L'ELLISSE. Rivedi la teoria

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1 L'ELLISSE Rivedi a teoria L'eisse e a sua equazione L'eisse eá i uogo dei unti P de iano er i quai eá costante a somma dee distanze da due unti fissi F 1 e F detti fuochi. Per scrivere a sua equazione conviene fissare i sistema di riferimento in modo che i fuochi aartengano a'asse oure a'asse y e 'origine stia ne unto medio de segmento F 1 F. In entrambi i casi 'equazione che si ottiene ha a forma a y b ˆ 1 dove suoniamo che sia a 6ˆ b atrimenti si ottiene una circonferenza. Si tratta di una curva simmetrica risetto ad entrambi gi assi cartesiani e quindi risetto a'origine. Un'eisse interseca: 'asse nei unti: A1 a, 0 e A a,0 'asse y nei unti: B1 0, b e B 0, b Questi unti si dicono vertici de'eisse; i segmenti OA e OB sono i suoi semiassi. I fuochi aartengono: a'asse se a > b; in questo caso F 1 c, 0 e F c,0 dove c ˆ a b a'asse y se a < b; in questo caso F 1 0, c e F 0, c dove c ˆ b a. L'eccentricitaÁ di un'eisse L'eccentricitaÁ e di un'eisse eá definita come i raorto fra a semidistanza focae c ed i semiasse maggiore: e ˆ c semiasse maggiore Essa raresenta o "schiacciamento" de'eisse sua retta de semiasse maggiore ed eá un numero reae comreso fra 0 e 1; se e ˆ 0 'eisse diventa una circonferenza, se e ˆ 1 'eisse degenera ne segmento individuato dai fuochi. Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SA L'ELLISSE E L'IPERBOLE 1

2 ESERCIZIO GUIDA Studiamo e caratteristiche dee eissi che hanno e seguenti equazioni e costruiamone i grafico. a. 6 y 16 ˆ 1 Abbiamo che: a ˆ 6 e b ˆ. I vertici sono i unti di coordinate 6, 0 e 0, Essendo a > b i fuochi aartengono a'asse. Poiche c ˆ a b ˆ 6 16 ˆ, i fuochi hanno coordinate: F 1,0 e F,0 Cacoiamo 'eccentricitaá: e ˆ c a ˆ 6 ˆ I suo grafico eá in figura. b. 9 y ˆ 1 Poiche a ˆ ebˆ, 'eisse ha i fuochi su'asse y. I vertici sono i unti: A 1, 0 e A, 0 B 1 0, e B 0,. Essendo oi c ˆ b a ˆ 9 ˆ, i fuochi hanno coordinate: F 1 0, e F 0, Cacoiamo 'eccentricitaá: I suo grafico eá in figura. e ˆ c b ˆ PROVA TU Individua e caratteristiche dee eissi che hanno e seguenti equazioni. a. y ˆ 1 dove a ˆ ::::: e b ˆ ::::: I vertici de'eisse sono i unti di coordinate: :::::, ::::: e :::::, ::::: su'asse :::::, ::::: e :::::, ::::: su'asse y I fuochi aartengono... e hanno coordinate... Costruisci i grafico nea figura a ato. b. 9 y ˆ 9 Riscrivi rima di tutto 'equazione in forma canonica dividendo entrambi i membri er 9 : y ˆ 1 quindi a ˆ ::::: e b ˆ ::::: ::::: ::::: L'ELLISSE E L'IPERBOLE Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SA

3 I vertici sono i unti di coordinate... I fuochi aartengono... e hanno coordinate... Costruisci i grafico nea figura a ato. Fai gi esercizi Individua e caratteristiche dee seguenti eissi, trovane 'eccentricitaáe costruiscine oi i grafico. 1 9 y ˆ 1 A, 0 ; B 0, ; F,0; e ˆ 1 y ˆ 1 A,0; B 0, ; F 0, 1 ; e ˆ 1 y 16 ˆ 1 A,0; B 0, ; F 0, 11 ; e ˆ 11 y ˆ 1 A, 0 ; B 0, ; F 1, 0 ; e ˆ y ˆ 1 6 A 10, 0 ; B 0, 6 ; F, 0 6 y ˆ 1 16 A, 0 ; B 0, ; F, 0 7 y ˆ A, 0 ; B 0, 1 ; F 0, 1 ; e ˆ 1 1 Scrivi 'equazione de'eisse nei seguenti casi e costruiscine i grafico: a. a ˆ, b ˆ b. a ˆ, c ˆ c. b ˆ 1, c ˆ y ˆ 1 9 y ˆ 1 10 y ˆ 1 Rivedi a teoria Probemi su'eisse L'equazione di un'eisse diende dai due arametri a e b; er individuare a sua equazione sono quindi necessarie e sufficienti due informazioni indiendenti. I Probema: determinare 'equazione di un'eisse saendo che assa er due unti assegnati. Come er e atre coniche, basta imorre a condizione di aartenenza dei unti aa curva. Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SA L'ELLISSE E L'IPERBOLE

