Inflessione nelle travi

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1 Ifessioe ee travi Caso dea trave icastrata ad u estremità Data a trave a mesoa AB di ughezza, sottoposta a azioe de carico cocetrato F appicato a estremo ibero B, questa risuta soecitata, i ogi sezioe, da u mometo fettete f x, i cui vaore o si ricava da diagramma dei mometi riportato sotto a trave AB; adameto de diagramma de f è: ieare, mootoo, decrescete. Fig. Si cosideri i troco di trave avete ughezza deimitato dae sezioi e, rispettivamete poste a z + e z - da estremo ibero B; si può assumere, co sufficiete approssimazioe (vedere cocetto di ifiitesimo i matematica), quae f agete i etrambe e sezioi suddette, i vaore medio dee due ordiate de diagramma dei mometi sottostati ae sezioi e, pari a prodotto di Fz. Ricordado equazioe che esprime i vaore dea curvatura /r assuta da u tratto di trave soecitato da u mometo fettete f, possiamo scrivere:

2 r F z () L icurvameto de troco - permette di idividuare i cetro di curvatura O. Gi icurvameti prodotti per azioe dei mometi fetteti ageti sui trochi di trave compresi tra a sezioe d icastro A e a sezioe, portao quest utima i posizioe, per cui i troco - assume a cofigurazioe deformata -. Codotte aora per ì e per e perpedicoari a asse deformato AB dea trave, esse dovrao icotrarsi i u puto O che è i cetro di curvatura reativo a tratto -, e che deve trovarsi aa distaza r che si ricava da equazioe () La iea AB prede i ome di iea eastica; rappreseta i uogo dei puti i cui, a causa dea deformazioe, si portao i corrispodeti puti de asse z de soido o acora deformato. I raggi r reativi ai trochi di trave - formao tra oro u agoo α, che esprime a rotazioe reativa tra e due sezioi termiai de troco stesso di trave. Per cacoare i vaore di α occorre cosiderare i triagoo O- - avete vertice O, atezza r e agoo a vertice α, si ha: α () r E per a () α () La () esprima a rotazioe reativa tra e due sezioi geeriche e dea trave i fuzioe dea soecitazioe estera e dee caratteristiche eastiche (E moduo di Youg) e geometriche (I x mometo quadratico di superficie). Per cacoare a rotazioe reativa ae sezioi termiai A e B basta otare che α AB risuta uguae aa sommatoria dee ifiite rotazioi reative α degi ifiiti trochi i cui si può immagiare suddivisa a trave; si ha: per a () possiamo scrivere che α AB α per (4) i α AB i (5) I termii E ed I possoo essere portati fuori da sego di sommatoria perché costati (ovviamete a trave deve essere per ipotesi omogeea e prismatica), riscrivedo a (5) come: α AB i (6) La i si può cacoare come area de diagramma dei mometi: ciascu termie o è atro che i prodotto dea ughezza dz di u geerico troco di trave (come

3 queo - cosiderato a iizio di questa trattazioe) per ordiata media dea parte di diagramma reativo a troco stesso. Detto A F i vaore de mometo a icastro e osservato che area de diagramma di mometo vae bh/ A /, si avrà evidetemete: i A (7) Sostituedo a (7) ea (6) si ottiee i vaore dea rotazioe di tutta a trave AB: α AB A F EI F EI (8) Riassumedo, a rotazioe reativa tra due sezioi quasiasi dea trave è data da area de diagramma dei mometi sottostate a tratto di trave imitato dae due sezioi stesse diviso i prodotto costate EI. Si oti, ora, sempre daa Fig., che a rotazioe reativa dee sezioi termiai di ciascu tratto di trave causa u icremeto f a abbassameto de estremo ibero B, i cui è appicato i carico cocetrato estero F; codotte ifatti e tageti aa iea eastica ei puti e, esse, essedo per costruzioe perpedicoari ai raggi di curvatura r de tratto -, formerao tra oro o stesso agoo α che esprime a rotazioe reativa tra e sezioi e. DI cosegueza sua verticae per B, tai tageti deimitao i segmeto f che rappreseta apputo abbassameto eastico che estremo ibero B dea trave subisce per effetto dea deformazioe de troco -. L abbassameto totae, idicato co f B ea Fig., prede i ome di freccia eastica d ifessioe dea trave AB, e risuta essere a somma di tutti gi abbassameti f determiati dae deformazioi di tutti i tratti ifiitesimi dea trave; si ha cioè f B f (9) Poiché da triagoo dea Fig. avete per base f e per atezza a distaza z da B de troco - di trave, si ottiee: f B z α (0) a (9) può riscriversi come: f B z α z z EI EI () Si osservi ora (questa cosiderazioe è fodametae) che i termie z che compare e equazioe () si può cosiderare come mometo statico de area parziae, rispetto a vertice H deo stesso diagramma, ossia rispetto aa verticae passate per estremo ibero dea trave; itera sommatoria può essere vista come a somma dei mometi statici di tutte e aree come i cui può pesarsi decomposto itero diagramma dei mometi. Per i teorema di Varigo, i mometo statico di tutte e aree si può porre uguae a mometo statico dea risutate di tai aree, risutate che vae evidetemete area de diagramma dei mometi; poiché a suddetta risutate deve cosiderarsi appicata e ba-

4 da puto H (es- ricetro de diagramma stesso dei mometi ad ua distaza pari a sedo i diagramma triagoare, vedi mometi statici su ibro di A). Poiché itera area vae: A F () possiamo scrivere che: z A F F () Sostituedo questo vaore ea () si ottiee ifie: f B EI z F EI (4) Riassumedo, per cacoare a freccia eastica reativa ad u troco di trave, occorre cacoare i mometo statico dea parte di area de diagramma dei mometi fetteti sottostate a troco cosiderato, rispetto aa verticae passate per ua dee sezioi termiai de troco stesso, precisamete rispetto a quea che risuta deviata agoarmete i seguito aa deformazioe. Caso dea trave appoggiata agi estremi. Fig.

5 Ne caso di ua trave appoggiata agi estremi e caricata i mezzeria (Fig.) da ua forza estera cocetrata, i cacoo dee rotazioi e dea freccia d ifessioe, si effettuao seguedo e modaità sopra esamiate. I questo caso a freccia massima si verifica e puto di mezzo C dea trave. La rotazioe reativa α AC dea semi trave di siistra si cacoa da area de diagramma dei mometi compresi tra a sezioi A e C, divisa per i termie EI. Essedo area triagoare, di atezza C F 4 e base, si ha, per a (6) α AC F 4 F 6EI (5) I vaore dea freccia f C o si ottiee da equazioe (), vautado i mometo statico de area triagoare di Fig. rispetto aa verticae passate per A e o per a mezzeria dea trave, dove a iea eastica ha tagete orizzotae. Cosiderado che a distaza de baricetro de area cosiderata daa verticae suddetta vae, si ha che i mometo statico vae: z F F 4 48 (6) Sostituedo i vaore de mometo statico de diagramma ea () si ottiee i vaore di f C f C EI z F 48EI (7)