La scala logaritmica

Transcript

1 La scaa ogaritmica Obiettivi utiizzare coordinate ogaritmiche e semiogaritmiche 1. COORDINATE LOGARITMICHE Se un numero k eá maggiore di 10, i suo ogaritmo in base 10 eá moto piuá piccoo de numero stesso: og 20 ˆ 1,30::: og 400 ˆ 2,60::: og 5000 ˆ 3,69::: ecosõá via. Quando si devono rappresentare numeri che spaziano in un range moto grande di vaori, come per esempio e distanze intersteari o e frequenze di udibiitaá de suono (da 20Hz a 20000Hz), si ricorre ad una scaa ogaritmica, vae a dire che, dato un numero reae positivo (atrimenti i ogaritmo non esiste), si vauta i suo ogaritmo decimae. Di conseguenza: se 0 < < 1! og < 0 se 1 < 10! 0 og < 1 se 10 < 100! 1 og < 2 se 100 < 1000! 2 og < 3 Sua retta dei numeri, a scaa ogaritmica viene rappresentata tenendo presenti e considerazioni precedenti. issata un'origine O e un'unitaá di misura u si procede in questo modo (segui a figura 1). Nea figura: i numeri in bu sono i vaori di i numeri in rosso sono i vaori X ˆ og igura 1 Poiche og 10 0 ˆ og 1 ˆ 0, a punto O facciamo corrispondere a potenza 10 0 ˆ 1 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS LA SCALA LOGARITMICA 1

2 Aa destra de punto O : - poicheâ og 10 1 ˆ 1, a punto che si trova a distanza 1 da O facciamo corrispondere a potenza 10 1 ˆ 10 - poicheâ og 10 2 ˆ 2, a punto che si trova a distanza 2 da O facciamo corrispondere a potenza 10 2 ˆ 100 Aa sinistra de punto O : - poicheâ og 10 1 ˆ 1, a punto che si trova a distanza 1 dao facciamo corrispondere a potenza 10 1 ˆ 0,1 - poicheâ og 10 2 ˆ 2, a punto che si trova a distanza 2 dao facciamo corrispondere a potenza 10 2 ˆ 0,01 I vaori intermedi tra una potenza di 10 e a successiva si coocano ne corrispondente vaore di ogaritmo; per esempio: i numero 4 che si trova tra 1 e 10 viene posto in corrispondenza di og 4 0,6 i numero 35 che si trova tra 10 e 100 viene posto in corrispondenza di og 35 1,54 i numero 0,3 che si trova tra 0,1 e 1 viene posto in corrispondenza di og 0,3 0,52 i numero 0,05 che si trova tra 0,01 e 0,1 viene posto in corrispondenza di og 0,05 1,3. In pratica, indicata con 'ascissa di un punto P econx a sua coordinata ogaritmica, tra queste due variabii sussiste a reazione X ˆ og In scaa ogaritmica si possono quindi rappresentare soo vaori positivi, mentre i vaori di X dei corrispondenti ogaritmi decimai sono positivi se > 1, negativi se 0 < < 1; i vaore 0 viene assunto in corrispondenza di ˆ 1. I sistema di coordinate ogaritmiche Quando in un piano si introduce un sistema di riferimento cartesiano, su ciascuno dei due assi si puoá fissare una scaa ogaritmica; si para in questo caso di coordinate ogaritmiche. L'unitaÁ di misura sceta per i due assi puoá essere a stessa, ma si possono anche usare unitaá diverse (esattamente come ne piano cartesiano si puoá avere un sistema monometrico oppure dimetrico). Se indichiamo con X, Y e coordinate ogaritmiche di un punto P, e con, y e sue coordinate cartesiane consuete, abbiamo che: X ˆ og e Y ˆ og y Grazie ae proprietaá dei ogaritmi, 'uso di questo tipo di coordinate puoá sempificare a rappresentazione grafica di acune curve; ricordiamo infatti che un prodotto tra due numeri si trasforma nea somma dei oro ogaritmi, mentre una potenza si trasforma ne prodotto tra 'esponente e i ogaritmo dea base. Supponiamo, per esempio, di dover rappresentare a curva di equazione y ˆ 3 4 con > 0 2 LA SCALA LOGARITMICA Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

3 Se consideriamo i ogaritmi decimai dei due membri abbiamo che igura 2 og y ˆ og 3 4 cioeá og y ˆ 3 4 og Ponendoci in una sistema di coordinate ogaritmiche si ottiene: Y ˆ 3 4 X che rappresenta una retta di coefficiente angoare 3 4 che passa per 'origine (i grafico eá in figura 2). iceversa, data a retta che in coordinate ogaritmiche ha equazione Y ˆ X 3, ci chiediamo quae sia a reazione funzionae tra e y. Ponendo og a posto di X e og y a posto di Y otteniamo: og y ˆ og 3 cioeá og y ˆ og 103 La reazione funzionae cercata ha quindi equazione y ˆ 1000 e rappresenta un'iperboe equiatera. I sistema di coordinate semiogaritmiche Otre ad un sistema di riferimento dove su entrambi gi assi cartesiani si eá fissata una scaa ogaritmica, si puoá anche pensare ad uno ne quae questa scaa sia fissata su uno soo dei due assi, per esempio 'asse y. Si para in questo caso di riferimento semiogaritmico. In sostanza, su'asse dee ascisse si mantiene una scaa ineare e su'asse y una scaa ogaritmica (figura 3): X ˆ e Y ˆ og y Per esempio: a funzione y ˆ diventa: og y ˆ og og y ˆ og 1000 og 2 cioeá Y ˆ 3 og 2 igura 3 viceversa, a funzione Y ˆ og 2 og 5 diventa: og y ˆ og 2 5 cioeá y ˆ 2 5 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS LA SCALA LOGARITMICA 3