4 ESERCIZIO GUIDA a. Scriviamo 'equazione de'eisse saendo che ha un vertice in A, 0 e 'atro in B 0,. La conoscenza de vertice aartenente a'asse ci ermette di dire che a ˆ 16. La conoscenza di queo su'asse y ci dice che b ˆ. L'eisse ha quindi equazione 16 y ˆ 1. b. Scriviamo 'equazione de'eisse che assa er unti A, 1 e B 1, Imoniamo i assaggio er i unto A : a 1 b ˆ 1 1 Imoniamo i assaggio er i unto B : a b ˆ 1 >< Scriviamo i sistema formato dae due equazioni: a 1 b ˆ 1 >: 1 a b ˆ 1 Per risovere in modo semice i sistema, oeriamo un cambio di variabie e oniamo 1 a ˆ k e 1 ˆ h; i b sistema in questo modo diventa: k h ˆ 1 >< k ˆ 7! k h ˆ 1 >: h ˆ 1 ( 7 a ˆ 7 Tornando nee variabii a e b abbiamo: b ˆ 7 L'eisse ha quindi equazione: 7 y 7 ˆ 1 cioeá y ˆ 7. PROVA TU Scrivi 'equazione de'eisse che ha un vertice in A 6,0 e assa er P,. La conoscenza de vertice A aartenente a'asse ti ermette di dire che a ˆ :::::::::: Sostituendo e coordinate de unto P ne'equazione generae de'eisse ottieni:... Risovi adesso i sistema dee due equazioni trovate. 6 y 1 ˆ 1 Rivedi a teoria II Probema: determinare 'equazione di una eisse conoscendo a sua eccentricitaá In questo caso eá noto i raorto c a oure c ed essendo c ˆ a b b oure c ˆ b a dea osizione dei fuochi, si uoá scrivere una rima equazione. E' oi necessario avere una informazione aggiuntiva er risovere i robema. a seconda L'ELLISSE E L'IPERBOLE Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SA

5 ESERCIZIO GUIDA 6 Scriviamo 'equazione de'eisse con i fuochi su'asse che ha eccentricitaá uguae a e un vertice ne unto A 0,. a L'informazione su'eccentricitaá ci ermette di scrivere 'equazione: b 6 ˆ a a che conviene scrivere nea sua forma equivaente: b ˆ 6 a 9 L'informazione su vertice ci dice oi che: b ˆ < a b ˆ a Risoviamo adesso i sistema (ricorda che devi trovare a e b ): a! ˆ 9 : b b ˆ ˆ L'eisse ha quindi equazione: 9 y ˆ 1 PROVA TU Un'eisse con i fuochi su'asse y ha un vertice in A 0, ed eccentricitaá uguae a. L'informazione su vertice si traduce ne'equazione: b ˆ ::::: Quea su'eccentricitaá ne'equazione: ::::: ::::: ˆ b cioeá eevando a quadrato entrambi i membri: :::::::::: ˆ :::::::::: Risovi adesso i sistema dee due equazioni. y 1 ˆ 1 Fai gi esercizi 9 Scrivi 'equazione de'eisse che ha vertici nei unti V 1, 0 e V 0,. y ˆ 1 r! 10 Scrivi 'equazione de'eisse che assa er i unti di coordinate, e, e determina oi i vertici e e coordinate dei fuochi. 10 y 1 ˆ 1 11 Scrivi 'equazione de'eisse che ha i fuochi di coordinate F 1,0 e F,0 e assa er i unto A, 1. 1 y ˆ 1 1 Scrivi 'equazione de'eisse che ha fuochi di coordinate 0, e semiasse maggiore uguae a. 9 y ˆ 1 1 Scrivi 'equazione de'eisse di eccentricitaá che assa er i unto di coordinate, y 0 ˆ 1 1 Scrivi 'equazione de'eisse con i fuochi su'asse che ha eccentricitaá uguae a e semiasse minore uguae a. 9 y ˆ 1 Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SA L'ELLISSE E L'IPERBOLE

6 1 Scrivi 'equazione de'eisse che assa er i unti di coordinate 1, e, 0 e determina oi a unghezza dea corda che a retta y ˆ 1 individua su di essa. 9y 7 10 ˆ 9; 1 16 Scrivi 'equazione de'eisse con i fuochi su'asse che ha semiasse maggiore uguae a e assa er 1 P,. 9 y ˆ Š Rivedi a teoria Le rette tangenti a un'eisse Per determinare 'equazione dea retta tangente ad un'eisse si segue a stessa rocedura vista er i caso dea araboa: si mettono a sistema e equazioni de'eisse e dea retta si cacoa 'equazione risovente si imone che i discriminante de'equazione risovente sia uguae a zero. In articoare, se a retta tangente assa er un unto P 0, y 0 aartenente a'eisse, otre a metodo iustrato, eá ossibie aicare e formue di sdoiamento, onendo ne'equazione de'eisse: 0 a osto di y 0 y a osto di y ESERCIZIO GUIDA a. Data 'eisse di equazione 9 y ˆ 1 troviamo e equazioni dee rette ad essa tangenti che sono erendicoari aa retta r di equazione: y ˆ 1. Le rette tangenti a'eisse, se devono essere erendicoari a r, devono avere coefficiente angoare 1 ed hanno quindi equazione de tio y ˆ 1 q. >< 9 y ˆ 1 Per determinare q scriviamo i sistema retta-eisse: >: y ˆ 1 q < 9y ˆ 6 troviamo 'equazione risovente: : y ˆ 1 q 9 1 ˆ q 6! 9 1 ˆ q 6! 6q 6 q ˆ 0 I discriminante di questa equazione eá ˆ 1q 6 q ˆ 1 q e a condizione di tangenza eá quindi q ˆ 0! q ˆ Le rette tangenti sono due e hanno equazione y ˆ 1.! q ˆ 6 L'ELLISSE E L'IPERBOLE Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SA

