1.0 I SISTEMI IPERSTATICI

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2 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni. I SISTEMI IPERSTTICI E stato più vote ripetuto che o scopo precipuo dea Scienza dee Costruzioni è queo di poter stabiire se un manufatto, da noi progettato in tutte e sue componenti materiche, tecnoogiche e funzionai, sarà in grado di mantenersi stabie e, ne contempo, capace di resistere, senza rompersi, ae innumerevoi azioni che o soeciteranno ne tempo. I processo che porta a stabiire i grado di sicurezza di una struttura è queo che va sotto i nome di anaisi strutturae e consiste di varie fasi: ) Determinazione dee condizioni di vincoo: isostaticità e iperstaticità garantiscono a sistema, considerato come rigido ed infinitamente resistente, di mantenersi sempre in condizioni di stabiità. L ipostaticità, invece, richiede che siano verificate, a monte, certe particoari condizioni che coinvogono e azioni meccaniche che agiscono, e che agiranno, sua struttura (equazioni di equiibrio). ) Determinazione dee reazioni dei vincoi esterni. 3) Determinazione dee reazioni dei vincoi interni sottoforma di caratteristiche dea soecitazione (funzioni N(x), T(x), M(x)). 4) Individuazione dee sezioni critiche attraverso osservazione dei diagrammi dee caratteristiche dea soecitazione 5) Individuazione dea reazione distribuita de vincoo di continuità nee sezioni critiche tramite i metodi dea Teoria dea trave. 6) Individuazione dei punti critici -nee sezioni critiche- tramite osservazione dea egge di variazione dee tensioni e 7) Individuazione, nei punti critici, dee massime tensioni (tensioni principai) in base aa giacitura de piano di sezione. 8) Sceta de criterio di resistenza e verifiche. Sappiamo già che, se i sistema è isostatico o abie ma staticamente determinato- è possibie portare a termine intera anaisi strutturae adoperando come unico strumento e equazioni dea statica dei corpi rigidi (equazioni di equiibrio). Essendo i materiai ed i sistemi strutturai di uso comune scarsamente deformabii, è possibie trascurarne a deformazione e scrivere e equazioni di equiibrio nea configurazione iniziae indeformata, ottenendo così un sistema di equazioni ineari e determinato. Se i vincoi, invece, sono sovrabbondanti, i medesimo sistema risuterà indeterminato, cioè esisteranno infiniti possibii vaori dee reazioni dei vincoi esterni che saranno in grado di mantenere i corpo in equiibrio. Poiché non avrebbe senso acuno prendere come base de anaisi una souzione equiibrata quasiasi, sarà necessario inventarsi quache criterio in grado di consentirci di seezionare tra e infinite possibii souzioni quea che maggiormente si avvicina aa reatà. Per fare ciò, come vedremo, occorrerà affiancare ae equazioni di equiibrio atri due tipi di equazioni: e equazioni di compatibiità, o congruenza, e e equazioni costitutive. Le equazioni di compatibiità scaturiranno dae particoari costrizioni che i vincoi impongono a moto de sistema, mentre, quee costitutive metteranno in gioco, anche se di entità moto modesta, a deformabiità dei corpi e e eggi di causa ed effetto che egano e azioni meccaniche ae deformazioni.

3 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni 3 Le equazioni di equiibrio e sappiamo scrivere, quee di congruenza non costituiranno un grave probema, quee costitutive dobbiamo debitamente approfondire.. Le equazioni costitutive Per e particoari sempificazioni effettuate, i più importante e più sempice- comportamento costitutivo rievato è stato queo eastico ineare. E stato ipotizzato che i più comuni materiai da costruzione (ameno entro certi imiti di sforzo) seguano a egge di Hooke, cioè non soo essi hanno un comportamento eastico -tae che a cessare dee cause meccaniche cessa anche a deformazione- ma i egame tra causa ed effetto è di tipo proporzionae: a raddoppiarsi dea causa si raddoppia effetto e cosi via. Ne corso degi sviuppi dea Teoria dea trave si sono incontrate, occasionamente, varie equazioni costitutive de tipo N; M; Mt (.) E EJ GJ p in cui i egame eastico ineare, tra e varie caratteristiche dea soecitazione e e corrispondenti deformazioni dea trave, era espresso tramite dee costanti di proporzionaità a cui è stato dato i nome, rispettivamente, di cedibiità estensionae, cedibiità fessionae e cedibiità torsionae. Tai costanti sono funzione sia dee caratteristiche geometriche dea trave, che dee caratteristiche fisiche de materiae. Le costanti inverse che compaiono nee espressioni E EJ GJ N ; M ; Mt p (.) prendono, invece, i nome di rigidezze. Neo studio dea teoria sempificata di Jourawski si è pervenuti a espressione che ega a soecitazione T ae tensioni in modo diretto, attraverso a scrittura di una sempice equazione di equiibrio: nessuna equazione costitutiva è scaturita da tae studio. Se si vuoe comare, a posteriori, tae acuna, basta osservare che, sostituendo a formua di Jourawski, nea egge di Hooke che ega o scorrimento aa tensione, si ottiene TS G GJ b (3.) dove viene evidenziato che gi scorrimenti che subiscono e infinite fibre orizzontai dea trave rispetto a quee verticai non sono costanti, ma variano con a medesima egge dee tensioni: sono nue ai bordi e crescono paraboicamente fino a raggiungere i massimo vaore in corrispondenza dee fibre baricentriche. E comunque possibie, per sempificare e varie operazioni, ipotizzare un cosiddetto scorrimento medio m (Fig..), che produce degi effetti gobai equivaenti agi scorrimenti effettivi: tae

