Riempimenti dello spazio
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- Giacinto Zanella
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1 periodici e aperiodici Dipartimento di Matematica e Fisica Niccoló Tartaglia Università Cattolica, Brescia Passo Pramollo, agosto 2014
2 Indice Riempimenti periodici Il problema di Kelvin Riempimenti aperiodici (animazione)
3 Riempimenti periodici: solidi platonici Quiz Quali dei cinque solidi platonici possono riempire lo spazio?
4 Riempimenti periodici: solidi platonici Quiz Quali dei cinque solidi platonici possono riempire lo spazio? Solo il cubo!
5 Riempimenti periodici: solidi platonici Quiz Quali dei cinque solidi platonici possono riempire lo spazio? Solo il cubo! Tetraedro e ottaedro insieme
6 Riempimenti periodici: poliedri convessi Solidi regolari: platonici, prismi, antiprismi, archimedei (vertex-transitive) Solidi di Catalan (face-transitive)
7 Riempimenti periodici: poliedri convessi Solidi regolari: platonici, prismi, antiprismi, archimedei (vertex-transitive) Solidi di Catalan (face-transitive) 1 Prisma triangolare e prisma esagonale
8 Riempimenti periodici: poliedri convessi Solidi regolari: platonici, prismi, antiprismi, archimedei (vertex-transitive) Solidi di Catalan (face-transitive) 1 Prisma triangolare e prisma esagonale 2 Ottaedro troncato (solido archimedeo)
9 Riempimenti periodici: poliedri convessi Solidi regolari: platonici, prismi, antiprismi, archimedei (vertex-transitive) Solidi di Catalan (face-transitive) 1 Prisma triangolare e prisma esagonale 2 Ottaedro troncato (solido archimedeo) 3 Dodecaedro rombico (solido di Catalan) 4 Dodecaedro trapezo-rombico 5...
10 Riempimenti periodici: poliedri convessi
11 Riempimenti periodici: poliedri convessi
12 Riempimenti periodici: poliedri convessi
13 Il problema di Kelvin In un alveare le celle sono prismi con sezione esagonale. L esagono è la forma più vicina al cerchio che tassella il piano iper-api risparmiose Come ottimizzare la cera di un alveare 4-dimensionale? Nel 1887, Lord Kelvin si chiese come si potesse partizionare lo spazio in celle di ugual volume minimizzando l estensione delle superfici di separazione. In altre parole, qual è la schiuma di bolle più efficiente?
14 Problema di Kelvin: primo tentativo L esagono si può ottenere impaccando tanti cerchi nel modo più compatto possibile e poi schiacciando tutto in modo da eliminare gli interstizi...
15 Problema di Kelvin: primo tentativo L esagono si può ottenere impaccando tanti cerchi nel modo più compatto possibile e poi schiacciando tutto in modo da eliminare gli interstizi... Impilando tante sfere come i mucchi di arance al mercato e poi schiacciandole si ottiene:
16 Problema di Kelvin: primo tentativo L esagono si può ottenere impaccando tanti cerchi nel modo più compatto possibile e poi schiacciando tutto in modo da eliminare gli interstizi... Impilando tante sfere come i mucchi di arance al mercato e poi schiacciandole si ottiene: Il dodecaedro rombico
17 Problema di Kelvin: primo tentativo L esagono si può ottenere impaccando tanti cerchi nel modo più compatto possibile e poi schiacciando tutto in modo da eliminare gli interstizi... Impilando tante sfere come i mucchi di arance al mercato e poi schiacciandole si ottiene: Il dodecaedro rombico Ma anche il dodecaedro trapezo-rombico Ma si può fare meglio!
18 Problema di Kelvin: secondo tentativo Kelvin pensava che la soluzione del problema fosse L ottaedro troncato (un tetradecaedro) con le facce un po incurvate
19 Problema di Kelvin: secondo tentativo Kelvin pensava che la soluzione del problema fosse L ottaedro troncato (un tetradecaedro) con le facce un po incurvate Per più di cento anni (fino al 1993) questa è stata ritenuta la soluzione del problema.
20 Problema di Kelvin: terzo tentativo
21 Problema di Kelvin: struttura di Weaire-Phelan E formata da due forme diverse, ma con lo stesso volume (quindi rispetta la lettera della richiesta di Kelvin): un dodecaedro (non regolare) e un tetrakaidecahedron (due esagoni e 12 pentagoni). Le facce sono leggermente incurvate. Il miglioramento rispetto alla struttura di Kelvin è dello 0,3%.
22 Riempimenti periodici: poliedri di Johnson
23 Riempimenti periodici: verso i riempimenti aperiodici Il biprisma di Conway ha la struttura del gyrobifastigium, ma deformato in modo da impedire una tassellazione periodica (Conway, 1933)
24 Intermezzo...
25 Intermezzo... Quiz Trovare tetraedri (non regolari) i cui angoli diedri siano tutti razionali con π Il tetraedro regolare non va bene, l angolo è arccos(1/3) 70, 53 che non è razionale.
26 Intermezzo... Quiz Trovare tetraedri (non regolari) i cui angoli diedri siano tutti razionali con π Il tetraedro regolare non va bene, l angolo è arccos(1/3) 70, 53 che non è razionale. Il monolito aureo con dimensioni 1, τ, τ 2 con τ = , 618 (sezione aurea) Il tetraedro che si ottiene tagliando con un piano per tre vertici ha angoli diedri di 90, 90, 90, 72, 60, 36 gradi!
27 I quattro strumenti ad arco
28 I quattro strumenti ad arco Questi strumenti insieme permettono di riempire lo spazio, e lo fanno in un modo molto particolare.
