RISOLUZIONE DI UN TELAIO CON IL METODO MATRICIALE

Транскрипт

1 Università degi Studi di Paermo Facotà di Ingegneria Dipartimento di Ingegneria Strutturae e Geotecnica a.a. 5-6 RISOLUZIOE DI U TELAIO CO IL METODO MATRICIALE Si ringrazia Ing. Faio Di Trapani per a coaorazione aa redazione de presente documento.

2 Dati e considerazioni preiminari P C C F P DATI Aste di sezione rettangoare aventi tutte e dimensioni: B mm H 6 mm Area A 8 mm Momento d inerzia I 6 5 mm Coeff. Diatazione termica 6 α, C Moduo Eastico E 57 R MPa c R C C /mm O Effettuata a numerazione dei nodi e dee aste, si posiziona i sistema di riferimento goae O(,) e i sistemi di riferimento ocai i( x, y ) in modo che questi possano sovrapporsi a primo in verso attraverso una rotazione oraria o antioraria. I posizionamento dei sistemi di riferimento ocai è definito attraverso e seguenti taee in cui sono denominati con i e k gi estremi de asta j La risposta de sistema è nota una vota noti gi spostamenti generaizzati dei nodi,,,.i teaio in esame è costituito da aste canoniche ossia aste che non presentano discontinuità interne, sono dunque già note e espressioni dee rigidezze. La matrice di rigidezza dea generica asta assume pertanto a forma seguente: j EI EI EI EI EI EI EI EI asta 5 6 estr. i 5 estr. k 6 Vaori di rigidezza assiae, fessionae, a tagio. ρa,ik ρa,ki EI ρik ρki EI V ik V ki

3 La matrice di trasformazione λ dea j-esima asta, che consente a rotazione de sistema di riferimento goae a queo ocae è data da: λ x k ( y k x i y i ) y x k k y x i i Cacoo dee matrici di rigidezza, dee matrici di trasformazione e dee forze di incastro perfetto. Si cacoano a matrice di rigidezza e matrici di trasformazione, inotre si cacoano i vettori dee forze di incastro perfetto reative a ciascuna asta, a fine di definire i sistema risovente finae. Le matrici di rigidezza sono ottenute mettendo a fattor comune i moduo eastico E c Le cacoazioni hanno fornito i seguenti risutati. ASTA (estremi 5-) 5 mm () 55 () 5 () 5 () () E c Matrice di rigidezza 5, 5,,5 6,89 678,57 5, SM Matrice di trasformazione,5 6,9,5 6,89 857,9 6,9 678,57 λ () L asta non presenta carichi in campata e pertanto i vettore dee forze di incastro perfetto è nuo. ASTA (estremi -) mm Matrice di rigidezza () () () () () E c 5, SM , 5,

4 Matrice di trasformazione λ () I I Vettore dee forze d incastro perfetto Convenzione dea Scienza dee Costruzioni. y x a P P Pa Pa P a P P 8 P 8 mm mm P/8 P/8 P/ P/ Convenzione de Cross. P mm 8 P T T P 8 mm Per e date condizioni di carico non sorgono sforzi normai ( ) f, [-mm] ( ) f,

5 ASTA (estremi -) ( x x ) + ( y y ) 77 mm () () () () () E c 8,6 Matrice di rigidezza,6 56,7 5798,68 SM 8,6 8,6,6 56,7,6 56,7 8959,8 56,7 5798,68 Matrice di trasformazione λ () ,88,5,5,88 Vettore dee forze d incastro perfetto I carico P si viene scomposto nee sue componenti P n e P t, rispettivamente normae e paraea a asse dea trave. Ciò consente di cacoare e forze di incastro perfetto per sovrapposizione degi effetti provenienti dai due schemi. P 5 α arctg Pn a Pn P cos α 9 5 Pt P sin α Pt 5 a Pn,9 Vautazione degi effetti di P n a a 5 98 mm cos α mm 77 mm Convenzione dea Scienza dee Costruzioni P a n P 697,9 mm n a 76, mm Convenzione de Cross 697,9 mm 76, mm

