, che secondo Plutarco (II sec, d. C.) era nota agli antichi Pitagorici, stabiliva che sommando l unità ad otto volte l n-esimo numero triangolare si otteneva il numero quadrato di posto 2 n + 1, che si esprime nel modo seguente: I numeri pentagonali Erano detti numero pentagonale i numeri i cui punti formano un pentagono regolare, come 1, 5, 12, 22 e così via. I numeri pentagonali si ottengono con la formula: Tra le tante proprietà di cui godono i numeri pentagonali vi è la seguente: l n-esimo numero pentagonale è uguale a n più tre volte l (n-1)-esimo numero triangolare Questo si può esprimere nel seguente modo: 11 / 13
12 Osserviamo che questo tipo di numeri si possono ottenere anche con una procedura ricorsiva utilizzando la seguente formula: P n+1 = P n + (3n + 1) E possibile, sempre utilizzando le formule precedenti, ottenere i numeri pentagonali tramite un procedimento ricorsivo. I numeri esagonali Consideriamo ora i numeri esagonali, sono detti così quei numeri i cui punti potevano essere disposti secondo la forma di un esagono regolare, come 1, 6, 15, 28 e così via. Formule analoghe si possono trovare anche per i numeri esagonali, una formula per ricavarli è la seguente: E n = n (2n 1) Si possono ottenere gli stessi numeri utilizzando una formula ricorsiva: E n+1 = E n + 4n + 1 I numeri X-gonali 12 / 13
13 In generale i numeri geometrici sono dei numeri X-agonali, per calcolare i numeri X-gonali si può utilizzare la seguente formula ricorsiva: X n+1 = X n + (X 2) n + 1 [1] Bottazzini, Freguglia, T. Rigatelli, Fonti per la Storia della Matematica, Sansoni, [2] H. M. Enzensberger, Il Mago dei numeri, Mondadori 13 / 13
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