7 b. Data 'eisse di equazione 9 y ˆ 1 vogiamo trovare ' equazione dea retta ad essa tangente condotta da suo unto Q di ascissa 1 e ordinata negativa. Cacoiamo e coordinate de unto Q onendo ˆ 1 ne'equazione de'eisse: y ˆ 1 1 y 9 ˆ y ˆ y ˆ! Q 1, 9 9 Per trovare 'equazione dea tangente aichiamo e formue di sdoiamento onendo: 0 ˆ 1 ˆ a osto di y 0 y ˆ y a osto di y Sostituendo ne'equazione de'eisse e otteniamo: 9 y ˆ 1! 9 y ˆ 1 La retta tangente ha quindi equazione: y 9 ˆ 0. c. Scriviamo 'equazione de'eisse tangente in A 1, aa retta r di equazione 1 y ˆ 1. Aichiamo e formue di sdoiamento e sostituiamoe ne'equazione canonica de'eisse er trovare 'equazione dea tangente in A: 1 y 1 ˆ 1 cioeá a b a b y ˆ 1 L'equazione 1 a b y ˆ 1eÁ identicamente uguae a 1 y ˆ 1 se: 1 a ˆ 1 e b ˆ da cui ricaviamo che a ˆ 1 b ˆ 1 L'eisse ha quindi equazione: y ˆ 1 PROVA TU a. Scrivi 'equazione dea retta assante er i unto P, 0 che eá tangente a'eisse di equazione y 10 ˆ 1. I unto P non aartiene a'eisse (verificao sostituendo e coordinate) ed eá ad essa esterno; esistono quindi due rette tangenti e er trovare devi aicare i metodo de sistema e imorre a condizione di tangenza: - scrivi 'equazione dea retta er P : y ::::: ˆ m ::::: - imosta i sistema retta-eisse: y ˆ 10 :::::::::::::::::::::: - trova 'equazione risovente:... - imoni che i discriminante sia uguae a zero:... r " r # Trovi che m ˆ. y ˆ Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SA L'ELLISSE E L'IPERBOLE 7

8 b. Scrivi 'equazione de'eisse che ha un vertice in A, 0 e che eá tangente aa retta di equazione y ˆ. La conoscenza de vertice A indica che a ˆ ::::: L'equazione de'eisse si uoá scrivere come 16 y b ˆ 1 Scrivi i sistema retta-eisse e rocedi come ne caso recedente. Imonendo a condizione di tangenza trovi che b ˆ 16. Fai gi esercizi 17 Scrivi e equazioni dee rette assanti er i unto P assegnato e tangenti aa eisse data. a. 16 y ˆ 1 P 0, y ˆ 1 1, y ˆ b. 9y ˆ 9 P 1, 6 y ˆ 9 1 Scrivi e equazioni dee rette tangenti a'eisse 0 y ˆ 1 che assano er i unto P 1,. y ˆ ; y ˆ Scrivi 'equazione de'eisse che ne unto P 1, eá tangente aa retta di equazione y ˆ 0. y ˆ Š L'IPERBOLE Rivedi a teoria La definizione di ierboe L'ierboe eá i uogo dei unti P de iano er i quai eá costante a differenza dee distanze da due unti fissi F 1 e F chiamati fuochi. L'ierboe con i fuochi su'asse L'equazione di questa ierboe ha a forma y a b ˆ 1 Le sue caratteristiche sono e seguenti: eá una curva simmetrica risetto agi assi cartesiani e a'origine interseca 'asse nei unti A1 a, 0 e A a,0 chiamati vertici reai; i segmento A 1 A eá 'asse trasverso e i segmento OA 1 (oure OA )eá i semiasse trasverso non esistono intersezioni con 'asse y; vengono tuttavia definiti due vertici immaginari di coordinate B 1 0, b e B 0, b, i segmento B 1 B eá 'asse non trasverso ed i segmento OB 1 (oure OB )eá i semiasse non trasverso L'ELLISSE E L'IPERBOLE Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SA

9 b e rette y ˆ a e y ˆ b sono i suoi asintoti a i fuochi hanno coordinate F1 c, 0 e F c,0 essendo c ˆ a b. L'ierboe con i fuochi su'asse y L'equazione di questa ierboe ha a forma y a b ˆ1 Le sue caratteristiche sono e seguenti: eá una curva simmetrica risetto agi assi cartesiani e a'origine i suoi vertici reai aartengono a'asse y e hanno coordinate B 1 0, b e B 0, b ; i segmento B 1 B eá 'asse trasverso e i segmento OB 1 (oure OB )eá i semiasse trasverso non esistono intersezioni con 'asse ; i suoi vertici immaginari hanno coordinate A 1 a, 0 e A a,0, i segmento A 1 A eá 'asse non trasverso ed i segmento OA 1 (oure OA )eá i semiasse non trasverso b e rette y ˆ a e y ˆ b sono i suoi asintoti a i fuochi hanno coordinate F1 0, c e F 0, c essendo ancora c ˆ a b. La costruzione de grafico Per disegnare un'ierboe conviene seguire questa rocedura: rendere i unti di coordinate a, 0 su'asse e 0, b su'asse y disegnare i rettangoo che si ottiene tracciando da questi unti e araee agi assi cartesiani tracciare gi asintoti che sono e diagonai di questo rettangoo A questo unto: se 'ierboe ha i fuochi su'asse ('equazione eá se 'ierboe ha i fuochi su'asse y ('equazione eá a a y y ˆ 1) i grafico eá queo nea figura di sinistra b ˆ1) i grafico eá queo nea figura di destra b L'eccentricitaÁ di un'ierboe L'eccentricitaÁ e di un'ierboe eá definita come i raorto fra a semidistanza focae c ed i semiasse trasverso: c >< se i fuochi aartengono a'asse semiasse focae e ˆ semiasse trasverso ˆ a >: c se i fuochi aartengono a'asse y b Essa raresenta 'amiezza de'ierboe ed eá un numero reae maggiore di 1. Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SA L'ELLISSE E L'IPERBOLE 9

