Rette, piani e figure nello spazio 21

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1 ESERCIZI Rette, iani e figure nello sazio RETTE E PIANI NELLO SPAZIO teoria a agina 1 Comrensione 1 Descrivi le osizioni reciroche di: a. due rette nello sazio b. due iani nello sazio. 2 Se due rette a e b sono sghembe, eá vero che una terza retta c sghemba con a lo eá anche con b? Analizza le situazioni che si ossono resentare. Se due rette a e b sono comlanari ed una terza retta c eá comlanare con a, eá semre vero che b e c sono comlanari? 4 Comleta le seguenti roosizioni in modo che siano vere. a. Se due iani hanno in comune tre unti, allora... b. Se due iani hanno in comune due unti, allora... c. Se due iani hanno in comune un unto, allora... 5 Dati una retta r ed un suo unto P, quante erendicolari si ossono tracciare da P ad r? Qual eá la caratteristica di tali rette? Quando si dice che una retta eá erendicolare ad un iano? Doo aver giustificato le tue risoste, dai la definizione di erendicolaritaá fra rette e iani. 6 Qual eá il criterio che ermette di stabilire se una retta eá erendicolare ad un iano? Perche non si uoá usare la definizione? 7 Enuncia il teorema delle tre erendicolari e illustralo con un disegno. 8 Che cos'eá la roiezione ortogonale di un unto su un iano? Se da un unto P esterno ad un iano si conducono il segmento di erendicolare ed alcuni segmenti obliqui, quali considerazioni si ossono fare relativamente a tali segmenti e alle loro roiezioni? 9 Come si definisce l'angolo fra una retta ed un iano? 10 Comleta le seguenti roosizioni in modo che risultino vere. a. Due rette che sono erendicolari ad uno stesso iano sono... b. Se due rette sono arallele, un iano che eá erendicolare all'una eá... c. Date due rette arallele r e s e considerati un iano assante er r ed uno assante er s che si intersecano lungo una terza retta t, si ha che... d. La relazione di arallelismo fra rette ossiede le rorietaá..., quindi definisce il concetto di Stabilisci se le seguenti roosizioni sono vere o false. a. Tre rette fra loro arallele aartengono semre allo stesso iano. Rette, iani e figure nello sazio 21

2 b. Sia un iano assante er una retta r e un iano assante er una retta s e sia r k s, allora eá semre arallelo a. c. I due iani e della roosizione recedente o sono aralleli o si intersecano lungo una retta arallela a r eas. 12 Doo aver dato la definizione di arallelismo fra una retta e un iano e indicato quali sono le rorietaá di questa relazione, siega come si determina la distanza fra retta e iano. Alicazione 1 Quanti iani individuano tre rette non comlanari che assano er uno stesso unto O? 14 I unti A, B e C aartengono contemoraneamente ai due iani e tra loro secanti; che cosa uoi dire di tali unti? 15 In quante regioni tre iani dividono lo sazio se: a. nessuno dei tre incontra gli altri; b. i rimi due non si incontrano ed entrambi incontrano il terzo; c. i tre iani hanno una retta in comune. 16 Dati quattro unti A, B, C, D non comlanari, dimostra che i unti medi P, Q, R, S dei segmenti AB, BC, CD, DA sono comlanari. I unti A, B, C individuano un iano ; considera il triangolo ABC: sai che PQ eá... ad AC ; analogamente i unti A, C, D individuano un iano ed eá... I segmenti PQ e RS sono quindi... e ercioá Dati i unti A e B dello sazio verifica che se quattro unti P, Q, R, S sono tali che: PA PB, QA QB, RA RB, SA SB, allora i unti P, Q, R, S sono comlanari. 18 Tenendo resente quanto dimostrato all'esercizio recedente, sai dire qual eá nello sazio il luogo dei unti equidistanti dagli estremi di un segmento? 