4 4 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni scorrimento, per una trave di unghezza unitaria sottoposta a tagio costante T, si dimostra, può essere espresso come T m (4.) G dove i termine, fattore di tagio, è un numero che dipende daa forma dea sezione trasversae dea trave. causa deo scorrimento medio a sezione terminae di una trave unga, sottoposta a tagio costante T, subirà una Fig.. trasazione verticae che può esprimersi come tan m ; poiché angoo di scorrimento è infinitesimo, a sua tangente trigonometrica si può confondere con i vaore de angoo in radianti, pertanto m T (5.) G G I termine è a così detta cedibiità a tagio ( è, invece, a rigidezza). G Fig.. Si consideri, adesso, a struttura di Fig.., essa sotto azione dei carichi concentrati P ed F, de carico distribuito q e dea coppia K, si deforma: ciascuna sezione, abbandonata a posizione iniziae, si porta in una nuova configurazione dopo aver subito due trasazioni ed una rotazione (in un sistema non piano i moto dea sezione sarebbe definito da tre trasazioni e tre rotazioni). Se i comportamento de materiae segue a egge di Hooke, ciascuno dei tre moti dea sezione generica s può esprimersi come proporzionae ae cause meccaniche ux fp fq f3k f4f uy fp fq f3k f4f f P f q f K f F (6.) Le costanti f ij (cedibiità) sono dei termini incogniti che dipendono dae caratteristiche fisico-geometriche dea struttura e ciascuna di esse rappresenta i vaore deo spostamento corrispondente per effetto dee cause meccaniche, prese a turno, una uguae ad uno e e atre zero. Si ha ad es., per a sezione rettangoare;,75 per i cerchio; un vaore compreso tra e 3 per sezioni a doppio T In una reazione di sempice proporzionaità, y=ax, a costante di proporzionaità a rappresenta i vaore assunto daa variabie dipendente x quando quea indipendente, y, ha vaore unitario.

5 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni 5 Così, ad es., f è i vaore deo spostamento secondo x dea sezione generica causato daa forza P= e dae atre azioni nue; f 3 è i vaore dea rotazione dea sezione generica causata da carico q= e dae atre azioni nue, etc. In forma matriciae P u x f f f3 f4 q u y f f f3 f 4 ; u f Q K f3 f3 f33 f 34 F (7.) Se si vogiono espicitare e varie equazioni costitutive è necessario imparare a cacoare numericamente e varie cedibiità. La matrice f, che compare ne equazione costitutiva generaizzata (7.), prende i nome di matrice di cedibiità... Metodi per a scrittura dee equazioni costitutive La Scienza dee Costruzioni ha messo a punto, ne corso de tempo, varie metodoogie che consentono di espicitare e equazioni costitutive, e più note sono Equazione differenziae dea inea eastica naogia de Mohr Teoria de eisse terminae di easticità Teorema dea forza unitaria Mentre i primo metodo è un metodo gobae, ne senso che si prefigge di cacoare in un so copo tutte e grandezze cinematiche che definiscono a deformazione di una struttura (esse sono, ne piano, 3 ), gi atri sono dei metodi parziai. Questi utimi si accontentano di cacoare una grandezza cinematica per vota u x, u y oppure. L unica metodoogia che verrà trattata ne seguito sarà i Teorema dea forza unitaria: si perviene aa souzione de probema tramite uso de principio dei avori virtuai in forma mista, che afferma a nuità de avoro compiuto da forze che siano equiibrate a causa di spostamenti congruenti.

6 6 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni.. I teorema dea forza unitaria Sia data a trave isostatica di Fig. 3.a, e si vogia cacoare, ad es., di quanto si sposta verticamente estremo ibero a causa dea deformazione prodotta da un carico uniforme q. Chiamiamo con u y o spostamento incognito e ridisegniamo a struttura data sottoponendoa sotanto ad una forza verticae unitaria appicata in (Fig 3.b). Quea di Fig. 3.a è a struttura reae, quea di Fig. 3.b rappresenta a così detta struttura ausiiaria. Sua struttura ausiiaria stiamo appicando una forza fittizia unitaria ne punto in cui si vuoe cacoare o spostamento e nea medesima direzione deo spostamento stesso. I verso è arbitrario. I teorema dea forza unitaria asserisce che: Fig. 3. se si cacoa i avoro che compiono e forze, esterne ed interne, che agiscono sua struttura ausiiaria b), per effetto degi spostamenti e dee deformazioni che si manifestano nea struttura reae a), si ottiene a grandezza cinematica cercata. Poiché deo schema b) si prendono in considerazione sotanto e forze, mentre deo schema reae a) si prendono in considerazione gi spostamenti che nascono in seguito aa deformazione, i due schemi possono, rispettivamente, anche assumere i nome di schema dee forze e schema dee deformazioni. Proveremo adesso a dimostrare i teorema effettuando materiamente i cacoo di questo strano avoro, ottenuto prendendo e forze e e deformazioni su due strutture identiche da punto di vista fisico-geometrico e dei vincoi, ma sottoposte ad azioni diverse. Si cominci con esaminare o schema ausiiario b) e a metterne in evidenza e forze. Le azioni meccaniche che agiscono su un corpo sono sempre riconducibii a due tipi: forze Fig. 4. esterne e forze interne: e forze esterne sono, per definizione, i carichi noti che gravano sua struttura e e reazioni dei vincoi esterni, mentre e forze interne sono date dae reazioni dei vincoi interni: dae infinite caratteristiche dea soecitazione. Quaunque siano e forze e e coppie appicate contemporaneamente in un punto, esse, per i principio di riducibiità, possono sempre essere ridotte ad una forza comunque incinata ed a una coppia. E sempre ecito, dunque, raccogiere tutte e azioni che agiscono in un punto in una matrice coonna (vettore) i cui eementi, ne piano, sono e due