10 ESERCIZIO GUIDA Studiamo e caratteristiche dee ierboi che hanno e seguenti equazioni e costruiamone i grafico. a. 9 y ˆ 1 Possiamo dire subito che a ˆ 9eb ˆ e, daa forma de'equazione, che i fuochi si trovano su'asse. Di conseguenza: i semiasse trasverso si trova su'asse e i vertici reai sono i unti di coordinate, 0 e, 0 i semiasse non trasverso si trova su'asse y e i vertici immaginari sono i unti di coordinate 0, e 0, essendo c ˆ a b ˆ 9 ˆ 1 i fuochi hanno coordinate 1,0 e 1,0 gi asintoti sono e rette di equazioni y ˆ e y ˆ (e diagonai de rettangoo) 'eccentricitaá eá: e ˆ c a ˆ 1 I grafico aartiene aa regione deimitata dagi asintoti che contiene 'asse ed eá in figura. b. y ˆ1 a ˆ e b ˆ e, daa forma de'equazione, che i fuochi si trovano su'asse y. Di conseguenza: i semiasse trasverso si trova su'asse y e i vertici reai sono i unti di coordinate 0, e 0, i semiasse non trasverso si trova su'asse e i vertici immaginari sono i unti di coordinate, 0 e, 0 essendo c ˆ a b ˆ ˆ 9 i fuochi hanno coordinate 0, 9 e 0, 9 gi asintoti sono e rette di equazioni y ˆ e y ˆ (e diagonai de rettangoo) 'eccentricitaá eá: e ˆ c b ˆ 9 I grafico aartiene aa regione deimitata dagi asintoti che contiene 'asse y ed eá in figura. PROVA TU Individua e caratteristiche dee ierboi indicate e costruiscine i grafico. a. y 9 ˆ 1 La forma de'equazione indica che i fuochi aartengono L'ELLISSE E L'IPERBOLE Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SA

11 I vertici reai sono i unti: :::::, ::::: :::::, ::::: I vertici immaginari sono i unti: :::::, ::::: :::::, ::::: Gi asintoti hanno equazioni: y ˆ ::::: e y ˆ ::::: Costruisci i grafico nea figura a ato. b. y ˆ1 La forma de'equazione indica che i fuochi aartengono... I vertici reai sono i unti: :::::, ::::: :::::, ::::: I vertici immaginari sono i unti: :::::, ::::: :::::, ::::: Gi asintoti hanno equazioni: y ˆ ::::: e y ˆ ::::: Costruisci i grafico nea figura a ato. Fai gi esercizi Dee seguenti ierboi individua e coordinate dei vertici e dei fuochi, e equazioni degi asintoti, 'eccentricitaáe costruiscine i grafico. 1 y ˆ 1 V,0; F 17,0; y ˆ 9 ; e ˆ y ˆ1 V 0, ; F 0, 1 ; y ˆ; e ˆ 1 y h 96 ˆ 1 V, 0 i ; F 10, 0 ; y ˆ 6 ; e ˆ y 6 ˆ1 V 0, ; F 0, 6 ; y ˆ ; e ˆ 16 6 y 6 ˆ 1 V, 0 ; F 10, 0 ; y ˆ ; e ˆ 6 Scrivi e equazioni dee ierboi riferite a centro e agi assi dee quai si sa che: a. ha i fuochi su'asse a ˆ b ˆ 1 b. ha i fuochi su'asse y c ˆ 6 a ˆ c. ha i fuochi su'asse b ˆ c ˆ 0 y 1 ˆ 1 y 16 ˆ1 y 16 9 ˆ 1 Rivedi a teoria I Probema: determinare 'equazione de'ierboe, con centro ne'origine degi assi, conoscendo e coordinate de fuoco Fe di un suo unto P. Per risovere i robema imoniamo i assaggio er i unto P e usiamo a formua che esrime e coordinate de fuoco; risoviamo oi i sistema dee due equazioni ottenute. Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SA L'ELLISSE E L'IPERBOLE 11