19 Un triangolo ABC aartiene a un iano ; conduci er A la erendicolare ad e rendi su di essa un unto P; descrivi le caratteristiche dei triangoli PAC e PAB; se il triangolo ABC fosse isoscele di base BC che cosa si otrebbe dire del triangolo PBC? 20 Calcola le misure delle roiezioni su un iano di un segmento AB lungo 10cm nei seguenti casi: a. AB eá arallelo ad b. AB forma con un angolo di 0 c. AB forma con un angolo di 45 d. AB forma con un angolo di 60 e. AB eá erendicolare ad. 21 Date tre rette r, s e t tali che r k s e s k t e non comlanari, esiste una retta che le incontra tutte e tre? Giustifica la tua risosta. (Suggerimento: osserva che se esistesse una retta v che interseca tutte e tre le rette, v dovrebbe aartenere al iano di...) 22 Descrivi la rocedura er tracciare un iano arallelo a due rette incidenti. 22 Rette, iani e figure nello sazio

3 DIEDRI, PERPENDICOLARITA Á NELLO SPAZIO E ANGOLOIDI teoria a agina 7 Comrensione 2 Dai la definizione di angolo diedro e siega quando: a. un diedro si dice iatto b. un diedro si dice concavo oure convesso c. due diedri sono consecutivi d. due diedri sono adiacenti. 24 Un diedro concavo uoá anche essere definito come l'unione di due semisazi; come uoá essere definito in modo analogo un diedro convesso? 25 Definisci il semiiano bisettore e siega che cosa significa che due diedri sono comlementari. 26 Doo aver definito la sezione di un diedro, secifica: a. quando la sezione eá normale b. qual eá la caratteristica delle sezioni normali c. come si misura un diedro. 27 Comleta le seguenti roosizioni in modo che risultino vere. a. Se una retta r eá erendicolare ad un iano, tutti i iani che assano er r sono... b. Se una retta r eá erendicolare ad un iano, tutti i iani erendicolari a r sono... c. Se due rette sono arallele, ogni iano erendicolare alla rima eá Dai la definizione di angoloide ed enuncia le sue rorietaá, dimostrando in articolare quella relativa ai triedri. Alicazione 29 Sia il semiiano bisettore del diedro ; una retta r erendicolare a in un unto C incontra in A e in B. Dimostra che AC CB. 0 Individua le caratteristiche di un diedro che eá dato da: a. la somma di un diedro retto con un diedro acuto; b. la somma di un diedro retto con un diedro ottuso; c. il doio di un diedro acuto; d. il doio di un diedro ottuso; e. la metaá di un diedro ottuso. 1 Quanti diedri ottusi si ossono al massimo sommare er avere un diedro minore o uguale di un diedro giro? 2 Sia ABC un triangolo equilatero di lato ` ; dal vertice A traccia la erendicolare al iano del triangolo e su essa fissa il unto D tale che AD ˆ ` e congiungi D con B e con C. Quali sono le amiezze dei diedri di sigoli DA, CA e AB? 60,90,90 Š POLIEDRI E SOLIDI DI ROTAZIONE teoria a agina 9 Comrensione Doo aver definito una suerficie oliedrica e un oliedro, illustra la relazione di Eulero. 4 I oliedri regolari sono solo cinque; siega qual eá la giustificazione di questa affermazione e dai la descrizione di ciascuno di essi. Rette, iani e figure nello sazio 2

4 5 Definisci il risma e indica le sue caratteristiche. Quando un risma rende il nome di aralleleiedo? Enuncia le rorietaá di questo solido e dimostrale. 6 Doo aver definito la iramide, siega: a. quando una iramide eá retta e quando eá regolare b. quali sono le caratteristiche di una iramide retta. 7 Definisci il cilindro e successivamente: a. enuncia le sue rorietaá b. siega quando un cilindro si dice equilatero c. definisci le osizioni reciroche di un cilindro e di un iano. 8 Definisci il cono e indica le sue rorietaá. 