7 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni 7 componenti dea forza e a coppia stessa. Così, con riferimento aa Fig. 4., possiamo definire i vettori dee forze esterne F ed R ed i vettore dee forze interne Q x agenti sua struttura ausiiaria. H N (x) F ; R V ; Qx T ( x ) ; M M(x) (7.) Poiché i vincoi interni sono infiniti, atrettanti saranno i vettoriq x desso occorre esaminare o schema a) e mettere in evidenza e grandezze cinematiche che fanno compiere avoro ae grandezze meccaniche (7.). I vettori degi spostamenti da associare ae forze esterne F ed R sono u x x u u y ; y ; (8.) u contiene i tre moti dea sezione terminae, mentre, contiene i tre moti dea sezione vincoata. Se i vincoo è un incastro rigido ed infinitamente resistente, i vettore sarà senz atro nuo, atrimenti esso potrebbe contenere dei vaori diversi da zero. I vettore prende i nome di vettore dei cedimenti dei vincoi esterni. Una particoare attenzione merita i vettore dee grandezze cinematiche che fanno compiere avoro ae reazioni de vincoo interno di Fig. 5. continuità. In Fig. 5.a è mostrata una sfera su cui agiscono due forze F direttamente opposte: i sistema, quindi, è in equiibrio. Se i corpo subisce un moto rigido u quaunque, a componente deo spostamento nea direzione di entrambe forze è, ovviamente, a stessa e vae ucos. I avoro totae è nuo in quanto o spostamento ucos fa compiere ae due forze un avoro uguae e di segno contrario L = F ucosf ucos questo concetto può essere facimente generaizzato:

8 8 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni se e forze agenti su un corpo sono in equiibrio, i avoro che esse compiono a causa di un moto rigido quaunque sarà sempre nuo. Se i corpo, invece, è deformabie, nascono dei moti reativi che fanno compiere avoro diverso da zero. Come si vede in Fig. 5.b, a deformazione dea sfera fa avvicinare i due punti di appicazione dee forze F, ciascuna di esse compie un avoro positivo pari a prodotto F s e quindi i avoro totae non è più nuo ma vae L= Fs Fig. 6. dove s è proprio o spostamento reativo subito dai due punti di appicazione dee forze. Lo spostamento reativo tra due punti può sempre essere visto come o spostamento che subisce uno dei due quando atro rimane boccato (Fig. 6.). In Fig. 7. è mostrato, neo schema ausiiario b), un generico vincoo di continuità s, sottoforma di una peicoa coante di spessore infinitesimo dx, con i suoi due gruppi di reazioni generaizzate N(x), T(x) ed M(x), uguai e contrarie per equiibrio. Fig. 7. Le caratteristiche dea soecitazione, essendo un sistema di forze e momenti auto equiibrati, possono compiere avoro sotanto a causa dea deformazione de corrispondente vincoo interno preso neo schema reae a), ovvero a causa dei moti reativi tra e sezioni s ed s. Considerando boccata a sezione s, gi spostamenti che fanno compiere avoro ad N(x), T(x) ed M(x) sono quei dea soa sezione s

9 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni 9 x y (9.) desso è possibie cacoare i avoro compiuto dae forze, esterne ed interne, agenti sua struttura ausiiaria b) a causa degi spostamenti e dee deformazioni che nascono nea struttura reae a) L Le Li F u R Q x (.) I avoro dee forze interne è a somma dei avori compiuti dae caratteristiche dea soecitazione Q x agenti in tutti gi infiniti vincoi interni s: esso, pertanto, è espresso da un integrae (sommatoria di infiniti termini). I avoro interno, inotre, è sempre negativo in quanto e reazioni interne sono sempre opposte a verso de movimento indotto dai carichi. In Fig. 8. si vede come una forza esterna F appicata su una moa a fa deformare neo stesso verso, generando un avoro positivo; a reazione interna dea moa, che è opposta ad F, a causa di u compie, invece, un avoro negativo. questo punto facciamo dee uteriori considerazioni: e forze esterne ed interne F, R e Qxsono sicuramente equiibrate tra oro in quanto sono forze che agiscono Fig. 8. su una struttura isostatica, quindi necessariamente in stato di quiete 3. Gi spostamenti u, e e deformazioni sono sicuramente congruenti (non vioano e costrizioni imposte dai vincoi) in quanto esse sono dee grandezze cinematiche reai. Da principio dei avori virtuai in forma mista sappiamo che i avoro compiuto da forze equiibrate per effetto di spostamenti congruenti deve sempre essere nuo, pertanto si può scrivere Le Li Eseguendo i primo prodotto matriciae Le Li F u R Qx s F u si ottiene uy R Q x (.) s L equazione. fornisce, a condizione di riuscire ad espicitarne tutti i termini, o strumento per determinare i vaore deo spostamento u y che si voeva cacoare. s 3 Si escude sempre, per assunto, eventuaità di un moto rettiineo uniforme de sistema.

10 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni In condizioni standard in cui i vincoi esterni sono rigidi, o ipotizzati tai, i termine R è sempre nuo, per cui occorre espicitare sotanto i avoro interno y s u Q x (.)..3 Deformazione de tronco infinitesimo di trave Per espicitare i avoro interno a secondo membro dea (.) occorre cacoare numericamente i vettore, ovvero i vettore che contiene e tre componenti di deformazione de generico vincoo interno di continuità rappresentato sottoforma di fettina di trave di spessore infinitesimo dx. In Fig.9. sono evidenziate, separatamente, a trasazione orizzontae reativa dee due fac- Fig. 9. ce di estremità (o aungamento) x, a trasazione verticae reativa y e a rotazione reativa. Quai sono e cause che possono produrre tai deformazioni? Ovviamente un corpo si deforma se su di esso si appicano dee azioni meccaniche: quai forze o momenti; ma può anche deformarsi per effetto di variazioni di temperatura. E noto, infatti, che un corpo quaunque se riscadato si espande e, se raffreddato, si contrae. Mantenendo separate e due cause, si può scrivere (3.) m t..4 Deformazione per azioni meccaniche In conseguenza di azioni meccaniche appicate su una struttura, nascono dee reazioni in corrispondenza dei vincoi interni e quindi dee deformazioni degi stessi. In Fig.. viene rappresentato un vincoo interno generico (strato di coante) su cui sono appicate, singoarmente, e tre caratteristiche dea soecitazione. Poiché si vogiono vautare i moti reativi tra e due facce, una estremità viene ipotizzata incastrata e atra ibera Le tre deformazioni rappresentate non Fig.. sono atro che aungamento dovuto ao sforzo normae, a trasazione conseguente ao scorrimento medio indotto da tagio e a rotazione provocata da momento fettente. Ricordando e (.) e a (5.), possiamo quindi scrivere