12 ESERCIZIO GUIDA Scriviamo 'equazione de'ierboe saendo che ha fuoco in F, 0 e che assa er i unto P, 7. L'ierboe ha i fuochi su'asse, quindi a sua equazione eá de tio a y b ˆ 1. Essendo c ˆ ossiamo scrivere a rima equazione de sistema: a b ˆ c cioeá a b ˆ Imoniamo i assaggio er P : Risoviamo adesso i sistema: 7 ˆ 1 cioeá a b < a b ˆ : 1 6 a b ˆ 1! 1 a 6 b ˆ 1 a b ˆ 1b 6a ˆ a b Ricaviamo a daa rima equazione e sostituiamo nea seconda; rocediamo oi aa risouzione de'equazione ottenuta ricordando che dobbiamo cacoare b e che quindi 'equazione eá di secondo grado in tae incognita: a ˆ b 17 1b 6 b ˆ b b! b 166b 17 ˆ 0! b ˆ Scartando a souzione negativa che non eá accettabie troviamo che equazione 16 y 9 ˆ 1. a ˆ 16 b ˆ 9 9 e quindi 'ierboe ha PROVA TU Scrivi 'equazione de'ierboe che ha un fuoco in F 0, 1 e assa er i unto P,. L'equazione de'eisse ha a forma a y b ˆ1. Imoni che 'ordinata de fuoco sia uguae a 1 : ::::: ::::: ˆ ::::: ::::: ::::: Imoni i assaggio er P : a b ˆ1 Risovi i sistema dee equazioni ottenute e ricava a e b. y 9 ˆ1 Rivedi a teoria II Probema: determinare 'equazione de'ierboe che assa er due unti assegnati Se i robema non daá informazione sua osizione dei fuochi, dobbiamo considerare sia i caso de'ierboe con 'asse focae coincidente con queo dee ascisse che queo de'ierboe con 'asse focae coincidente con queo dee ordinate. I robema inotre eá determinato se i unti dati non sono simmetrici risetto agi assi cartesiani o a'origine ercheá in questo caso a conoscenza dee oro coordinate equivae ad una soa condizione. 1 L'ELLISSE E L'IPERBOLE Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SA

13 ESERCIZIO GUIDA Determiniamo 'equazione de'ierboe che assa er P 6, e Q 10,. I caso: ierboe di equazione a y b ˆ 1 Scriviamo i sistema ottenuto imonendo i assaggio er P e Q : Oerando e sostituzioni Otteniamo: >< k ˆ 1 0 >: h ˆ 1 6 >< a b ˆ 1 >: 0 a b ˆ 1 1 a ˆ k e 1 b ˆ h risoviamo i sistema iuá semice: 6k h ˆ 1 0k h ˆ 1 da cui L'equazione de'ierboe eá quindi a ˆ 0 b ˆ 0 y ˆ 1. II caso: ierboe di equazione a y b ˆ1 Scriviamo i sistema ottenuto imonendo i assaggio er P e Q : Oerando e stesse sostituzioni otteniamo: 6k h ˆ1 0k h ˆ1 6 >< a >: 0! a b ˆ1 b ˆ1 >< k ˆ 1 0 >: h ˆ 1! a ˆ0 b ˆ Avendo trovato vaori negativi er a e b, i sistema non ha souzioni. Non esiste quindi un'ierboe che assa er P e Q che ha i fuochi su'asse y. Osserviamo che i vaori trovati er a e b, a meno de segno, sono gi stessi; eá quindi sufficiente risovere uno soo dei due casi e adattare oi e souzioni. PROVA TU Scrivi 'equazione de'ierboe che assa er i unti P, 1 e Q 6,. Considera darima 'equazione a y b ˆ 1 : - imoni i assaggio er P : ::::::::::::: ˆ 1 - imoni i assaggio er Q : ::::::::::::: ˆ 1 Risovendo i sistema dee due equazioni ottenute trovi che a ˆ6 e b ˆ9. Avendo trovato vaori negativi, a tioogia di equazione sceta non eá quea giusta; tuttavia sai che risovendo 'anaogo sistema che si ottiene utiizzando 'atra tioogia di equazione i vaori di a e b sono gi stessi con segno ositivo. L'equazione de'ierboe eá quindi... Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SA L'ELLISSE E L'IPERBOLE 1

14 Rivedi a teoria III Probema: determinare 'equazione de'ierboe note e equazioni degi asintoti e e coordinate di un suo unto Disegnati gi asintoti ne iano cartesiano, i tio di ierboe da considerare diende daa osizione de unto Q. In ogni caso e due equazioni che ermettono di trovare a e b si ottengono: imonendo i assaggio er i unto imonendo che b a sia uguae a coefficiente angoare ositivo de'asintoto ESERCIZIO GUIDA Determiniamo 'equazione de'ierboe che assa er Q, e ha er asintoti e rette di equazione y ˆ 1. La raresentazione ne iano cartesiano ci suggerisce che 'ierboe ha i fuochi su'asse ; a sua equazione eá quindi de tio a y b ˆ 1. Imoniamo i assaggio er Q : 6 a b ˆ 1 Uguagiamo i coefficienti angoari degi asintoti: Risoviamo i sistema: 6b a ˆ a b a ˆ b 6 >< a b ˆ 1 >: b a ˆ 1 a! ˆ 16b 16b 16b ˆ 0 b a ˆ 1! a ˆ 16b 16b b 1 ˆ 0 Risovendo 'equazione in b troviamo che b ˆ La soa souzione accettabie eá L'ierboe ha quindi equazione b ˆ 1 a ˆ y ˆ PROVA TU Trova 'equazione de'ierboe che ha er asintoti e rette di equazioni y ˆ P, 7. e assa er Disegna i due asintoti e individua a osizione de unto P (anche arossimata). 1 L'ELLISSE E L'IPERBOLE Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SA