9 Comleta le seguenti roosizioni in modo che risultino vere: a. un cilindro retto eá equilatero se la sua sezione con un iano assante er l'asse eá... b. un cono retto eá equilatero se la sua sezione con un iano assante er l'asse eá... c. l'aotema di un cono equilatero eá congruente Una suerficie sferica si ottiene facendo ruotare: a. un semicerchio attorno al diametro di una rotazione comleta b. una circonferenza attorno a un diametro di una rotazione di amiezza c. una semicirconferenza attorno al diametro di una rotazione di amiezza Sia S una sfera di centro O e raggio r; si uoá dire che: a. un iano eá tangente a S se la distanza di O da eá uguale a r b. un'altra sfera S 0 di centro O 0 e raggio r 0 eá tangente a S se la distanza OO 0 eá minore di r r 0 c. un iano la cui distanza da O eá minore di r taglia S lungo una circonferenza di raggio r 0 r d. un iano interseca S lungo una circonferenza di raggio r solo se assa er O. Alicazione 42 Qual eá la figura geometrica sezione di un aralleleiedo con un iano che incontra i suoi sigoli laterali? 4 Dimostra che le diagonali di un aralleleiedo retto avente er base un rombo sono congruenti a due a due. 44 In una iramide a base quadrata uno sigolo eá erendicolare al iano della base; dimostra che le facce laterali sono tutte triangoli rettangoli. 45 Una iramide regolare a base quadrata ha gli sigoli tutti uguali fra loro; indicata con ` la loro lunghezza, esrimi la lunghezza dell'aotema e dell'altezza della iramide in funzione di `. ` 2 ; ` Data una suerficie cilindrica ed un unto P a essa esterno, quanti iani ad essa tangenti si ossono condurre da P? 47 Descrivi la rocedura er individuare il centro di una suerficie sferica che assa er quattro unti assegnati. 48 Dimostra che, tracciando in una sfera due iani aralleli aventi la stessa distanza dal centro, si ottengono cerchi congruenti. 24 Rette, iani e figure nello sazio

5 MISURE DI SUPERICI E DI OLUMI teoria a agina 15 Comrensione 49 Siega che cos'eá lo sviluo iano di un solido e descrivi gli svilui di un risma retto e di una iramide retta. 50 Enuncia le regole er il calcolo della misura della suerficie totale di un risma e di una iramide retti. Siega oi come si calcola la misura della diagonale di un aralleleiedo rettangolo. 51 Il rinciio di Cavalieri afferma che due solidi sono equivalenti se: a. in qualunque modo essi vengano intersecati da un iano, le sezioni ottenute sono congruenti b. esiste un iano tale che tutti i iani ad esso aralleli tagliano i due solidi lungo sezioni equivalenti c. esiste un iano tale che tutti i iani ad esso aralleli tagliano i due solidi lungo sezioni congruenti. 52 Comleta le seguenti roosizioni. a. Un risma e un aralleleiedo aventi altezze congruenti sono equivalenti se... b. Una iramide e un risma aventi basi equivalenti sono equivalenti se... c. Un cilindro e un cono aventi altezze congruenti sono equivalenti se... Alicazione Misure di suerfici 5 Un aralleleiedo rettangolo ha er base un quadrato di lato ` ; se la diagonale del aralleleiedo misura 2`, calcola la suerficie totale del solido. S ˆ 2` Una iramide triangolare regolare ha lo sigolo di base lungo 12 cm. Saendo che l'altezza della iramide eá la metaá dell'aotema, calcola l'area della suerficie totale del solido. S ˆ 72 6 cm 2 55 In un aralleleiedo rettangolo gli sigoli di base AB e BC e l'altezza B sono roorzionali ai numeri, 4 e 5 e la loro somma eá 60cm; calcola la misura della suerficie totale del solido. Condotto il iano che assa er due sigoli oosti e incontra le basi lungo una diagonale, calcola la suerficie totale di ciascuno dei due rismi che si ottengono. I dati del roblema indicano che: AB : ˆ BC : 4 ˆ B : 5 Alicando la rorietaá del comorre otteniamo: AB BC B : 4 5 ˆAB :!! 60 : 12 ˆ AB :! AB ˆ 15 Utilizzando la stessa roorzione uoi trovare le altre due dimensioni del aralleleiedo. 250cm 2 ; 1800cm Š 56 L'area della suerficie totale di un aralleleiedo rettangolo eá 888a 2. Calcola la misura delle sue dimensioni saendo che sono roorzionali ai numeri 4 5, 5, 16, trova oi anche la lunghezza della diagonale a, 9a, 16a, d ˆ 481a Rette, iani e figure nello sazio 25

