ESERCITAZIONE SUL CRITERIO

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1 TECNOLOGIE DELLE COSTRUZIONI AEROSPAZIALI ESERCITAZIONE SUL CRITERIO DI JUVINALL Prof. Claudio Scarponi Ing. Carlo Andreotti Ing. Carlo Andreotti 1

2 IL CRITERIO DI JUVINALL La formulazione del criterio di Juvinall deriva da una riscrittura dell equazione di Soderberg, che mette in evidenza i contributi al danno su un componente strutturale ad opera della sollecitazione statica e della sollecitazione dinamica. Indicando con il coefficiente di sicurezza a fatica, con la tensione di snervamento e con Δ il valore limite dell ampiezza della sollecitazione al di sotto del quale il componente resiste a fatica per un numero di cicli infinito, si può scrivere: 1 Δ I coefficienti A, B e C rappresentano rispettivamente i coefficienti peggiorativi della resistenza a fatica del materiale in funzione del tipo di sollecitazione, della dimensione caratteristica del componente e della finitura superficiale. Si riportano di seguito la tabella relativa ai possibili valori assunti dal coefficiente A e i grafici degli andamenti dei coefficienti B e C. Tipo di sollecitazione Valore del coefficiente A Flessione rotante 1.0 Flessione piana 0.8 Trazione - Compressione 0.7 Torsione 0.55 Tabella 1. Tabella dei possibili valori assunti dal coefficiente A. Figura 1. Andamento del coefficiente B in funzione della dimensione caratteristica del componente. Ing. Carlo Andreotti 2

3 Figura 2. Andamento del coefficiente C in funzione della finitura superficiale. La determinazione dei termini, sforzo alterno equivalente, e, sforzo medio equivalente, è effettuata utilizzando rispettivamente i criteri di Von Mises e di Rankine e rappresenta il criterio di Juvinall: Il pedice c utilizzato nell espressione di indica la correzione del valore della tensione di lavoro con il fattore di concentrazione degli sforzi: Ing. Carlo Andreotti 3

4 ESERCIZIO N 1 Si consideri una barra di torsione cava, del diametro esterno D = 22 mm e diametro interno d=18 mm, soggetta ad una sollecitazione alternata di trazione, che oscilla tra N e 7000 N. La barra è anche soggetta ad una sollecitazione di torsione di 450 Nm. Nell ipotesi che il materiale con cui la barra viene realizzata abbia le seguenti caratteristiche meccaniche: % (Rapporto di fatica) 1. effettuare la verifica statica, indicando il coefficiente di sicurezza ottenuto; 2. effettuare una verifica a fatica, indicando il coefficiente di sicurezza ottenuto, tenendo presente che il pezzo subirà una finitura superficiale del tipo rettifica media; 3. proporre le necessarie modifiche affinché il pezzo soddisfi la condizione di rispettare un coefficiente di sicurezza a fatica pari a 1.5; 4. verificare il nuovo coefficiente di sicurezza statico. Svolgimento Il componente strutturale di cui si vuole studiare il dimensionamento a fatica è caratterizzato dai seguenti valori del raggio esterno e del raggio interno: Poiché il componente è soggetto ad una sollecitazione di torsione, è necessario calcolare lo sforzo di taglio da essa derivante. Per una sezione circolare cava si ha: 2 dove è il momento torcente applicato, J e A sono rispettivamente il momento d inerzia e l area della sezione resistente. Il primo passo da effettuare è rappresentato dal calcolo delle diverse tipologie di sforzo che caratterizzano il comportamento meccanico del componente strutturale: Ing. Carlo Andreotti 4