6 Per a vautazione dei tagi d incastro perfetto si scrive un equazione di equiirio aa rotazione con riferimento ai momenti noti( vedasi figura seguente) seguita da un equazione di equiirio aa trasazione verticae. Pn T T a T (a + ) + Pna + T , + 697,9 T 86, T T Pn T T + Pn 86, + 9 7, 76 Aa Cross T 7,76 T 86, Vautazione degi effetti di P t Pt a Lo schema risuta una vota iperstatico per e date condizioni di carico. Per determinare gi sforzi normai di incastro perfetto che sorgono agi estremi e si appica i metodo dee forze, dopo aver svincoato uno dei due estremi. a P t, L equazione di congruenza a estremo è:,x ( ) +,x ( Pt ) ed essendo: ( a + ),x ( ) Pt,x ( Pt ) si ha: ( a + ) Pt Pt + 795,56 a + Per cacoare è sufficiente scrivere un equazione di equiirio aa trasazione orizzontae: + P + P, t t

7 Gi sforzi normai sopra cacoati sono già aa cross per come sono state concepite e equazioni di equiirio I vettore dee forze di incastro perfetto è pertanto i seguente: 795,56 7,76 ( ) f 697,9, [-mm] ( ) 9, f, 86, 76, ASTA (estremi -) 77 mm Matrice di rigidezza ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Matrice di trasformazione [mm] ( ) λ () ,88,5,5,88 Vettore dee forze d incastro perfetto La presenza di un carico termico trapezoidae induce a cacoo dee forze di incastro perfetto per sovrapposizione degi effetti mediante due schemi, uno con un carico termico uniforme atro con un carico termico a farfaa ( vedasi figura sotto ). C C a) C C ) - C + C

8 Schema (a) Lo schema (a) per a presenza de carico termico uniforme, risuta una vota iperstatico a sforzo normae. Si risove utiizzando nuovamente i metodo dee forze con i versi positivi aa Cross. L equazione di congruenza a estremo è : ) + ( t ) ;,x (, x e cacoando gi spostamenti:,x,x ( ) ( t ) α t α t α t Per i cacoo di è sufficiente scrivere un equazione di equiirio aa trasazione orizzontae. + α t Schema () Per risovere o schema () si utiizza anaogia de Mohr ainata a metodo dee forze. Svincoando o schema che si presenta è i seguente: - C + C L equazione di congruenza è: γ ( ) + γ ( ) + γ ( t ) Che è sufficiente a risovere i proema poiché per simmetria di carico si ha: E noto che: γ ( γ ( ) EI ) Le rotazioni prodotte da carico termico si vautano attraverso anaogia di Mohr. Le curvature che si generano sono negative, costanti e pari a adt/h, pertanto i carico sua trave ausiiaria è positivo e costante (vedasi figura).

9 ( - ) t/h t/h t/h I vaore dea rotazione a estremo, coincidente con i tagio sua trave di Mohr è: α t γ ( t ) HEI Infine: α t + + EI H α tei H Secondo a convenzione de Cross: α tei 5696 mm ; α tei 5696 mm H H I momento è costante ungo a trave e pertanto non sorgono sforzi di tagio. I vettore dee forze di incastro perfetto è aora i seguente: ( ) f 5696, [-mm] ( ) f, 5696 ASTA 5 (estremi -) 5 5mm Matrice di rigidezza [-mm] (5) (5) (5) (5) (5) E c 6,5 SM ,5 96, Matrice di trasformazione [mm] λ (5) L asta 5 non presenta carichi in campata e pertanto i vettore dee forze di incastro perfetto è nuo.

10 ASTA 6 (estremi -6) 6 mm Matrice di rigidezza [-mm] (6) (6) 6 (6) 6 (6) 66 (6) E c 8 6,8 SM ,8 6,8 8 6 Matrice di trasformazione [mm] λ (6) Anche asta 6 è scarica in campata e non sorgono forze di incastro perfetto.