29 Suoniamo gli strumenti uno alla volta Proviamo a suonare questi strumenti, La loro forma permette molti spunti interessanti. = archi <CTRL-F2>
30 Suoniamo gli strumenti uno alla volta Proviamo a suonare questi strumenti, La loro forma permette molti spunti interessanti. = archi <CTRL-F2> Poliedri
31 Suoniamo gli strumenti uno alla volta Proviamo a suonare questi strumenti, La loro forma permette molti spunti interessanti. = archi <CTRL-F2> Poliedri Ottaedri (non regolari)
32 Suoniamo gli strumenti uno alla volta Proviamo a suonare questi strumenti, La loro forma permette molti spunti interessanti. = archi <CTRL-F2> Poliedri Ottaedri (non regolari) Gruppo delle simmetrie di ciascun tassello, il violino si distingue
33 Suoniamo gli strumenti uno alla volta Proviamo a suonare questi strumenti, La loro forma permette molti spunti interessanti. = archi <CTRL-F2> Poliedri Ottaedri (non regolari) Gruppo delle simmetrie di ciascun tassello, il violino si distingue Convessità - concavità
34 Suoniamo gli strumenti uno alla volta Proviamo a suonare questi strumenti, La loro forma permette molti spunti interessanti. = archi <CTRL-F2> Poliedri Ottaedri (non regolari) Gruppo delle simmetrie di ciascun tassello, il violino si distingue Convessità - concavità Le aste blu (che non si vedono)
35 Suoniamo gli strumenti uno alla volta Proviamo a suonare questi strumenti, La loro forma permette molti spunti interessanti. = archi <CTRL-F2> Poliedri Ottaedri (non regolari) Gruppo delle simmetrie di ciascun tassello, il violino si distingue Convessità - concavità Le aste blu (che non si vedono) Il codice dei colori (zometool) Lunghezze
36 Suoniamo gli strumenti uno alla volta Proviamo a suonare questi strumenti, La loro forma permette molti spunti interessanti. = archi <CTRL-F2> Poliedri Ottaedri (non regolari) Gruppo delle simmetrie di ciascun tassello, il violino si distingue Convessità - concavità Le aste blu (che non si vedono) Il codice dei colori (zometool) Lunghezze Angoli diedri Perché si chiamano K, B, C, A?
37 Suoniamo gli strumenti uno alla volta Proviamo a suonare questi strumenti, La loro forma permette molti spunti interessanti. = archi <CTRL-F2> Poliedri Ottaedri (non regolari) Gruppo delle simmetrie di ciascun tassello, il violino si distingue Convessità - concavità Le aste blu (che non si vedono) Il codice dei colori (zometool) Lunghezze Angoli diedri Perché si chiamano K, B, C, A? I tre triangoli (le facce dei tasselli)
38 Suoniamo gli strumenti uno alla volta Proviamo a suonare questi strumenti, La loro forma permette molti spunti interessanti. = archi <CTRL-F2> Poliedri Ottaedri (non regolari) Gruppo delle simmetrie di ciascun tassello, il violino si distingue Convessità - concavità Le aste blu (che non si vedono) Il codice dei colori (zometool) Lunghezze Angoli diedri Perché si chiamano K, B, C, A? I tre triangoli (le facce dei tasselli) Prototasselli aperiodici = animazione <CTRL-F3> (14 minuti)
39 Sviluppo dei 4 tasselli mountain fold valley fold <K> <B> mountain fold valley fold 1 2 <C> 1 <A> 2
40 Danzer vs Frecce/Aquiloni di Penrose C è una corrispondenza impressionante tra la tassellazione di Penrose del piano con frecce e aquiloni e la tassellazione di Danzer dello spazio. Danzer (3D) tetraedri K,B,C,A e loro chirali Penrose (2D) triangoli aurei acuto e ottuso e loro simmetrici ottaedri <K>,<B>,<C>,<A> aquilone e freccia Fattore di deflazione τ Fattore di deflazione τ
41 Danzer vs Frecce/Aquiloni di Penrose (2) Danzer (3D) Penrose (2D) Deflazione dei tetraedri autosimilare Deflazione dei triangoli autosimilare Deflazione ottaedri non autosimilare tasselli frattali Deflazione di aquilone e freccia non autosimilare tasselli frattali Non richiede vincoli di accostamento Necessari vincoli di accostamento
42 Danzer vs Frecce/Aquiloni di Penrose (2) Danzer (3D) Penrose (2D) Deflazione dei tetraedri autosimilare Deflazione dei triangoli autosimilare Deflazione ottaedri non autosimilare tasselli frattali Deflazione di aquilone e freccia non autosimilare tasselli frattali Non richiede vincoli di accostamento Necessari vincoli di accostamento In entrambi i casi è definito il processo di inflazione, inverso di quello di deflazione non periodicità. In entrambi i casi si possono costruire una infinità più che numerabile di riempimenti diversi, ma tutti localmente indistinguibili. Utilizzando l inflazione si può costruire la firma di una tassellazione.
43 Deflazione dell ottaedro < K >
44 Deflazione dell ottaedro < B >
45 Deflazione dell ottaedro < C >
46 Deflazione dell ottaedro < A >
47 Siti web e riferimenti bibliografici Sviluppo piano dei 4 ottaedri, animazione e slides della conferenza Animazione sui tasselli di Danzer. Set di costruzione con aste colorate. L. Danzer, Three-Dimensional Analogs of the Planar Penrose Tilings and Quasicrystals, 1989 GRAZIE PER L ATTENZIONE
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