15 uoi concudere che 'ierboe ha i fuochi... e che quindi a sua equazione eá dea forma... Imoni i assaggio er P : ::::::::::::::: ˆ ::::: Uguagia i coefficiente angoare generae degi asintoti a queo dato: Risovi i sistema. :::::::::::: ˆ 9 y ˆ 1 Fai gi esercizi 7 Scrivi 'equazione de'ierboe che ha un fuoco in F 0, e assa er P,. y 16 ˆ1 Scrivi 'equazione de'ierboe che assa er P, e Q,. y ˆ 1Š r! 9 Scrivi 'equazione de'ierboe che assa er Q, 6 e ha er asintoti e rette di equazione y ˆ. y ˆ1 10 Scrivi 'equazione de'ierboe con i fuochi su'asse saendo che i semiasse trasverso eá ungo 1 e che assa er A, 1. y ˆ 1Š 11 Scrivi 'equazione de'ierboe con i fuochi su'asse y di eccentricitaá che ha er asintoti e rette y ˆ. 9 y 16 ˆ1 1 Scrivi 'equazione de'ierboe avente i fuochi su'asse che ha er asintoti e rette di equazioni y ˆ e che assa er i unto P,. 9 16y ˆ 17Š 1 Scrivi 'equazione de'ierboe avente er fuochi i unti di coordinate 0, 1 e assante er A, y ˆ1 1 Scrivi 'equazione de'ierboe avente i fuochi su'asse saendo che i semiasse trasverso eá ungo e che ha eccentricitaá 7. y ˆ 1 Rivedi a teoria Determinare 'equazione dea retta tangente ad un'ierboe Per trovare 'equazione dea retta tangente ad un'ierboe si deve: scrivere 'equazione generae dea retta imostare i sistema fra 'equazione de'ierboe e 'equazione dea retta trovare 'equazione risovente de sistema cacoare i discriminante di questa equazione e imorre che sia uguae a zero. Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SA L'ELLISSE E L'IPERBOLE 1

16 In articoare, se a retta tangente assa er un unto P 0, y 0 che aartiene a'ierboe, otre a metodo iustrato si ossono usare e formue di sdoiamento onendo ne'equazione de'ierboe: 0 a osto di y 0 y a osto di y ESERCIZIO GUIDA a. Scriviamo e equazioni dee tangenti a'ierboe di equazione y ˆ condotte da unto P 1, 0. I unto P non aartiene a'ierboe. Scriviamo aora 'equazione dea generica retta assante er P : y 0 ˆ m 1 y ˆ Scriviamo ora i sistema formato dae equazioni de'ierboe e de fascio: y ˆ m 1 ( Troviamo 'equazione risovente: m 1 ˆ! m 1 ˆ y ˆ m 1 Sviuiamo i cacoo e scriviamoa nea forma tiica di un'equazione di secondo grado: 1 m m m ˆ 0 Imoniamo a condizione di tangenza: ˆ m 1 m m! m 1 m m ˆ 0 Risoviamo 'equazione: m ˆ 0! m ˆ Le equazioni dee rette tangenti si ottengono sostituendo a m i vaori trovati ne'equazione de fascio: y ˆ 1 y ˆ 1 b. Scriviamo e equazioni dee tangenti a'ierboe di equazione y ˆ condotte da suo unto P di ascissa e ordinata ositiva. I unto P aartiene a'ierboe; troviamo a sua ordinata: 16 y ˆ! y ˆ 1! y ˆ I unto ha coordinate,. Per trovare 'equazione dea tangente ossiamo aicare e formue di sdoiamento onendo: 0 ˆ a osto di y 0 y ˆ y a osto di y Sostituiamo ne'equazione de'ierboe e otteniamo y ˆ. c. Scriviamo 'equazione de'ierboe con i fuochi su'asse che assa er P, 1 ed eá tangente aa retta y ˆ 0. La forma de'equazione eá: a y b ˆ Imoniamo i assaggio er P : a b ˆ 1 Scriviamo i sistema retta-ierboe e troviamo 'equazione risovente: 16 L'ELLISSE E L'IPERBOLE Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SA

17 < a y b ˆ 1 : y ˆ! ˆ 1! b a a a b a ˆ 0 a b Imoniamo a condizione di tangenza (usiamo ): 16a b a a b a ˆ 0 Risoviamo adesso risetto ad a e b i sistema nee due equazioni ottenute: < 9 1 a b ˆ 1 : 16a b a a b a ˆ 0 Troviamo due souzioni: a ˆ b ˆ 1 _ < a ˆ 9 : b ˆ Otteniamo cosõá e due ierboi di equazioni: y 1 ˆ 1 _ 9 y ˆ 1 PROVA TU a. Scrivi e equazioni dee rette tangenti a'ierboe y ˆ 1 condotte da unto P 1, 0 9. Scrivi 'equazione dea retta er P : y ::::: ˆ m ::::: < Imosta i sistema retta-ierboe: y 9 ˆ 1 : y ˆ ::::::::::: Trova 'equazione risovente:... Imoni a condizione di tangenza:... Risovendo 'equazione trovi che m ˆ ; e due rette hanno quindi equazione y ˆ e y ˆ. b. Scrivi 'equazione de'ierboe che ha un vertice reae in A 0, ed eá tangente aa retta y 1 ˆ 0. I vertice reae aartiene a'asse y, 'ierboe ha quindi i fuochi su tae asse e a sua equazione eá dea forma :::::::::::::: Da'informazione su vertice ricavi subito che eá: b ˆ :::::::::::::: Per utiizzare 'informazione sua retta tangente scrivi i sistema retta-ierboe dove a osto di b conviene mettere i vaore aena trovato: y 1 ˆ 0 ::::::::::::::: Trova 'equazione risovente:... Imoni che sia ˆ0 : ::::::::::::::::::::::::::: L'equazione de'ierboe eá quindi y ˆ1. Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SA L'ELLISSE E L'IPERBOLE 17