11 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni dx dx dx xm Nx ; ym Tx ; m Mx ; (4.) E G EJ In effetti i tagio tenderebbe pure a produrre una rotazione dea faccia terminae ed i momento una trasazione verticae, ma queste deformazioni, essendo a unghezza de vincoo infinitesima, sono dee entità assoutamente trascurabii. Le 4., in forma matriciae, possono scriversi E xm Nx ym T x dx; m Q dx G (5.) M x m EJ Q è i vettore dee caratteristiche dea soecitazione nea sezione generica dea struttura reae, è a matrice di cedibiità de tronco unitario di trave (a unghezza dx è stata messa a fattore comune)...5 Deformazione per azioni termiche Sappiamo daa Fisica che un corpo fiiforme, a forma di stringa, se sottoposto ad un sato di temperatura positivo t si aunga e se sottoposto a un sato di temperatura negativo si accorcia. I vaore dea variazione di unghezza, o eongazione, è proporzionae a sato termico t ed aa unghezza dea stringa e si esprime t (6.) La costante di proporzionaità prende i nome di coefficiente di diatazione termica ed è un vaore tabeato che dipende dae caratteristiche fisiche de materiae che compone a stringa. Si consideri i vincoo interno (strato infinitesimo di coante) come formato da un fascio di fibre ongitudinai sottiissime, ciascuna dee quai può essere sottoposta ad un sato termico t diverso. Ipotizziamo che e fibre superiori (s) siano sottoposte ad un sato termico minore di queo cui sono sottoposte Fig.. quee inferiori (i) e che a variazione per e fibre intermedie sia, ad es., ineare (Fig..). Le varie fibre si aungano in base aa 6., i tronco si deforma e, in particoare, a sezione terminae trasa orizzontamente di xt e ruota di t. Se per xt intendiamo aungamento medio, osservando a figura, possiamo scrivere dx ti dx ts ti ts xt dx dx ti dx ts ti ts t dx H H (7.)

12 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni t Dove H è atezza dea sezione trasversae dea trave. La rotazione t si cacoa effettuando a differenza ti ts e non i contrario, per accordare a convenzione a quea de momento fettente. In effetti a seconda dee (7.) rappresenta a tangente trigonometrica de angoo, però, essendo a rotazione infinitesima, detta tangente si può confondere con i vaore de angoo espresso in radianti. In utima anaisi, i vettore dee deformazioni de tronco infinitesimo di trave sottoposto ad un sato termico ineare si può esprimere in forma matriciae t ti t ti t H s s dx; t dx (8.) I vettore è i vettore dee deformazioni unitarie (a unghezza dx è a fattore comune) ed i suoi eementi rappresentano, quindi, a diatazione unitaria, o scorrimento medio m e a curvatura k generate daa variazione termica...6 Equazione costitutiva generaizzata Sostituendo a 5. e a 8. nea. si ottiene espressione generaizzata de equazione costitutiva che ega e forze appicate su una generica struttura, gi eventuai cedimenti dei vincoi esterni e e variazioni termiche, ae componenti di spostamento di una sezione quaunque ij s u R Q x Q x dx Q x dx (.) s

13 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni 3..7 goritmo per a scrittura dee equazioni costitutive I teorema dea forza unitaria è appicabie con profitto soo ae strutture isostatiche o a quee abii purché entrambi gi schemi, dee forze e dee deformazioni, risutino staticamente determinati. Ciò si deduce da fatto che per esprimere i avoro interno prodotto dai carichi meccanici bisogna prima cacoare e reazioni interne sia neo schema reae che in queo ausiiario, e ciò è possibie, in prima istanza, soo per i sistemi isostatici o staticamente determinati 4. Esempio Fig.. i suffisso (x) da tutte e funzioni Si proceda con i cacoo effettivo deo spostamento u y dea struttura a mensoa di Fig. 3.. Neo schema ausiiario riempiamo i vettore Q x cacoando e tre funzioni N(x), T(x) ed M(x) nea sezione generica (Fig..). Da adesso in poi, per sempificare i formaismo, eimineremo 4 Per poter appicare i teorema dea forza unitaria ad una struttura iperstatica occorre prima risovere, con e modaità che verranno iustrate ne seguito, due sistemi iperstatici: queo reae e queo ausiiario.

14 4 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni N Q T x M x Neo schema reae non sono presenti nè cedimenti dei vincoi esterni né variazioni termiche per cui i vettori e sono nui e quindi non esistono i termini corrispondenti. Si cominci a riempire i vettore Q cacoando e tre funzioni N, T, M nea generica sezione di ascissa x (Fig. 3.) Fig. 3. L equazione costitutiva generaizzata è N Q T qx x M qx u Q Qdx y Espicitando i vari termini E N uy N T M T dx G s M EJ Eseguendo i prodotto s dx dx dx uy NN TT MM E G EJ s s s I secondo membro, si ricorda, è i avoro compiuto dae forze interne agenti neo schema ausiiario a causa dee deformazioni indotte neo schema reae dai soi carichi meccanici. Tae avoro è dato daa somma di tre termini egati ao sforzo normae, a tagio ed a momento fettente. Nee strutture monodimensionai i contributo de tagio è una quantità moto modesta per cui può sempre essere trascurato. Se i avoro prodotto da momento fettente è diverso da zero, può anche essere trascurato i termine deo sforzo normae. Tenendo in conto i soo avoro de momento fettente si ottiene

