Numeri Aritmetica e Numerazione

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1 Numeri Aritmetica e Numerazione Insiemi Numerici Gli Insiemi Numerici nel diagramma di di Eulero - Venn Enumerazione Numeri Naturali Numeri Composti Numeri Primi I primi 1000 Numeri Primi Numeri Interi Numeri Razionali Numeri Decimali Numeri Periodici Passaggio da un numero decimale periodico a un numero frazionario Divisibilità dei Numeri Numeri Irrazionali Numeri Reali Numeri Complessi - 0

2 Numeri Insiemi Numerici Numeri Naturali = Numeri Interi = Numeri Razionali = Numeri Irrazionali = Numeri Reali = Numeri Immaginari = Numeri Complessi = , \ 0 (p è detto numeratore, q è detto denominatore) \ (Tutti i numeri della Retta Continua) si definisce 1 1,. Gli Insiemi Numerici nel diagramma di di Eulero - Venn Enumerazione Successione dei Numeri Naturali N Successione dei Numeri Interi Z La retta dei Numeri Razionali Q La retta dei Numeri Irrazionali Ir La Retta dei Numeri Reali R - 1

3 Numeri Naturali Questi sono i primi numeri che si imparano da bambini e sono i più semplici da comprendere. I numeri naturali hanno due scopi principali: possono essere usati per il contare ("ci sono 3 mele sul tavolo"), o possono essere usati per definire un ordinamento ("questa è la terza città più grande nel paese"). Tavola Pitagorica (Tabelline) Numeri Composti Un numero composto è un numero naturale che ha almeno un altro divisore oltre a 1 e sé stesso. I primi numeri composti sono: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20. I numeri naturali non primi sono tutti numeri composti. Numeri Primi L'insieme dei numeri primi è un sottoinsieme dei numeri naturali. Un numero primo, in matematica, è un numero naturale divisibile unicamente per sé stesso e per l'unità e diverso, per convenzione, dall'unità. Detto in altro modo, deve avere esattamente due fattori distinti. I primi 1000 Numeri Primi (168 numeri): Numeri Interi I numeri interi sono formati dall'unione dei numeri naturali (0, 1, 2,...) e dei numeri negativi (-1, - 2, -3,...). - 2

4 I numeri interi possono essere sommati, sottratti e moltiplicati e il risultato rimane un numero intero. Qualsiasi coppia di interi può essere confrontata. Introducendo i numeri negativi è possibile risolvere tutte le equazioni del tipo "a" + "x" = "b" (dove "a" e "b" sono delle costanti intere) E la "x" un valore da ricercare. Se "x" deve essere un numero naturale solo alcune delle equazioni sono effettivamente risolvibili. Numeri Razionali In matematica, si dice numero razionale ogni numero ottenibile come rapporto tra due numeri interi, il secondo dei quali diverso da 0. Ogni numero razionale quindi si può esprimere mediante una frazione, cioè con una espressione della forma a/b con a intero qualsiasi e b intero diverso da 0. Ogni numero razionale è rappresentato da molte frazioni, per esempio 3/6 = 2/4 = 1/2. La forma più semplice si ha quando la a e la b non hanno fattori comuni e b è positivo, in questo caso la frazione si dice ridotta ai minimi termini ogni numero razionale ha un'unica forma di questo tipo. Numeri Decimali Il Sistema numerico decimale è un sistema di numerazione posizionale che, per rappresentare i numeri, utilizza dieci simboli numerici identificabili con le cifre da 0 a 9. Passaggio da un numero decimale a un numero frazionario = 3756 = = 10'000 10'000 Numeri Periodici Un numero periodico ha la caratteristica di avere un numero finito di cifre decimali che si ripetono indefinitamente, un numero periodico può essere trasformato in frazione, pertanto detto numero è da considerarsi numero razionale. Passaggio da un numero decimale periodico a un numero frazionario: P = P = P = Periodo = 3 cifre 10 3 P = 1000P 1000P = P = P = P = P = P = Divisibilità dei Numeri Per 2: un numero è divisibile per 2 se termina con zero o con una cifra pari Per 3: un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è 3 o un multiplo di 3 Per 4: un numero è divisibile per 4 se le ultime due cifre sono 00 oppure formano un numero multiplo di 4 per 5: un numero è divisibile per 5 se la sua ultima cifra è 0 o 5 Per 6: un numero è divisibile per 6 se è contemporaneamente divisibile per 2 e per 3-3