5 Un volta individuati i valori degli sforzi di lavoro, si possono calcolare i termini dell equazione di Soderberg nel modo seguente: Δ L 174 La verifica a fatica consiste nel calcolare il coefficiente dall equazione di Soderberg e nel confrontarlo con il valore di progetto. Se il valore ottenuto è superiore al dato iniziale la verifica a fatica è soddisfatta. E, tuttavia, necessario che il valore calcolato non sia troppo elevato, cioè il componente strutturale non deve essere sovradimensionato. Dalla verifica a fatica si ottiene: 1 Δ Δ Poiché 1.5, la verifica a fatica non è soddisfatta e, di conseguenza, occorre eseguire una riprogettazione del componente, modificando alcuni tra i parametri che influenzano il suo comportamento a fatica (dimensioni caratteristiche, materiale, finitura superficiale, ecc.). A scopo di completezza si riporta la verifica statica, che deve essere soddisfatta contemporaneamente a quella a fatica (il coefficiente di sicurezza corrispondente deve essere maggiore di 1): In questo esempio si propone di riprogettare il componente. Si può procedere sia per tentativi, sia dal punto di vista numerico. Ing. Carlo Andreotti 5

6 Nel caso di procedura per tentativi, si propone di raddoppiare lo spessore della sezione resistente e di aumentare il raggio medio: Eseguendo nuovamente i calcoli come mostrato in precedenza, si ottengono i seguenti risultati: I calcoli mostrano che la verifica a fatica e la verifica statica sono contemporaneamente soddisfatte. Di conseguenza, in assenza di ulteriori vincoli, il componente strutturale risulta correttamente dimensionato. Nel caso in cui si desideri procedere per via numerica, si può inserire direttamente nell equazione di Soderberg modificata il coefficiente di sicurezza richiesto e considerare come incognita la geometria (il raggio esterno, il raggio interno oppure il raggio medio, in base ai vincoli progettuali). In questo caso però, il problema presenta, come ulteriore incognita, il valore del coefficiente correttivo B. Di conseguenza, si dovrà ipotizzare un valore per B e verificare che il risultato ottenuto sulla geometria sia coerente con l ipotesi effettuata. Supponendo di considerare come incognita geometrica il valore del raggio esterno R, l equazione di Soderberg modificata può essere scritta nel modo seguente: 2 2 Δ 1 2 Δ 2 2 Per quanto riguarda il coefficiente B, si ipotizza che il suo valore possa variare nell intervallo di valori corrispondente alla variazione del diametro medio del componente tra 20 mm e 25 mm. Poiché in questo intervallo il valore medio di B è pari a 0.87, si assume quest ultimo come il valore da inserire nella precedente equazione. 1 Ing. Carlo Andreotti 6

7 Tramite l uso di una calcolatrice avanzata si può determinare l unica soluzione fisicamente corretta, che risulta essere: Il diametro medio del componente,, corrispondente al valore del raggio esterno appena calcolato, è pari a: Poiché in corrispondenza di il valore di B è 0.88, è possibile accettare il risultato ottenuto (in prima approssimazione) in quanto sicuramente conservativo. In caso contrario occorrerebbe avviare un processo iterativo. Eseguendo nuovamente i calcoli per la verifica statica, si ottiene: Ing. Carlo Andreotti 7

8 ESERCIZIO N 2 Si consideri un albero del diametro di 16 mm, soggetto ad una sollecitazione ciclica simmetrica di trazione con ampiezza di N. La barra è anche soggetta, sulle estremità, ad un momento torcente di 550 Nm. Nell ipotesi che il materiale con cui l albero viene realizzato abbia le seguenti caratteristiche meccaniche: % 205 (Modulo di Young) 0.3 (Rapporto di fatica) 1. effettuare la verifica statica, indicando il coefficiente di sicurezza ottenuto; 2. effettuare una verifica a fatica, indicando il coefficiente di sicurezza ottenuto, tenendo presente che il pezzo subirà una finitura superficiale del tipo sgrossatura buona; 3. proporre le necessarie modifiche affinché il pezzo soddisfi la condizione di rispettare un coefficiente di sicurezza a fatica pari a 1.4; 4. verificare il nuovo coefficiente di sicurezza statico. Ing. Carlo Andreotti 8