15 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni qx dx qx dx qx uy x q EJ EJ 8EJ 8EJ (.) La. è equazione costitutiva che stabiisce a proporzionaità tra i carico q e o spostamento u y. La quantità entro parentesi è a costante di proporzionaità (cedibiità). Cosa significa che i vaore deo spostamento è negativo? I segno fornisce informazioni su verso deo spostamento. Se o spostamento è positivo i suo verso è concorde con queo dea forza unitaria, atrimenti significa che esso è contrario. Ne nostro caso veniamo informati che i carico q provoca, come è ovvio, uno spostamento u y verso i basso. Esempio Si vogia adesso cacoare, per a medesima struttura, quanto vae, in radianti, a rotazione dea sezione terminae. Per far ciò dobbiamo disegnare una nuova struttura ausiiaria in cui in è appicata una coppia unitaria e riempire di nuovo i vettore Q Fig. 4. N Q T x M Tenendo in conto i soo momento fettente si ha 3 3 dx qx dx qx q MM 6 6 s EJ EJ EJ EJ (.) Poiché i vaore dea grandezza cinematica è venuto negativo, ciò significa che i suo verso è discorde da queo dea coppia unitaria che abbiamo appicato su sistema ausiiario. Ne caso de esempio, a. mi dice che a rotazione dea sezione terminae 3 q dea trave, a causa de carico q, vae ed è una rotazione oraria. 6EJ Esempio 3 Per a medesima trave a sbazo cacoare a trasazione verticae de punto di mezzo C. La struttura ausiiaria, questa vota, deve essere sottoposta a azione di una forza verticae unitaria appicata in mezzeria (Fig. 5.),

16 6 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni Fig. 5. In questo caso a particoarità consiste ne fatto che per descrivere a egge di variazione dee caratteristiche dea soecitazione occorre un soo gruppo di funzioni per o schema reae, mentre ne occorrono due per queo ausiiario. I numero di tratti di variabiità e quindi di sezioni generiche deve essere sempre o stesso per e due strutture e per ciascun tratto origine degi assi deve essere a medesima. Così si suddividano entrambe e strutture nei due tratti C e C. L equazione costitutiva si trasforma nea seguente o o u Q Q dx Q Q dx (.) yc C C C C C C L integrae generae si spezza, quindi, in tanti integrai quanti sono i tratti di variabiità dee caratteristiche dea soecitazione. Con riferimento aa Fig. 5. riempiamo i vettori Q e Q q x x C C x q x x Q Q x x qx C C qx Sostituendo nea. e tenendo in conto i avoro de soo momento fettente si ottiene / q dx uyc x x EJ o

17 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni 7 sviuppando u yc / 3 q qx qx dx x 8 EJ o Integrando u yc q x qx qx q q q 7q EJ EJ 8EJ 48EJ 384EJ Esempio 4 Data a struttura isostatica di Fig.6.a, cacoare di quanto trasa orizzontamente i punto. ppichiamo i Teorema dea forza unitaria ed associamo aa struttura data o schema ausiiario di Fig. 6.b. In essa, ne punto, è appicata una forza orizzontae unitaria. Esprimiamo adesso i avoro che compiono e forze esterne ed interne agenti neo schema ausiiario per effetto degi spostamenti e dee deformazioni che nascono nea struttura reae. Poiché e forze sono equiibrate e gi spostamenti e e deformazioni sono compatibii, ne consegue, per Fig. 6. i P.LL.VV, che i avoro deve essere nuo, per cui possiamo scrivere L=L e -L i =, ovvero L e =L i Espicitando entrambi i termini si perviene a equazione costitutiva generaizzata u R QQdx Qdx (3.) x s s Dove u x è o spostamento incognito da cacoare, è a matrice di cedibiità de tronco unitario di trave, R e Q sono rispettivamente e reazioni dei vincoi esterni ed interni nea struttura ausiiaria, mentre Q, e sono rispettivamente e reazioni dei vincoi interni, i cedimenti dei vincoi esterni e e deformazioni termiche unitarie nea struttura reae. Poiché i vincoi esterni sono rigidi, i vettore dei cedimenti è nuo, per cui a 3. si sempifica nea u QQdx Q dx (4.) x s s

18 8 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni Cominciamo con i cacoare i vettore Q: per fare ciò dobbiamo prima trovare e reazioni esterne neo schema ausiiario. Sostituiamo i vincoi con e rispettive reazioni incognite e scriviamo tante equazioni di equiibrio quanti sono i gradi di ibertà dea struttura svincoata (Fig. 7.) H V V h V da cui H V V h (5.) h Fig. 7. Q Trovate e reazioni, passiamo adesso a cacoo de vettore Q che contiene e funzioni N, T ed M nei tratti D, DC e C h H V h x V x V h (h x) V (h x) h x x D x DC x h C x h Passiamo a cacoare i vettore Q : per fare ciò, ancora una vota, dobbiamo prima trovare e reazioni esterne neo schema reae. Sostituiamo i vincoi con e rispettive reazioni incognite e scriviamo tante equazioni di equiibrio quanti sono i gradi di ibertà dea struttura svincoata (Fig. 8.) Fig. 8.

19 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni 9 o H o o V V q o q K V da cui H V V o o q K q K Passiamo adesso a cacoo de vettore Q, che contiene e funzioni N, T ed M nei tratti D, DC e C Q o q K H qx o V qx q K qx x qx V x o V q K K K V q K D x DC x h C x h Sua struttura reae esistono anche dee variazioni di temperatura ed in particoare sua trave D agisce un carico termico triangoare in cui i sato termico inferiore è t i = ed i sato termico superiore è t s =s (Fig. 9.). I vettore dee deformazioni termiche unitarie deve avere per a conformità a prodotto matriciae- e medesime dimensioni de vettore Q, cioè pari a numero dei tratti per 3. La determinazione de vettore è immediata, in ciascun tratto occorre cacoare a diatazione unitaria, o scorrimento medio m e a curvatura k generate da sato di temperatura, e per fare ciò basta a- doperare e formue standard per e variazioni termiche ineari Fig. 9. k m ti ti H ts ts (6.)