18 Fai gi esercizi 1 Scrivi e equazioni dee rette assanti er i unto P assegnato e tangenti a'ierboe data. a. y 9 ˆ 1 P 0, y ˆ b. y 1 6 ˆ 1 P, y ˆ 0 Š 16 Scrivi 'equazione de'ierboe che eá tangente aa retta y ˆ ne suo unto di ascissa 1. y ˆ Š 17 Doo aver scritto 'equazione de'ierboe con i fuochi su'asse che assa er i unti di coordinate, e,, trova e equazioni dee rette ad essa tangenti condotte da unto P 1, 0 ; determina oi e coordinate dei unti A e B di tangenza e a unghezza dea corda che i ha er estremi. y 1 ˆ 1; y ˆ 1 ; A, 1 ; B, 1 ; AB ˆ Trova e equazioni dee rette tangenti a'ierboe di equazione 0 y ˆ 1 che siano erendicoari aa retta di equazione y ˆ 0. y ˆ 19 Data 'ierboe di equazione y ˆ1, scrivi e equazioni dee rette ad essa tangenti e araee a y ˆ. y ˆ 1Š Rivedi a teoria L'ierboe equiatera Un'ierboe si dice equiatera se ha i semiassi uguai, cioeá se a ˆ b: La sua equazione riferita a centro e agi assi assume in questo caso a forma: y ˆ a se i fuochi sono su'asse ; in questo caso: - i vertici hanno coordinate a, 0 - i fuochi hanno coordinate a,0 y ˆa se i fuochi sono su'asse y; in questo caso: - i vertici hanno coordinate 0, a - i fuochi hanno coordinate 0, a In entrambi i casi gi asintoti sono e bisettrici dei quadranti e 'eccentricitaá eá. Si ara oi di ierboe equiatera riferita agi asintoti quando gi asintoti sono gi assi cartesiani. In ta caso 'equazione assume a forma y ˆ h. In articoare: se h > 0 i vertici e i fuochi sono sua bisettrice de rimo e terzo quadrante ed hanno coordinate V h, h, F h, h se h < 0 i vertici e i fuochi sono sua bisettrice de secondo e quarto quadrante ed hanno coordinate V h, h, F h, h L'equazione y ˆ h raresenta anche a reazione di roorzionaitaá inversa tra e variabii e y. 1 L'ELLISSE E L'IPERBOLE Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SA

19 ESERCIZIO GUIDA Individuiamo e caratteristiche dee seguenti ierboi equiatere. a. y ˆ 9 EÁ un'ierboe equiatera riferita agi assi cartesiani con i fuochi su'asse di coordinate F 1,0 e F,0. I vertici hanno coordinate, 0 e, 0 Gi asintoti hanno equazione y ˆ e 'eccentricitaá eá e ˆ : b. y ˆ EÁ un'ierboe equiatera riferita agi assi cartesiani con i fuochi su'asse y di coordinate F 1 0, e F 0, I vertici hanno coordinate 0, e 0, Gi asintoti hanno equazione y ˆ e 'eccentricitaá eá e ˆ. c. y ˆ EÁ un'ierboe equiatera riferita agi asintoti aartenente a rimo e terzo quadrante. I fuochi hanno coordinate F 1, e F, I vertici hanno coordinate, e, Gi asintoti coincidono con gi assi cartesiani e 'eccentricitaá eá e ˆ : PROVA TU a. Individua e caratteristiche de'ierboe y ˆ e costruiscine i grafico. Si tratta di un'ierboe equiatera... con i fuochi... I suoi vertici sono i unti di coordinate :::::, ::::: e :::::, ::::: Gi asintoti sono e rette di equazioni... e... Utiizzando i diagramma a ato costruisci i grafico. b. Scrivi 'equazione de'ierboe equiatera riferita agi asintoti che assa er i unto P,. L'equazione de'ierboe eá de tio... Imonendo i assaggio er P ottieni... L'ierboe ha dunque equazione y ˆ6. Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SA L'ELLISSE E L'IPERBOLE 19

20 Fai gi esercizi 0 Individua e caratteristiche dee seguenti ierboi equiatere e tracciane i grafico: a. y ˆ 16 b. y ˆ c. y ˆ 6 1 Scrivi 'equazione de'ierboe equiatera che abbia i seguenti requisiti: a. sia riferita a centro e agi assi e assi er i unto A, y ˆŠ b. sia riferita a centro e agi assi e abbia fuochi nei unti di coordinate,0 y ˆ Š c. sia riferita a centro e agi asintoti e assi er P,. y ˆ6Š Rivedi a teoria La funzione omografica Aicando a'ierboe equiatera y ˆ k una trasazione di vettore ~v assegnato, suosto c 6ˆ 0 ^ ad bc 6ˆ 0, si ottiene un'equazione dea forma y ˆ a b c d che rende i nome di funzione omografica. I suoi asintoti sono rette araee agi assi cartesiani ed hanno equazioni ˆ d c e y ˆ a c. La curva eá simmetrica risetto a unto di intersezione degi asintoti che eá i unto di coordinate d c, a. c ESERCIZIO GUIDA a. Studiamo a funzione omografica di equazione y ˆ 1. Abbiamo che: a ˆ b ˆ 1 c ˆ 1 d ˆ La funzione ha quindi: d asintoto verticae di equazione ˆ c cioeá ˆ a asintoto orizzontae di equazione y ˆ c cioeá y ˆ centro ne unto di coordinate,. Per costruire i suo grafico con maggior recisione ossiamo determinare e coordinate di quache unto aartenente aa curva. Interseca 'asse y in 0, 1 Interseca 'asse in 1,0 Atri unti si individuano con a seguente tabea: ramo di sinistra 1 y ramo di destra 7 16 y 10 0 L'ELLISSE E L'IPERBOLE Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SA

