7. Travi appoggiate: metodo generale

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1 7. Travi aoggiate: metodo generae Se si riesce a trasformare a trave aoggiata in una mensoa, e sue deformazioni si ossono cacoare con gi stessi criteri de aragrafo recedente. Deve trattarsi naturamente di una mensoa equivaente, che si deforma esattamente come a trave aoggiata originaria. Si vogiano determinare er esemio e rotazioni massime (sugi aoggi) e a freccia massima (in mezzeria) dea trave aoggiata soggetta a carico uniformemente distribuito. Per simmetria, sono uguai e reazioni sugi a oggi. Si ha: UNITÀ 1 Y Y Rotazioni sugi aoggi ( FIGUR 1) ncora er simmetria, e rotazioni sugi aoggi sono di uguae vaore e di segno oosto. Per trasformare a trave aoggiata nea mensoa equivaente (cui aicare i metodo cinematico) bisogna comiere i due assaggi seguenti. ϕ ϕ ϕ a) (1) δ 0 Y b) () ϕ Y c) FIGUR 1 Trave aoggiata: rotazioni degi aoggi. Coyright 01 Zanichei editore S..., oogna [599] Questo fie è una estensione onine de corso Zavanea, Leti, Veggetti, Progettazione, costruzioni e imianti 1

2 7 TRVI PPOGGITE: ETODO GENERLE 1) Si sorime aoggio sostituendoo con a reazione Y. ) Si sostituisce aoggio con un incastro in cui sia già avvenuta a stessa rotazione { (tuttora incognita) consentita da originario vincoo a cerniera. Così facendo a trave originaria è stata trasformata in una mensoa; questa mensoa è de tutto equivaente se subisce, sotto o stesso carico, e stesse deformazioni dea trave originaria. Poiché si è intervenuti nee sezioni di vincoo, è in queste sezioni che devono avvenire soo movimenti comatibii (o congruenti) con i vincoi origi nari. Nea sezione si hanno deformazioni identiche a a trave originaria (sostamento nuo e rotazione ari a { ). La sezione, invece, è ibera non soo di ruotare (i che era consentito anche nea trave originaria) ma anche di subire o sostamento d che nea trave originaria era imedito. Occorre dunque riristinare a comatibiità (o coerenza o congruenza) de movimento nea sezione imonendo che sia: d 0 (1) Equazioni come a (1), che imongono che e de for mazioni eastiche dea trave equivaente siano congruenti (com atibii, coerenti) con quee dea trave originaria sono chiamate equazioni di easticità o equazioni di congruenza. Per esicitare equazione di congruenza basta aicare a comosizione cinematica dei movimenti. Si ha: d d (Y ) + d () + d ({ ) 0 Gi sostamenti eastici d (Y ) e d () si cacoano con aiuto dea tabea CS1, ricordando che Y / e facendo attenzione ai segni. Lo sostamento d ({ ) dovuto aa rotazione rigida (tuttora incognita) { vae invece { $. Sostituendo, si ottiene: da cui segue: d { $ 0 8EI { EI I segno ositivo assicura che i senso iotizzato (antiorario) è corretto. La rotazione su aoggio risuta, er simmetria, di uguae vaore, ma di senso oosto. Si uò quindi scrivere: C δ C C V C ϕ D / FIGUR Trave aoggiata: freccia in mezzeria. { - { EI Freccia in mezzeria ( FIGUR ) Nea mensoa equivaente si considera eastica sotanto a semitrave C, soggetta in C ae soecitazioni che equivagono a azione dea arte C rimasta rigida. Cacoando con e forze che recedono, si ottengono i vaori (già noti): C V C $ + $ - $ + 8 Coyright 01 Zanichei editore S..., oogna [599] Questo fie è una estensione onine de corso Zavanea, Leti, Veggetti, Progettazione, costruzioni e imianti

3 7 TRVI PPOGGITE: ETODO GENERLE La freccia d C si determina con i metodo cinematico: d C d C ( C ) + d C () + d C ({ ) I rimi due termini si cacoano con aiuto dea tabea CS1; i terzo termine è dato da { ( / ), dove { è ormai noto. Si ha: 1 d C( C) - $ f $ - 8 EI 6EI 1 d C( ) + $ f $ 8EI 18EI d C( { ) { $ $ EI 8EI Doo acune semificazioni si ottiene: Esemi 5 d C $ 8 EI 1 Coia concentrata su uno dei due aoggi ( FIGUR ). FIGUR Trave aoggiata: coia concentrata su uno dei due aoggi. ϕ ϕ 1 ϕ ϕ S a) δ 0 δ 0 Y Y b) ϕ ϕ Y Y Coyright 01 Zanichei editore S..., oogna [599] Questo fie è una estensione onine de corso Zavanea, Leti, Veggetti, Progettazione, costruzioni e imianti

4 7 TRVI PPOGGITE: ETODO GENERLE Poiché a trave non è simmetrica, occorre cacoare entrambe e rotazioni. I ercorso 1 orta a cacoo di {. a) L aoggio è sostituito daa sua reazione (Y / rivota verso ato). b) L aoggio è sostituito da que articoare incastro in cui è già avvenuta a rotazione rigida {. Nea sezione occorre riristinare a congruenza dei movimenti imonendo d 0, ossia: Sostituendo si ha: d () + d (Y ) + d ({ ) $ - { $ 0 EI EI La soa incognita è a rotazione cercata {. Risuta: { destrogira I ercorso orta a cacoo di {. a) L aoggio è sostituito daa sua reazione (Y / rivota verso i basso). b) L aoggio è sostituito da que articoare incastro in cui è già avvenuta a rotazione rigida {. L equazione di congruenza dea sezione è: d 0 Poiché i momento (aicato su una sezione incastrata) non rovoca acuna deformazione, si ha: e, sostituendo: + d (Y ) + d ({ ) 0 $ - { $ 0 EI La soa incognita è a rotazione cercata {. Risuta: { EI sinistrogira La rotazione de aoggio su cui è aicata a coia è i doio dea rotazione de atro aoggio. Coia concentrata su ciascuno dei due aoggi ( FIGUR ). Si uò aicare i PSE ai risutati de aicazione recedente. Doo acuni assaggi si ottiene: { { ( + ) ( + ) sinistrogira destrogira Coyright 01 Zanichei editore S..., oogna [599] Questo fie è una estensione onine de corso Zavanea, Leti, Veggetti, Progettazione, costruzioni e imianti

5 7 TRVI PPOGGITE: ETODO GENERLE ϕ ϕ ϕ ϕ FIGUR Trave aoggiata: coia concentrata su ciascuno dei due aoggi. FIGUR 5 Trave aoggiata: coie simmetriche sui due aoggi. Se i momenti aicati hanno a stessa intensità ( FIGUR 5), basta sostituire nea formua recedente i vaore er ottenere: -{ { EI tri casi notevoi di travi aoggiate sono riortati nea tabea CS1 de Prontuario. Tutti i risutati ossono essere ritrovati seguendo i rocedimento iustrato nee recedenti aicazioni. Coyright 01 Zanichei editore S..., oogna [599] Questo fie è una estensione onine de corso Zavanea, Leti, Veggetti, Progettazione, costruzioni e imianti 5