20 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni Le 6. sono sempre vaide per diagrammi di carico termico costante, triangoare, trapezio o intrecciato, cioè con sato termico superiore ed inferiore di segno diverso. s D m x k s H DC m x h k C m x h k Per quanto attiene a avoro prodotto dai carichi meccanici, nei tratti D e DC si possono trascurare i termini reativi ao sforzo normae ed a tagio, mentre ne tratto C, dove i avoro prodotto da momento è nuo, si prenderà in considerazione sotanto i avoro prodotto dao sforzo normae. Nua, invece, è da trascurare a proposito de avoro interno causato dae deformazioni termiche. I secondo membro dea 4. si trasforma in una sommatoria di integrai, ciascuno vautato per ciascun tratto Espicitando con i vaori si ottiene C ux QQdx Q dx sd s s h h q K qx dx dx ux x x h x K E DJ D E DCJDC h h q K dx s h s dx x dx E C C H D h Kh qh 3 dx dx E DJ D E DC JDC u qhx x x KhKx x h Kh dx s hs qh dx x dx E H C C D

21 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni Integrando 3 h qhx Kh 3 qh 4 Kx D D DC DC ux x x Khx E J E J h Kh s hs qhx x x x EC C HD Infine sostituendo gi estremi di integrazione 3 qh Kh 3Kh Kh s hs ux qh EDJD 3 EDC JDC EC C HD Gi indici attribuiti ai termini geometrici E, J,, H stanno ad indicare che essi si riferiscono aa sezione trasversae de tratto specificato. E è i moduo di Young, J i momento d inerzia rispetto a asse neutro, area ed H è atezza. Esempio 5 Data a struttura isostatica di Fig..a, cacoare di quanto trasa verticamente i punto D. ppichiamo i Teorema dea forza unitaria ed associamo aa struttura data o schema ausiiario di Fig..b. In essa, ne punto D, è appicata una forza verticae unitaria. Esprimiamo adesso i avoro che compiono e forze esterne ed interne agenti neo schema ausiiario per effetto degi spostamenti e dee deformazioni che nascono Fig.. nea struttura reae. Poiché e forze sono equiibrate e gi spostamenti e e deformazioni sono compatibii, ne consegue, per i P.LL.VV, che i avoro deve essere nuo, per cui possiamo scrivere L=L e -L i =, ovvero L e =L i Espicitando entrambi i termini si perviene a equazione costitutiva generaizzata u R QQdx Qdx (7.) yd s s

22 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni Dove u yd è o spostamento incognito da cacoare, è a matrice di cedibiità de tronco unitario di trave, R e Q sono rispettivamente e reazioni dei vincoi esterni ed interni nea struttura ausiiaria, mentre Q, e sono rispettivamente e reazioni dei vincoi interni, i cedimenti dei vincoi esterni e e deformazioni termiche unitarie nea struttura reae. Cominciamo con i cacoare i vettore Q : per fare ciò dobbiamo prima trovare e reazioni esterne neo schema ausiiario. Sostituiamo i vincoi esterni con e rispettive reazioni incognite e scriviamo tante equazioni di equiibrio quanti sono i gradi di ibertà dea struttura parziamente svincoata 5 (Fig..) Fig.. H V V HhVM V da cui H V V M ; H V R M V (8.) Trovate e reazioni, e riempito i vettore R (in accordo agi assi x,y,z), passiamo adesso a cacoo de vettore Q che contiene e funzioni N, T ed M nei tratti D, DC e C Q H V V x M V V D x DC x h C x h 5 Si ricorda che per struttura parziamente svincoata si intende a struttura privata dei soi vincoi esterni

23 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni 3 Passiamo a cacoare i vettore Q : per fare ciò, ancora una vota, dobbiamo prima trovare e reazioni dei vincoi esterni neo schema reae. Sostituiamo i vincoi con e rispettive reazioni incognite e scriviamo tante equazioni di equiibrio quanti sono i gradi di ibertà dea struttura parziamente svincoata 6 (Fig..) o F H o o V V q o q o Fh V M o q Fh V 4 da cui Fig.. o H F o Fh q V 4 o Fh q 3q Fh V q 4 4 o q q q M Fh Fh Fh 4 4 Dopo aver cacoato e reazioni dei vincoi esterni passiamo adesso a cacoo de vettore Q, che contiene e funzioni N, T ed M nei tratti D, DC e C. Si ribadisce che: i prodotto tra i vettori Q eq è fisicamente significativo soo se origine de asse x è i medesimo per entrambe e strutture (reae e ausiiario). 6 Si ricorda che per struttura parziamente svincoata si intende a struttura privata dei soi vincoi esterni

24 4 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni Q F o 3q Fh H qx 4 o V qx 3q Fh qx q x Fh qx o V x M 4 4 o V Fh q 4 F Fx Fx V Fh q 4 D x DC x h C x h Poiché nea struttura sono presenti dei cedimenti vincoari (i cedimento verticae de carreo in di intensità w e i cedimento rotazionae de incastro in di intensità ) occorre anche riempire i vettore dei cedimenti. I vettore ha i medesimo numero di componenti de vettore R e contiene gi spostamenti dei vincoi esterni che fanno compiere avoro ae corrispondenti reazioni. x y y w (3.) Sua struttura reae esistono anche dee variazioni di temperatura ed, in particoare, sua trave C agisce un carico termico intrecciato in cui i sato termico inferiore è t i = ed i sato termico superiore è t s = (Fig. 3.). I vettore dee deformazioni termiche unitarie deve avere (per a conformità a prodotto matriciae) e medesime dimensioni de vettoreq, cioè pari a numero dei tratti di variabiità per 3. La determinazione de vettore è immediata: in ciascun tratto occorre cacoare a diatazione unitaria, o scorrimento Fig. 3. medio m e a curvatura k generate da sato di temperatura e per fare ciò basta adoperare e formue standard per e variazioni termiche ineari