6 57 In un risma quadrangolare regolare l'area della suerficie totale eá 264`2 mentre la somma di tutti i suoi sigoli eá 80`. Determina le dimensioni del solido. 6`, 8`; 22 `, 16 ` 58 Una iramide quadrangolare regolare ha lo sigolo di base che eá lungo 6`, mentre lo sigolo delle facce laterali eá lungo 9`; calcola la lunghezza dello sigolo s di un cubo che ha la stessa suerficie della iramide e la lunghezza della sua diagonale. q s ˆ ` 62 q 2 1 ; d ˆ ` La sezione di un cilindro con un iano assante er il suo asse ha area 80cm 2 ; si sa inoltre che il raorto fra l'altezza ed il raggio del cilindro eá 5. Calcola la suerficie totale del cilindro. 2 S ˆ 112cm2 Š 60 L'altezza di un cono circolare retto eá la metaá dell'aotema di lunghezza a; calcola, in funzione di a, la misura della suerficie totale del cono e quella del cilindro in esso inscritto che ha altezza ari ad 1 di quella del cono. h 4 a2 2 ; 9 a2 6 i 61 L'aotema di un cono di vertice eá lungo 0cm e la sua altezza eá i 4 del raggio di base; determina a quale distanza da si deve condurre un iano arallelo alla base del cono in modo che il cilindro in esso inscritto e avente er base il cerchio sezione abbia suerficie laterale uguale a 162cm 2. 18cm _ 6cmŠ 62 Un cono retto ha il raggio di base di lunghezza 6` e l'altezza di lunghezza 8`; trova: a. l'area della suerficie della sfera in esso inscritta b. il raggio del cerchio individuato dai unti di tangenza della sfera con la suerficie laterale del cono. Misure di volumi a: 6`2; b: 6 Un risma retto ha er base un triangolo rettangolo i cui cateti misurano 5cm e 12cm e la sua altezza eá congruente all'iotenusa del triangolo di base. Calcola la misura della suerficie totale ed il volume del solido. 450cm 2 ; 90cm Š 64 La diagonale di un cubo misura d ; esrimi la misura della suerficie totale e del volume del cubo in funzione di d. 2d 2 d ; 9 65 L'area della suerficie totale di un aralleleiedo rettangolo eá 5440a 2 e le sue dimensioni sono roorzionali ai numeri 10, 5, 8. Calcola la misura del volume e della diagonale. (Suggerimento: indica con 10x, 5x, 8x le dimensioni del aralleleiedo, calcola l'esressione della suerficie totale e imoni che sia uguale al valore dato) 25600a ;12 21 a 66 L'area della suerficie totale di un aralleleiedo rettangolo eá 246dm 2 e la sua altezza eá dm; le dimensioni del rettangolo di base differiscono di 1dm. Calcola il volume del solido. 216dm Š 67 Un risma retto ha er base un triangolo equilatero e l'altezza del risma eá i del lato di base; se il 4 volume del solido eá 12 cm, calcola le misure dei suoi sigoli e quella dell'area della suerficie totale. h lato di base ˆ 4cm; altezza ˆ cm; S ˆ 6 8 i cm 2 68 Un aralleleiedo retto ha er base un rombo ed ha il volume di 156 cm ; la diagonale maggiore del aralleleiedo eá lunga 2cm e forma un angolo di 60 con il iano di base. Calcola la suerficie totale del solido cm ` 26 Rette, iani e figure nello sazio

7 69 Un risma regolare a base esagonale ha la suerficie totale ari a 72 m 2 e la sua suerficie laterale eá uguale a quella di una base. Calcola il volume del solido. 72m Š 70 Il volume di un aralleleiedo a base quadrata eá 456cm e di esso si sa che l'altezza eá doia dello sigolo di base. Un iano inclinato di 0 risetto al iano di base, in modo che il oligono sezione sia un rettangolo, lo divide in due solidi i cui volumi hanno raorto 4 8. Calcola le suerfici totali dei due solidi che si ottengono. h i cm 2 ; 912cm 2 71 Una iramide triangolare regolare ha l'altezza congruente allo sigolo di base e la sua suerficie totale eá cm 2. Calcola la misura dello sigolo di base ed il volume della iramide. sigolo ˆ 6cm; ˆ 18 cm 72 Una iramide quadrangolare regolare avente il lato di base di 6 cm ha altezza h ˆ 12 cm; determina a quale distanza dal vertice deve essere condotto un iano arallelo alla base in modo che le due arti in cui resta divisa la iramide siano equivalenti. Indichiamo con x l'altezza H 0 della iramide staccata dal iano. Sezionando il solido con un iano assante er, erendicolare al iano di base e arallelo a uno dei lati della base otteniamo i due triangoli isosceli AB e A 0 B 0 che sono simili. Possiamo quindi scrivere la roorzione: AB : A 0 B 0 ˆ H : H 0! 