11 Sistema risovente I sistema risovente che rappresenta in forma matriciae un equazione di equiirio nea quae sono incogniti gi spostamenti generaizzati ha a forma: F f ed è così composto: ( ) + ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) + ( 5 ) ( 5 ) ( ) Tae sistema ha vaore ne sistema di riferimento goae e pertanto è necessario convertire e grandezze in precedenza cacoate e riferite ai sistemi ocai dee aste. I sottoocchi da cui è composta a matrice di rigidezza goae sono preevati dae matrici di rigidezza ocai dee aste e vengono inseriti dopo a conversione che avviene tramite e rispettive matrici di ( ) ( ) trasformazione ne seguente modo (es. sottoocco ): + ( ) ( 5 ) ( 5 ) + ( 6 ) F f ( ), f + f f f ( ), ( ), ( ), ( ), + f ( ), ( ) λ ( ) T ( ) λ ( ) Anche i vettori dee forze di incastro perfetto ocai devono essere riferiti a sistema goae, ad esempio ( ) per i vettore f si ha :, f ( ) ( ) T ( ), λ f, I vettore dei carichi nodai è invece direttamente vautato ne sistema di riferimento goae: F F ; F Attraverso inversione dea matrice di rigidezza goae si risae a vettore degi spostamenti incogniti. ( F,66,557,6,6968,56, f ),58,66,6,9,995,

12 Cacoo dee soecitazioni di estremità. Verifica de equiirio Una vota ricavati gi spostamenti ne sistema di riferimento goae è necessario, vautare e oro componenti nei singoi sistemi ocai. Ciò ao scopo di determinare e soecitazioni ( i j ) S, ( k j ) S di estremità di ciascuna asta in funzione dei suoi spostamenti, vautati ne sistema ocae attraverso espressione: S S ( i ) i ( k j ) ii ki ik kk i k + f f,i,k Ad esempio per asta si ha: S S ( ) 5 ( ) per asta : S S ( ) () ( ) 55 ( ) 5 ( ) ( ) ( ) 5 ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) + f + f ( ), ( ), e cosi via per e atre aste. Si riportano di seguito i vaori di soecitazione dee aste accompagnati da una verifica di equiirio. I vaori dee soecitazioni di estremità, che nei vettori di soecitazione sono espressi in [-mm], sono espressi nee figure e nei cacoi di verifica in in [-m] per questioni di spazio. ASTA [-m],,9 6, ( ) S [-mm] ( ) S ,7 6,6 5, Verifica: Equiirio aa rotazione attorno a punto 5: 5,7 +,9 6,6,5, O

13 ASTA [-m] 6,6,,9,55 5,66 6,6 S S ( ) ( ) [-mm] Verifica Equiirio aa trasazione verticae:, + 5,66 9,99 O Equiirio aa rotazione attorno a punto :,9,55 + 5,66, O ASTA 8,6 5,8 8, 6,8 [-m],5 S S () () [-mm] ,8 Verifica Equi. aa tras. : 8,6 cosα 8, sinα +,5 sinα 59,8 cosα O 5 Equi. aa tras. : 8,6 sinα + 8, cosα +,5 cosα 59,8 sinα 8 O Equi. aa rotaz. attorno a punto : 5,8 +,5 + 6,8,5,7, 6 O

14 ASTA [-m],6 5,,66,6 7,8, ( ) S 565 [-mm] ( ) S Verifica Equiirio aa rotazione attorno a punto : 5, 7,8,6,77, O ASTA 5 [-m],87 7,8 8, ( 5 ) S 7876 [-mm] ( 5 ) S ,78 8,,87 Verifica Equiirio aa rotazione attorno a punto : 7,8 +,78 8, 5, O ASTA 6 55, [-m] 66 6,6 (6) S 65 [-mm] (6) 5566,6 S , 6,6 6 55,66 Verifica: Equiirio aa rotazione attorno a punto,6 + 5, 6,6 O

15 -8,6 DIAGRAMMI DELLE SOLLECITAZIOI SFORZO ORMALE [] -,66 - Compressione + Trazione -6,6 -, +,87-59,8-55,66 TAGLIO [] Convenzione per i tagi positivi +, ,66 +8, -8, -6,6 -,5 +6,6

16 MOMETO FLETTETE [m] 7,8 Convenzione per i momenti positivi 5,,55,9 5, 6,8,78,6 5,7 5, Verifica di equiirio ai nodi ODO,55 5. [-m] 5, 5,8,55, O 5,8 ODO,78 6,8 [-m] 6,8,78,6 O,6

17 Verifica de equiirio goae P F P 5,7 5, 5 6 6,6 6,6, 55,66 Equi. aa tras.ungo : + 6,6 6,6 O Equi. aa tras.ungo : +, 55,66 O Equi. rotaz. att.a p.to 5: 5,7 +, ,5 + 55,66 8 5,, O Deformata ' ' ' ' 5 6