Nomenclatura e forme degli archi

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1 Università degi Studi di Messina Facotà di Ingegneria A.A. 006/007 Statica e Sismica dee Costruzioni Murarie Docente: Ing. Aessandro Pameri Lezione n. 5: L Arco Funicoare Nomencatura e forme degi archi

2 Nomencatura e forme degi archi Moto usato ne architettura romana, nonché in quea romanica ed in quea rinascimentae Usato come arco di controspinta ne Medioevo Tipico de architettura bizantina Tipico de architettura angosassone tra i XV ed i XVIII secoo Caratteristico de architettura araba e di quea gotica Staticamente ha funzione di controspinta, e come tae fu usato ne architettura romana ed in quea medioevae Nomencatura e forme degi archi Le biattabande sono strutture formamente simii agi archi. Possono essere reaizzate in mattoni o in conci di pietra. I oro comportamento può essere assimiato a queo di un arco con monta moto piccoa, quasi nua.

3 Fune ed arco: due forme statiche ottimai Per un assegnato sistema di forze esterne, è possibie definire vie statiche ottimai? Esiste, in atre paroe, una forma staticamente ottimae? È evidente che tra tutte e vie statiche che si possono immaginare per convogiare a terra e forze esterne, i più sempice è queo che si ottiene spostandoe ungo e rispettive rette di azione, eventuamente operando composizioni e decomposizioni. La struttura, in questo caso, è soggetta a puro sforzo normae. Fune ed arco: due forme statiche ottimai Esempio: Travature reticoari.

4 Fune ed arco: due forme statiche ottimai Se e forze esterne sono portate a di fuori dee rispettive rette di azione, nea struttura nascono momenti di forze: soo momenti fettenti, se a struttura è piana; anche momenti torcenti, se a struttura è spaziae. Queste uteriori soecitazioni sono, in genere, più impegnative da contrastare rispetto a puro sforzo normae. Fune ed arco: due forme statiche ottimai Esempio: Teai in c.a. Travi continue in c.a.p.

5 Fune ed arco: due forme statiche ottimai La nascita di momenti di forze nee membrature di una struttura, pur non essendo indispensabie, si rivea spesso come souzione statica necessaria. Soo in casi particoari, infatti, è possibie eiminare in una compagine strutturae e soecitazioni fettenti e torcenti, materiaizzando canai statici ideai che ne siano de tutto privi. I probema di definire a forma statica ideae per fronteggiare un assegnato sistema di forze esterne verticai è rimasto insouto - ameno su basi razionai - fino a circa due secoi addietro. Fune ed arco: due forme statiche ottimai Questo probema, che racchiude in sé essenza stessa dea progettazione strutturae, trova ne arco una souzione intuitiva. Fin da antichità, infatti, arco ha consentito di incanaare e forze esterne verticai in modo da impegnare i materiae costituente nea soecitazione più facimente sostenibie daa tecnoogia disponibie: o sforzo normae di compressione.

6 Fune ed arco: due forme statiche ottimai È difficie definire e origini storiche precise, circoscritte ad una determinata epoca o ad una determinata cività, de arco come struttura resistente per forma. Le prime forme arcuate (pseudo-arco) sono state ottenute mediante eementi impiati in aggetto. Fune ed arco: due forme statiche ottimai La risutante R dei carichi (peso proprio e carichi trasmessi), reativa ad un generico eemento in aggetto ingenera su piano de giunto che o separa da eemento inferiore uno stato di presso-fessione. Se eccentricità e è modesta -e, quindi, se risuta imitata a rotazione dea sezione retta considerata- si avrà un diagramma dee tensioni ad andamento trapezio, tutto di compressione.

7 Fune ed arco: due forme statiche ottimai Lo schema statico dea pseudo-cupoa è o stesso deo pseudo-arco. Si tratta di bocchi squadrati sovrapposti in cerchi concentrici di diametro decrescente. Questa disposizione conferisce maggiore stabiità ad ogni singoo aneo, imitando di moto e possibiità di ribatamento dei bocchi. Fune ed arco: due forme statiche ottimai Superata idea deo pseudo-arco, e pur senza avere a disposizione gi strumenti di anaisi forniti daa Meccanica Razionae e dea Scienza dee Costruzione, intuizione statica paese nee reaizzazioni dei primi archi si articoa attorno a due precisi impegni: a ricerca dea massima centratura de canae statico entro e curve di intradosso e di estradosso; esigenza di contenere a massimo a spinta orizzontae.