6 : A 0 B 0 ˆ 12 : x da cui ricaviamo che A 0 B 0 ˆ 6x 12 ˆ 1 2 x. Il volume della iramide data eá: 1 ˆ 6 12 ˆ 144. Il volume della iramide staccata da eá: 2 ˆ 1 4 x2 x 1 ˆ 1 12 x. Il volume della arte rimanente eá la differenza fra i due e quindi ˆ x. Dovendo essere 2 ˆ otteniamo l'equazione:! x ˆ 864! x ˆ x ˆ x! 1 6 x ˆ 144! 7 Sia ABC un triangolo equilatero di lato ` ; traccia er il vertice B la retta erendicolare al iano del triangolo e rendi su di essa un unto in modo che l'angolo AB sia di 0. Calcola il volume e l'area della suerficie totale della iramide che si ottiene congiungendo con i vertici del triangolo. S ˆ ` 2; ˆ 1 12 ` 74 In una iramide quadrangolare regolare il lato di base eá 10 dell'aotema e la differenza tra la suerficie 1 laterale e quella di base eá 160a 2. Calcola il volume della iramide. ˆ 400a Š 75 Un cubo eá diviso in due arti da un iano assante er la diagonale di tre facce aventi un vertice in comune. Calcola l'area della suerficie totale ed il volume della iramide triangolare cosõá ottenuta in funzione dello sigolo ` del cubo. ˆ 1 `; S ˆ ` 2 Rette, iani e figure nello sazio 27

8 76 Tenendo resente che se in una iramide a base quadrata uno sigolo eá erendicolare al iano della base le sue facce sono triangoli rettangoli, calcola il volume della iramide saendo che il lato di base eá ` e che la sua suerficie totale eá 5 ` 2. ˆ 2 ` 77 L'angolo di semiaertura di un cono eá 0 ed il suo aotema eá lungo 12cm. Calcola la suerficie totale del cono e quella del cilindro in esso inscritto che ha volume ari a 4 di quello del cono. h 9 S t cono ˆ108cm 2 ; S t cilindro ˆ16 2 i cm 2 78 Il raorto fra l'area della suerficie totale e quella laterale di un cilindro eá e l'area di base eá 25cm2. Calcola il volume del cilindro. ˆ 00cm Š 79 L'area di base di un cono circolare retto eá 225cm 2 e l'altezza eá 20cm; calcola il volume e la suerficie totale del cono. S ˆ 600cm 2 ; ˆ 1500cm Š 80 Lo sviluo iano di un cono circolare retto eá un settore circolare di raggio r e amiezza 60. Trova il volume del cono. 5 ˆ 648 r 81 Un cono circolare retto ha la suerficie laterale che eá doia della suerficie di base e la sua altezza misura 6 cm. Doo aver dimostrato che il cono eá equilatero, calcola la sua suerficie totale ed il suo volume. S ˆ 108cm 2 ; ˆ 72 cm 82 L'altezza di un cono circolare retto eá doia del raggio r di una sfera ed i due solidi sono equivalenti. Calcola la misura del raggio di base del cono e quella della sua suerficie totale. h raggio ˆ r 2 ; S ˆ 2r 2 1 i 8 Un cilindro retto ha la suerficie laterale che eá di 108cm 2 e il raorto fra la sua altezza e il raggio di base eá 6. Un risma retto eá circoscritto al cilindro ed ha er base il triangolo equilatero circoscritto alla circonferenza di base del cilindro. Trova la misura del volume del risma svuotato del volume del cilindro. 162 cm ESERCIZI RIASSUNTII 84 La lunghezza del meridiano terrestre eá circa 40000km; trova l'area della suerficie ed il volume della Terra S ˆ m 2 5, m 2 ; ˆ m ˆ 1, m 2 85 La differenza fra i volumi di due sfere eá 64 cm ed il raorto fra i raggi eá. Calcola l'area della suerficie delle due sfere. 5 S 1 ˆ ; S ˆ Una iramide retta a base quadrata ha gli angoli diedri formati dalla base con le facce laterali che sono ami 60 e di essa si sa che il lato di base eá 24a. Determina a quale distanza dal vertice occorre condurre un iano arallelo alla base in modo che la suerficie laterale della iramide che si stacca sia uguale a quella che rimane. distanza del vertice dal iano ˆ 6a 6 87 In una iramide esagonale regolare la suerficie totale eá 162 a 2 e ogni faccia forma un angolo di 60 col iano di base. Calcola il volume della iramide. Un iano arallelo alla base e a distanza x dal ver- 28 Rette, iani e figure nello sazio