25 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni 5 k m ti ti H ts ts (3.) Le 3. sono sempre vaide per diagrammi di carico termico costante, triangoare, trapezio o intrecciato, cioè con sato termico superiore ed inferiore di segno diverso. m k m k m k H D x DC x h C x h Per quanto attiene a avoro prodotto dai carichi meccanici, ne tratto D si possono trascurare i termini reativi ao sforzo normae ed a tagio, mentre nei tratti C e DC, dove i avoro prodotto da momento è nuo, si prenderà in considerazione sotanto i avoro prodotto dao sforzo normae. Nua, invece, è da trascurare a proposito de avoro interno causato dae deformazioni termiche. I secondo membro dea 7. si trasforma in una sommatoria di integrai, ciascuno vautato per ciascun tratto Espicitando con i vaori si ottiene h C uyd R QQdx Q dx sd s s Fh q dx Fh q dx uyd w 4 E 4 E DC DC C C h u yd Fh qh Fh qh w 4 EDC DC 4 EC C

26 6 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni..8 Cacoo di spostamenti e rotazioni reativi Tramite i teorema dea forza unitaria è anche possibie i cacoo diretto di moti reativi, siano essi trasazioni o rotazioni. Ricordiamo che un quaunque spostamento reativo si ottiene effettuando a differenza degi spostamenti assouti. Così se si vuo cacoare, ad es. o spostamento verticae reativo tra estremità ibera ed i punto di mezzo di una mensoa caricata uniformemente (Fig. 4.) basta effettuare a differenza tra gi spostamenti verticai assouti dei due punti uyc uy uyc Fig. 4. Sostituendo i vaori ottenuti neo svogimento de Esempio e de Esempio 3 si ottiene u yc q 7q 3q (3.) 8EJ 384EJ 384EJ nziché cacoare prima i due spostamenti assouti e poi farne a differenza, è possibie ottenere direttamente o spostamento reativo desiderato appicando una soa vota i teorema dea forza unitaria. Ciò è possibie se si assume come schema ausiiario una particoare struttura su cui si appicano, nei punti di cui si vuo cacoare o spostamento reativo (o a rotazione) due forze unitarie (coppie unitarie) di verso opposto e nea medesima direzione deo spostamento (Fig. 5.). Fig. 5.

27 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni 7 Per i P.LL.VV. possiamo scrivere L e =L i, espicitando si ottiene u u R QQdx Qdx y yc La differenza a primo membro, è proprio o spostamento reativo cercato yc s s u R QQ dx Qdx s s Riempiamo i vettori Q e Q x C q x C x q x x x Q Q qx x x C C qx x I vettore dei cedimenti è nuo, così anche i vettore dee deformazioni di origine termica, per cui, trascurando i avoro de tagio e deo sforzo normae si ottiene u yc 3 x q dx qx dx EJ EJ u yc u yc Sostituendo gi estremi di integrazione 3 3 q qx q x dx qx dx EJ EJ q x qx q x qx EJ 6 8 EJ 8 u yc q q q q 3q EJ EJ

28 8 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni Esempio 6 Data a struttura isostatica di Fig.6., cacoare a rotazione reativa tra a sezione e a sezione C verticae 7. ppichiamo i Teorema dea forza unitaria ed associamo aa struttura data o schema ausiiario di Fig. 7., in cui ne punto e ne punto C sono appicate due coppie unitarie di verso opposto. Esprimiamo adesso i avoro che compiono e forze esterne ed interne agenti neo schema ausiiario per effetto degi spostamenti e dee deformazioni che nascono nea struttura reae. Poiché e forze sono equiibrate e gi spostamenti e e deformazioni sono compatibii, ne consegue, per i P.LL.VV, che i avoro deve essere nuo, per cui possiamo scrivere L=L e -L i =, ovvero L e =L i Fig. 6. Espicitando entrambi i termini si perviene a equazione costitutiva generaizzata R QQ dx Qdx (33.) C s s Dove C è a rotazione reativa incognita da cacoare, è a matrice di cedibiità de tronco unitario di trave, R e Q sono rispettivamente e reazioni dei vincoi esterni ed interni nea struttura ausiiaria, mentre e sono i cedimenti dei vincoi esterni e e deformazioni termiche unitarie nea struttura reae. Poiché i vincoi esterni sono rigidi, i vettore dei cedimenti è nuo per cui a 33. si sempifica nea QQ dx Q dx (34.) C s s 7 Ne nodo C confuiscono due sezioni, una verticae appartenente a asta CD ed una orizzontae appartenente a asta CE.

29 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni 9 Fig. 7. Cominciamo con i cacoare i vettoreq : per fare ciò dobbiamo prima trovare e reazioni esterne neo schema ausiiario. Poiché a struttura è motepicemente connessa, otre a sopprimere i vincoi esterni, apriamo i campo in F (Fig. 8.). La struttura parziamente svincoata possiede 4 gradi ibertà, tre assouti ed uno reativo. e tre equazioni cardinai dea statica dobbiamo affiancare un equazione per i moti reativi. I vincoo interno rimasto è i pattino, che consente una trasazione verticae reativa ai due pezzi CDF e ECF Fig. 8. F ; H x F ; V y M ; M i CDF F ; V y F (35.) Le reazioni si annuano tutte. Le reazioni dei vincoi esterni vengono zero perchè sua struttura agiscono dei carichi che si autoequiibrano: e due coppie unitarie opposte. Invece, a reazione de vincoo interno viene nua in quanto su pezzo CDF agisce sotanto una coppia che non tende ad attivare a trasazione verticae reativa. Passiamo adesso a cacoo de vettore Q, che contiene e funzioni N, T ed M in tutti i tratti dea struttura ausiiaria

30 3 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni Fig. 9. Q E x Q EC xh Q CD x Q Q DF xh Q EF x Q x F Q ; Q ; Q ; Q ; Q ; Q ; E EC CD DF EF F Passiamo a cacoare i vettore Q. Per fare ciò dobbiamo ripetere e medesime operazioni che abbiamo effettuato per a struttura ausiiaria Fig. 3. F ; H P x y i CDF y F ; V q M ; M Ph q 4 F ; V q F da cui V H F P q M Ph4q V q (36.)