8 Fune ed arco: due forme statiche ottimai I passi decisivi verso un rigoroso inquadramento de regime statico de arco furono compiuti ne secoo XVIII, quando incominciarono a farsi strada i primi studi basati sui procedimenti dea Statica Grafica. In particoare, un concetto statico che doveva rivearsi estremamente fruttuoso fu queo dea cosiddetta catenaria. Fune ed arco: due forme statiche ottimai La catenaria rappresenta a configurazione assunta da una fune equipesante, infinitamente fessibie ed assoutamente inestensibie, sospesa a due punti fissi e soggetta a soo peso proprio. L unica caratteristica dea soecitazione ammissibie per una fune è o sforzo normae di trazione N, che in una generica sezione agisce ungo a retta ad essa tangente. La fune, dunque, ha un comportamento statico simmetrico rispetto a queo di un arco ideae, che si vorrebbe impegnato unicamente da sforzo normae di compressione.

9 Statica dea fune Utiizzando gi strumenti de Anaisi Matematica, è oggi possibie scrivere ed integrare equazione differenziae che governa i probema. Consideriamo iniziamente in caso ideae di una fune senza peso di unghezza L, soggetta ad un carico verticae distribuito q(x). I due punti di sospensione, A e B, sono posti aa stessa quota e sono distanti <L. La fune è vincoata in modo iperstatico: si assume come incognita iperstatica a componente orizzontae dea reazione vincoare nea cerniera di destra. Statica dea fune Le componenti verticai dee reazioni vincoari, V A e V B, si possono vautare utiizzando e equazioni cardinai dea Statica. V + V = q( x)dx A B 0 V = B q( x) xdx 0 A V A q(x) B x V = q( x)dx V A 0 1 V = B q( x) xdx 0 B y V B

10 Statica dea fune Facendo riferimento ad un tratto infinitesimo dea fune, si scrivono e equazioni indefinite di equiibrio. Da queste si ricava equazione differenziae che ega o spostamento verticae u y (x) a carico distribuito q(x) ed a incognita iperstatica. V = V + dv + q dx d u y = V d x d ( ) ( ) Vx = qx d x d Vx ( ) u y ( x ) = d x d qx ( ) u y ( x ) = d x N V ds q dx V+dV dx q du y N+dN Statica dea fune L equazione differenziae dea fune va integrata imponendo due condizioni a contorno. d qx ( ) u y( x) = dx uy(0) = 0 ; uy( ) = 0 La souzione de omogenea associata, con q(x)=0, è: u ( x) = C + C x y,om 1 Ne caso di carico uniforme, con q(x)=q, integrae particoare è: q uy,p( x) = x

11 Statica dea fune La souzione effettiva si ottiene sommando a souzione de omogenea associata e integrae particoare, e cacoando e costanti arbitrarie C 1 e C imponendo e condizioni a contorno. u ( x) = u ( x) + u ( x) y y,om y,p uy(0) = C = 0 C = q q uy() = C = 0 C = q q q uy( x) = x x = ( x x) La configurazione di equiibrio dea fune è una paraboa, con i punto di minimo a metà dea sua unghezza: f = u (/) = y 1 q 8 Statica dea fune La unghezza L dea fune è egata a incognita iperstatica : L = ds = dx + du = 0 0 y duy d u y Vx ( ) = 1+ 1 = + dx = 1+ dx 0 dx 0 dx 0 Ne caso di carico uniforme si ha: L ( ) 1 1 q = 1+ α α og 1 + α α ; α = Cioè, i rapporto L/ (>1) tra a unghezza dea fune e a distanza tra i punti di sospensione dipende unicamente da parametro adimensionae α=q/(). Si risove equazione nea variabie a e si cacoa quindi incognita iperstatica.

12 Statica dea fune I probema si compica eggermente per una fune equipesante soggetta a soo peso proprio. In questo caso, infatti, i carico verticae distribuito q(x) non è noto a priori, ed è funzione dea configurazione di equiibrio assunta daa fune: d qdx = ρg Ads = ρg A dx + d u y q( x) = ρg A 1 + uy( x) dx dove ρ ed A sono rispettivamente a densità di massa e area dea sezione dea fune, e g=981 cm/s è acceerazione di gravità. V B V A A B q(x)=ρ gads/dx Statica dea fune Le reazioni vincoari hanno componente orizzontae incognita (incognita iperstatica) e componente verticae che si vauta da equiibrio aa trasazione verticae: V A = V B = ρ g AL/. Sostituendo espressione de carico verticae distribuito ne equazione differenziae che governa a configurazione di equiibrio dea fune, si ottiene: L integrae generae è: d 1 d u y( x) = 1 + uy( x) ; λ = dx λ dx ρg A y( ) cosh x u x = C λ C λ dove a funzione coseno iperboico è così definita: exp( x) + exp( x) cosh( x) = 1