9 tice individua un esagono regolare di area 6 a 2. Calcola il volume del risma inscritto nella iramide che ha er basi il oligono sezione e la sua roiezione ortogonale sulla base della iramide. 162 a ;6 a 88 Lo sviluo iano della suerficie laterale di un cono circolare retto di vertice e avente raggio di base r daá origine ad un semicerchio; calcola la misura della suerficie totale del cono. Determina oi un unto P sull'altezza O del cono in modo che il cilindro di altezza PO e base coincidente con quella h del cono abbia suerficie totale uguale a quella del cono. S t cono ˆ r 2 ; PO ˆ r i 2 89 Un cono circolare retto ha la base coincidente con quella di una semisfera ed eá situato nel semisazio oosto a quello della semisfera; inoltre si sa che le generatrici del cono formano un angolo di 60 con il iano della base. Un iano assante er l'asse del cono determina una suerficie sezione di area 2 risetto ad una certa unitaá di misura u 2. Calcola il volume del solido e quello del cilindro 2 h ad esso circoscritto u ; 64 1 i u 90 Un cono circolare retto eá generato dalla rotazione comleta di un triangolo rettangolo di area 96cm 2 attorno ad un cateto; il volume del cono eá 1024cm. Calcola l'area della sua suerficie laterale. r ˆ 16cm; h ˆ 12cm; S` ˆ 20cm 2 Š 91 Sono dati una sfera di raggio r, il cilindro equilatero ed il cono equilatero in essa inscritti. erifica che il volume del cilindro eá medio roorzionale fra il volume del cono e quello della sfera. 92 Un cono di vertice eá inscritto in una semisfera di raggio r e la sua base coincide con quella della semisfera. Un iano arallelo alla base e osto a distanza x da interseca la sfera ed il cono individuando una corona circolare. Determina il valore di x in modo che il raorto fra l'area della corona circolare e quella del cerchio di base del cono sia uguale a r 4 9 Un oggetto ha la forma di un cubo di lato ` con un foro a forma di iramide avente la base coincidente con quella del cubo e vertice nel suo centro. Calcola il volume del solido e la sua suerficie totale. ˆ 5 `; S t ˆ 5 2 ` Un arallelogramma ABCD eá la base di un aralleleiedo retto; sia P il unto del lato AB tale che AP 2PB. Sia il iano assante er PC e erendicolare al iano del arallelogramma. Calcola il raorto fra i volumi dei due solidi in cui il aralleleiedo resta diviso da. (Suggerimento: assegna delle lunghezze arbitrarie allo sigolo AB, all'altezza del arallelogramma e all'altezza del risma) 5Š 95 EÁ dato un cono di raggio r ed altezza r ; inscrivi in esso un cilindro che abbia l'area della suerficie totale uguale a 2 volte l'area di base del cono. raggio del cilindro 1 2 r 96 Un cono ha l'altezza congruente al raggio di base di misura a. Determina la lunghezza del segmento di cui si deve diminuire l'altezza ed aumentare il raggio di base in modo che il cono ottenuto sia equivalente a quello dato; calcola oi le aree delle suerfici totali dei due solidi e stabilisci quale dei due ha area maggiore. 1 2 a 5 1 ; il secondo 97 In un traezio la base maggiore eá il doio di quella minore. Considera i due solidi che si ottengono facendo ruotare il traezio rima intorno alla base maggiore e oi intorno alla base minore. Calcola il raorto fra i volumi dei due solidi. 4 5 Rette, iani e figure nello sazio 29