21 b. Vogiamo determinare a funzione omografica che ha centro in C, che assa er i unto Q 1, 1. L'equazione richiesta eá de tio: y ˆ a b c d. Osserviamo che essa diende da quattro arametri; tuttavia, come vedremo ne'esercizio, er determinara sono sufficienti tre informazioni indiendenti. PoicheÁ e generiche coordinate de centro sono C due equazioni: d c, a c d c ˆ e a c ˆ Imonendo i assaggio er Q abbiamo: 1 ˆ a b c d d >< c ˆ Scriviamo i sistema formato dae tre condizioni: a c ˆ >: 1 ˆ a b c d, uguagiandoe a quee date, otteniamo e! < a ˆ c b ˆc : d ˆc c c Sostituiamo ne'equazione generae dea funzione omografica: y ˆ c c Raccogiendo i termine c a numeratore e a denominatore e semificando troviamo infine che a funzione omografica ha equazione: y ˆ 1 PROVA TU a. Doo averne messo in evidenza e caratteristiche, costruisci i grafico dea funzione y ˆ 1. Si tratta dea funzione omografica (ierboe equiatera trasata). I suoi asintoti sono e rette di equazione: ˆ ::::: y ˆ ::::: I centro di simmetria eá i unto di coordinate: :::::, ::::: Trova e coordinate di quache unto e costruisci i grafico. y b. Scrivi 'equazione dea funzione omografica che ha er asintoti e rette y ˆ e ˆ 1 saendo che assa er i unto di coordinate 1, 1. Le informazioni sugi asintoti ti danno e rime due equazioni: d c ˆ ::::: e a c ˆ ::::: Imoni oi i assaggio er i unto dato e risovi i sistema. La funzione ha equazione y ˆ. Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SA L'ELLISSE E L'IPERBOLE 1

22 Fai gi esercizi Studia e caratteristiche dee seguenti funzioni omografiche e disegnane i grafico: a. y ˆ 1 C,, ˆ, y ˆ 6 b. y ˆ C 1 1, 1, ˆ 1, y ˆ 1 c. y ˆ C,0, ˆ, y ˆ 0 Determina a funzione omografica che ha centro in C, che assa er i unto Q 1, 1. y ˆ Determina a funzione omografica che ha centro in C 1, 1 che assa er i unto Q, y ˆ Determina a funzione omografica che ha er asintoti e rette di equazione y ˆ e ˆ1 e assa er i unto Q 1,. y ˆ 1 1 L'ELLISSE E L'IPERBOLE Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SA

23 Verifica de recuero 1 Riconosci i tio di curva definita dae seguenti equazioni, individuane e caratteristiche rinciai e tracciane i grafico: a. y 6 ˆ 1 b. 10 y ˆ 1 c. 9 y 6 ˆ1 d. y 6 ˆ 1 e. y ˆ 9 f. y ˆ 6 1 unti Scrivi 'equazione de'eisse che: a. ha eccentricitaá 1 e un fuoco ne unto di coordinate, 0 b. assa er P 1, r! e Q 1, 1 unti Cacoa 'eccentricitaá dee seguenti eissi: a. 100 y 6 ˆ 1 b. 9 y ˆ 6 unti Data 'eisse di equazione 9 y ˆ, scrivi e equazioni dee rette ad essa tangenti che sono araee aa bisettrice de rimo e terzo quadrante. 9 unti Scrivi 'equazione de'ierboe riferita a centro e agi assi che ha: a. un fuoco di coordinate 1,0 e er asintoti e rette di equazioni y ˆ b. vertice reae ne unto di coordinate 0, ed eccentricitaá uguae a. 1 unti 6 Trova a unghezza dea corda intercettata daa retta di equazione y ˆ 1 su'ierboe di equazione y ˆ. 9 unti 7 Scrivi e equazioni dee tangenti a'ierboe di equazione y ˆ 16 nei unti di intersezione con a retta di equazione ˆ. 1 unti Scrivi 'equazione dea funzione omografica assante er 'origine degi assi e avente centro in C 1, 1. unti Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SA L'ELLISSE E L'IPERBOLE

24 Souzioni 1 a. ierboe: V, 0, F 17,0, asintoti y ˆ b. eisse: F,0, a ˆ 10, b ˆ c. ierboe: V 0, 6, F 0,, asintoti y ˆ d. eisse: F 0, 6, a ˆ 1, b ˆ e. ierboe equiatera: V,0, F,0 ; asintoti y ˆ; e ˆ f. funzione omografica:asintoti y ˆ, ˆ a. 6 y ˆ 1; b. y ˆ 1 a. ; b. y ˆ a y 6 ˆ 1; b. 1 y ˆ1 1 7 y ˆ 16 y ˆ 1 Esercizio Punteggio Punteggio Voto: unteggio 10 1 ˆ L'ELLISSE E L'IPERBOLE Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SA