13 Statica dea fune Con o stesso procedimento usato precedentemente, si impongono e condizioni a contorno per cacoare e costanti arbitrarie C 1 e C : 1 sinh( / λ) C = λcosh ; C λcosh( C / λ) 1 = 1 cosh(/ [ λ) 1] dove a funzione arco-coseno iperboico è così definita: 1 cosh ( x) = og( x + x + 1 x 1) La configurazione dea fune è un arco di coseno iperboico avente freccia: f = λ cosh λ Statica dea fune Si determina infine incognita iperstatica sfruttando equazione di compatibiità, per a quae a unghezza L dea fune deve essere uguae aa unghezza dea configurazione di equiibrio: L d y 1 λ sinh u = + = 0 dx λ Da cui: 1 ρ sinh ( α) ; α L g A = α = λ = Risota equazione ne incognita a, si ricava: ρ ga = α

14 Statica dea fune Le configurazioni di equiibrio di una fune, ad esempio: arco di paraboa, ne caso di carico uniforme appicato su una fune priva di peso; arco di coseno iperboico (catenaria), ne caso di fune equipesante soggetta a soo peso proprio; materiaizzano a curva dee successive risutanti. La fune, infatti, resiste soo a sforzo normae di trazione, che risuta ovunque tangente aa configurazione di equiibrio. Arco funicoare A V A q(x) B V B Specchiando rispetto a orizzontae a configurazione di equiibrio assunta da una fune sospesa tra due punti posti aa stessa quota e soggetta ad un assegnato sistema di forze verticai esterne, si ottiene a inea d asse di un arco ideae, detto arco funicoare, capace di fronteggiare queo stesso sistema di forze facendo avorare e sezioni soo a sforzo normae di compressione.

15 Arco funicoare q(x) Si noti che una fune cambia forma a cambiare dei carichi (esempio ideae di struttura resistente per forma), in modo che risuti sempre sottoposta a soa trazione. A V A B A contrario, a cambiare dei carichi arco funicoare conserva a propria forma originaria e, quindi, cessa di essere funicoare, cioè soggetto a puro sforzo normae. V B Ne consegue che mentre a fune è, per definizione, sempre funicoare, arco è funicoare soo per una certa distribuzione di carico q(x). Arco funicoare James Stiring ( ) risove i probema di determinare a curva che garantisce o stato di equiibrio di sfere di egua peso mutuamente reagenti. Tae curva si può ottenere graficamente mediante successive operazioni di composizioni dei pesi propri dee sfere, e coincide con a catenaria dea coana ideamente formata con quee sfere.

16 Arco funicoare Giovanni Poeni ( ), matematico ed ingegnere veneziano, verifica a stabiità dea cupoa dea basiica di San Pietro in Roma mediante una catenaria di pesi diseguai. Arco funicoare Preso in esame uno dei costooni dea cupoa, e diviso quest utimo in conci eementari, Poeni utiizza un modeino sperimentae per definire a curva di equiibrio secondo cui si dispone una coana di sfere, ciascuna di peso proporzionae a peso dei conci, e disposte a distanze proporzionai a quei dei conci. Poeni enuncia chiaramente i principio per cui, da punto di vista statico, i profio più conveniente da attribuire a costoone è queo per i quae a inea baricentrica risuti funicoare dei carichi su di esso agenti.

17 Arco funicoare A aumentare de carico P, a curva dee pressioni si deforma daa catenaria (P=0) aa configurazione mostrata in figura (b). Come mostrato in figura (c), a curva dee pressioni raggiunge a superficie de arco, sia a intradosso che a estradosso. In questi punti si viene a formare una cerniera pastica, e quattro cerniere pastiche trasformano arco in una catena cinematica, come mostrato in figura (d). Arco funicoare Dee travi ad arco si è fatto e tuttora si fa argo uso, per a costruzione di strutture di grande uce, come ad esempio i ponti. Soitamente è i piano stradae che trasmette i carichi verticai, costituiti da peso proprio ed eventuamente dai carichi accidentai, a'arco di sostegno, tramite biee che possono risutare: tutte compresse (a); tutte tese (b); oppure in parte compresse e in parte tese (c) a seconda de iveo a cui è disposto i piano stradae.

18 Arco funicoare Vi sono poi i ponti sospesi, in cui o schema statico è invertito e 'eemento di sostegno è rappresentato da una fune tesa a configurazione paraboica. In questo caso gi eementi di trasmissione sono tutti tiranti.