4 La scaa ogaritmica COORDINATE LOGARITMICHE RICORDA In una scaa ogaritmica i vaori X rappresentati sono proporzionai ai ogaritmi dee ascisse positive : X ˆ og Comprensione 1 In scaa ogaritmica: a. si possono rappresentare soo numeri reai positivi. b. i vaori X ˆ og sono soo numeri positivi c. vaori interi (numeri come 2, 3, 4...) sono sempre equidistanziati d. non esiste a possibiitaá di rappresentare o zero e. per rappresentare numeri compresi tra 1 e 10si utiizza un segmento di uguae unghezza rispetto a queo che si usa per rappresentare numeri compresi tra 10 e In un sistema di coordinate ogaritmiche, ad ogni punto di coordinate, y corrisponde un punto di coordinate X, Y dove: a. ˆ og X e y ˆ og Y b. X ˆ og e Y ˆ og y c. X ˆ og y e Y ˆ og Appicazione 3 Rappresenta i seguenti numeri in scaa ogaritmica: 0,04 0, In aboratorio si eá controata a concentrazione di un farmaco dopo un certo numero di ore da suo assorbimento; i dati sono in tabea: Tempo (in h) Concentrazione (in mg) Rappresenta i dati in un riferimento cartesiano in scaa semiogaritmica (scaa ogaritmica su'asse y dove viene riportata a concentrazione). 5 La popoazione mondiae ha subito un notevoe incremento a partire da 1800 e i dati reativi aa sua numerositaá sono riportati in tabea: 4 LA SCALA LOGARITMICA Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

5 Anno Popoazione 1 1, (in miiardi di individui) Rappresenta i dati in un riferimento cartesiano in scaa semiogaritmica (scaa ogaritmica su'asse y dove viene riportata a popoazione). 6 In un grafico con scaa semiogaritmica eá rappresentata a retta di equazione Y ˆ Xog 3 og 5. Trova i egame funzionae tra e y sapendo che X ˆ e Y ˆ og y. y ˆ E' data a funzione y ˆ 1. In un grafico con scaa semiogaritmica qua eá i coefficiente angoare 4 dea retta che a rappresenta? og 4Š 8 La egge che rappresenta a crescita di una popoazione di batteri eá data daa formua N ˆ N 0 2 kt, dove N 0 eá a numerositaá dea popoazione di batteri a tempo t ˆ 0, N eá a popoazione a tempo t e k eá i numero di suddivisioni ceuari che avvengono in ogni unitaá di tempo. Trasforma a egge in scaa semiogaritmica ponendo Y ˆ og N. Y ˆ kt og 2 og N 0 Š 9 La egge di decadimento radioattivo dee sostanze segue a egge m ˆ m 0 e t dove m 0 eá a massa radioattiva presente a tempo t ˆ 0, m eá a massa radioattiva presente a tempo t e eá a costante di decadimento radioattivo i cui vaore eá un numero caratteristico di ciascuna sostanza radioattiva e daá a misura dea maggiore o minore rapiditaá con cui avviene i processo di trasformazione. Trasforma a egge in scaa semiogaritmica ponendo Y ˆ n m. y ˆ n m 0 tš 10 La magnitudo M di un terremoto viene definita, secondo a scaa Richter, daa formua M ˆ og A A 0 dove A rappresenta i massimo spostamento rispetto ao zero dea traccia asciata da un sismografo e A 0 indica i vaore massimo deo stesso spostamento per un terremoto preso come campione. Stabiisci, motivando adeguatamente e risposte, se e seguenti affermazioni sono corrette oppure no. a. Un terremoto di magnitudo 6 eá dieci vote piuá potente di un terremoto di magnitudo 5. b. Un terremoto di magnitudo 7,2 ha una potenza doppia di uno di magnitudo 3,6. [corretta a a.; errata a b.] 11 L'orecchio umano percepisce a pressione sonora in maniera ogaritmica, anzicheâ ineare, quindi risuta conveniente esprimere e grandezze egate a'ampiezza de suono in un'unitaá di misura ogaritmica chiamata decibe. SeX eá una generica grandezza e X 0 eá un vaore di riferimento per quea grandezza, si definisce decibe 'espressione db ˆ 10og X X 0. a. Due suoni hanno rispettivamente intensitaá di Watt=m 2 e10 14 Watt=m 2 ; qua eá i rapporto fra e oro intensitaá in decibe? 2Š b. Due suoni hanno intensitaá di 100dB e 70dB, qua eá i rapporto fra e oro intensitaá espresse in Watt=m 2? 1000Š Souzioni esercizi di comprensione 1 a., b., c., d., e. 2 b. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS LA SCALA LOGARITMICA 5