5 Per 7: un numero con più di due cifre è divisibile per 7 se la differenza del numero ottenuto escludendo la cifra delle unità e il doppio della cifra delle unità è 0, 7 o un multiplo di 7. Per es è divisibile per 7 se lo è il numero = 9555 questo è divisibile per 7 se lo è il numero = 945 questo è divisibile per 7 se lo è =84 che è divisibile per 7 dunque lo è anche il numero Per 8: un numero è divisibile per 8 se termina con tre zeri o se è divisibile per 8 il numero formato dalle sue ultime 3 cifre Per 9: un numero è divisibile per 9 se la somma delle sue cifre è 9 o un multiplo di 9 per 10: un numero è divisibile per 10 se la sua ultima cifra è 0 Per 11: un numero è divisibile per 11 se la differenza (presa in valore assoluto), fra la somma delle cifre di posto pari e la somma delle cifre di posto dispari, è 0, 11 o un multiplo di 11. Per es è divisibile per 11 in quanto ( ) ( ) = = 0 Per 12: un numero è divisibile per 12 se è contemporaneamente divisibile per 3 e per 4 Per 13: un numero con più di due cifre è divisibile per 13 se la somma del quadruplo della cifra delle unità con il numero formato dalle rimanenti cifre è 0, 13 o un multiplo di 13. Per es è divisibile per 13 se lo è il numero = 754 questo è divisibile per 13 in quanto = 91 è multiplo di 13 (13 7 = 91) Per 17: un numero con più di due cifre è divisibile per 17 se la differenza (presa in valore assoluto), fra il numero ottenuto eliminando la cifra delle unità e il quintuplo della cifra delle unità è 0, 17 o un multiplo di 17. Per es è divisibile per 17 se lo è il numero = 238 questo è divisibile per 17 se lo è il numero = 17 Per 25: un numero è divisibile per 25 se il numero formato dalle ultime 2 cifre è divisibile per 25, cioè 00, 25, 50, 75 per 100: un numero è divisibile per 100 se le ultime due cifre sono 00 Numeri Irrazionali Un numero irrazionale è ogni numero reale che non è un numero razionale, cioè non può essere scritto come una frazione a/b con a e b interi, con b diverso da zero. La necessità dell'introduzione di questo insieme si rese evidente a causa dell'esistenza di grandezze incommensurabili, ossia prive di un sottomultiplo comune. I numeri irrazionali sono esattamente quei numeri la cui espansione in qualunque base (decimale, binaria, ecc) non termini mai e non formi una sequenza periodica. La scoperta dei numeri irrazionali è tradizionalmente attribuita a Pitagora, o più precisamente al pitagorico Ippaso di Metaponto, che produsse un argomentazione (probabilmente con considerazioni geometriche) dell'irrazionalità della radice quadrata di 2. Secondo la tradizione Ippaso scoprì i numeri irrazionali mentre tentava di rappresentare la radice quadrata di 2 come frazione. Tuttavia Pitagora credeva nell'assolutezza dei numeri e non poteva accettare l'esistenza di numeri irrazionali. Egli non fu in grado di confutare la loro esistenza con la logica, ma le sue credenze non potevano tollerarne l'esistenza e, secondo una leggenda, per questo condannò Ippaso a morire annegato. - 4

6 Numeri Reali I numeri reali sono definiti in modo intuitivo come i numeri che sono in corrispondenza biunivoca con i punti su una retta infinita: la retta numerica. Il termine "numero reale" è stato coniato in contrapposizione a "numero immaginario". I numeri reali misurano quantità continue, le misure in fisica sono sempre un'approssimazione ad un numero reale. Numeri Complessi Si definisce il numero immaginario i un numero tale che 1 dunque 1. Un numero complesso è formato da una parte Reale e da una Immaginaria e può essere rappresentato come z = a + bi dove a è la parte Reale di z, a = Re(z) e b la parte Immaginaria di z, b =Im(z). Aritmetica Numerazione (base 2, 4, 8, 10, 12, 60) - 5