10 Soluzioni esercizi di comrensione 4 a. sono lo stesso iano, b. si intersecano lungo la retta er quei due unti, c. hanno in comune i unti di una retta che assa er quel unto 10 a. arallele, b. erendicolare all'altra, c. t eá arallela a r e a s, d. riflessiva, simmetrica, transitiva, direzione 11 a., b., c. 27 a. erendicolari ad, b. aralleli ad, c. erendicolare alla seconda 9 a. un quadrato, b. un triangolo equilatero, c. al diametro 40 b., c. 41 a., b., c., d. 51 b. 52 a. hanno basi equivalenti; b. l'altezza del risma eá 1 dell'altezza della iramide; c. la base del cilindro eá 1 della base del cono 0 Rette, iani e figure nello sazio

11 Test inale 1 Barra vero o falso. a. Una retta non uoá avere solo due unti in comune con un iano. b. Per un unto P assa una e una sola retta erendicolare ad un iano assegnato. c. Per un unto P assa una e una sola retta arallela ad un iano assegnato. d. Due rette definiscono semre un iano. e. Due rette che si intersecano o che sono arallele definiscono semre un iano. f. Per un unto dello sazio esiste uno e un solo iano arallelo ad un iano dato 1,5 unti 2 Assegnato un unto A fisso e un angolo, il luogo dei unti P di un iano tali che PA formi un angolo di amiezza con eá: a. una retta b. una circonferenza c. il contorno di un quadrato d. il luogo non esiste. Scegli la risosta corretta. 0,5 unti Determina il valore di veritaá delle seguenti roosizioni. a. Se due diedri hanno sezioni congruenti allora sono congruenti. b. Due iani che si intersecano definiscono quattro diedri congruenti a due a due. c. Due diedri oosti allo sigolo hanno la stessa sezione normale. d. Un triedro eá un angoloide che ha tre facce congruenti. e. Un triedro non uoá avere tre facce congruenti. f. La sezione di un angoloide con un iano non assante er il suo vertice eá semre un oligono. 1,5 unti 4 Un risma eá retto se: a. due facce laterali consecutive formano diedri retti b. l'altezza eá erendicolare ai iani di base c. le sue facce laterali formano diedri retti con i iani di base. Scegli la risosta corretta. 0,5 unti 5 In una iramide: a. l'aotema eá l'altezza delle facce laterali ed esiste solo se le facce sono triangoli congruenti b. l'aotema eá l'altezza delle facce laterali ed esiste solo se il oligono di base eá inscrittibile in una circonferenza c. l'aotema eá l'altezza delle facce laterali ed esiste solo se il oligono di base eá circoscrittibile ad una circonferenza d. un iano arallelo alla base individua un oligono simile a quello di base. 1 unto 6 Barra vero o falso. a. Un cilindro eá equilatero se l'altezza eá uguale al diametro di base b. Un cilindro eá equilatero se l'altezza eá uguale al raggio di base. c. Un cono retto eá originato dalla rotazione di un triangolo rettangolo attorno all'iotenusa. d. In un cono retto l'altezza cade nel centro della circonferenza di base. e. In una sfera il cerchio massimo assa er il suo centro. f. Una sfera viene divisa da un iano che la interseca in due semisfere. 1,5 unti Rette, iani e figure nello sazio 1

12 7 E' dato un aralleleiedo rettangolo a base quadrata di lato ` e di altezza h; un iano arallelo alle basi lo divide in due aralleleiedi di volume uno doio risetto all'altro; si uoá dire che: a. l'area del oligono sezione misura: `2 1 2 `2 2`2 b. il raorto fra le altezze dei due aralleleiedi eá: 4 2 c. il raorto fra le due suerfici laterali eá: 4 2 1,5 unti 8 Un cono e un cilindro hanno lo stesso volume e la stessa altezza; il raorto fra i loro raggi di base eá: a. 2 b. 2 c. d. 1 unto 9 Le aree A e A 0 delle suerfici di due tetraedri regolari sono tali che A A 0 ˆ 4; il raorto fra i loro volumi: a. non si uoá calcolare b. eá 16 c. eá 4 d. eá 8 1 unto S oluzioni 1 a., b., c., d., e., f. 2 b. a., b., c., d., e., f. 4 c. 5 a., b., c., d. 6 a., b., c., d., e., f. 7 a., b., c. 8 c. 9 d. Esercizio Punteggio alutazione in decimi 2 Rette, iani e figure nello sazio