31 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni 3 Q E x QEC xh Q CD x Q QDF xh QEF x Q F x Fig. 3. VF V P Q V E ; Q H EC ; Q qxv CD F ; Vx M V M Hx VF qx VF x V F H H Q ; Q V F ; Q ; DF EF F V F x Sua struttura reae esistono dee variazioni di temperatura ed, in particoare sua trave EF, agisce un carico termico intrecciato in cui i sato termico inferiore è t i =t ed i sato termico superiore è t s =-t (Fig. 3.). I vettore dee deformazioni termiche u- nitarie deve avere per a conformità a prodotto matriciae- e medesime dimensioni de vettoreq, cioè pari a numero dei tratti di variabiità per 3. La determinazione de vettore è immediata: in ciascun tratto occorre cacoare a diatazione unitaria, o scorrimento medio m e a curvatura k generate da sato di temperatura, per fare ciò basta adoperare e formue standard per e variazioni termiche ineari Fig. 3.

32 3 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni k m ti ti H ts ts (37.) Le 37. vanno sempre appicate per diagrammi di carico termico costante, triangoare, trapezio o intrecciato, cioè con sato termico superiore ed inferiore di segno diverso. E ; EC ; CD ; DF ; EF ; F t H EF Per quanto attiene a avoro prodotto dai carichi meccanici, in tutti i tratti si possono trascurare i termini reativi ao sforzo normae ed a tagio. Dove i avoro de momento è nuo o è anche queo deo sforzo normae. Nua, invece, è da trascurare a proposito de avoro interno causato dae deformazioni termiche. La 34. si trasforma in una sommatoria di termini, ciascuno vautato per ciascun tratto F C QQdx Q dx (38.) s E s s Espicitando i vaori nea 38. si ottiene h dx dx t V M H xv V x dx C F F E ECJEC E EF JEF H EF h Hx VFx t C Vx Mx VF x x EECJEC E EF JEF H EF Sostituendo gi estremi di integrazione H h V t F 4 C V h Mh VF h EECJEC EEFJEF HEF Sostituendo infine i vaori dee reazioni (35.)

33 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni 33 3 Ph 4q 4t C q h Ph 4q h 4q h E J E J H EC EC EF EF EF 3 Ph 4q 4t C q h E J E J H EC EC EF EF EF

34 34 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni. Metodi di anaisi dei sistemi iperstatici Lo strumento che consente di effettuare naisi strutturae dei sistemi iperstatici è formato dai tre gruppi di equazioni. Equazioni di equiibrio (egame tra grandezze meccaniche). Equazioni costitutive (egame tra grandezze meccaniche e cinematiche) 3. Equazioni di congruenza (egame tra grandezze cinematiche) Ne paragrafo precedente abbiamo comato una acuna ed abbiamo imparato a scrivere, in forma generae, e equazioni costitutive tramite i Teorema dea Forza Unitaria. desso che siamo in grado di procurarci tutti gi ingredienti, vediamo come essi si cucinano a fine di ottenere i piatto finae. In un quaunque corpo, in condizioni di stabiità, deve essere sempre soddisfatto contemporaneamente intero set di equazioni: cioè tutte e forze in gioco esterne ed interne- devono costituire un sistema di forze in equiibrio, a deformazione deve sempre essere in reazione di causa ed effetto 8 con e grandezze meccaniche agenti su corpo stesso e, inotre, essa deve essere tae da rispettare e costrizioni indotte dai vincoi, sia e- sterni che interni. I vincoi esterni vengono rispettati se i vari punti ad essi connessi non si muovono nee direzioni proibite; i vincoi interni, invece, vengono rispettati se a inea eastica (asse dea struttura deformata) si mantiene una inea continua: senza interruzioni o angoosità. Se asse dea struttura possiede a monte dee angoosità (nodi), a oro apertura angoare deve restare invariata anche dopo a deformazione. Nei così detti metodi generai si assumono come incognite de probema sotanto grandezze meccaniche, o sotanto grandezze cinematiche. Nei metodi misti, invece, si assumono come incognite grandezze di entrambi i tipi. I metodi misti (e storiche equazioni dei quattro momenti o equazioni dee cinque rotazioni) sono ormai da tempo finiti in soffitta, resi obsoeti dai moderni metodi di anaisi matriciae. Qui tratteremo sotanto dei metodi generai e ne approfondiremo debitamente sotanto uno... Metodi generai In metodi generai sono due. Metodo dee Forze o Metodo dea Congruenza. Metodo degi Spostamenti o Metodo de Equiibrio I primo nome di ciascun metodo ci ricorda quai grandezze vengono assunte come incognite de probema, mentre i secondo indica i tipo di equazioni che formeranno i sistema risovente. Ne Metodo dee Forze e incognite de probema sono forze (e/o momenti) ed i sistema risovente è formato da equazioni di congruenza. I Metodo degi Spostamenti, che è i duae de primo, assume come incognite spostamenti (e/o rotazioni) ed adopera, come sistema risovente, e equazioni di equiibrio. 8 La reazione di causa ed effetto nei comuni materiai da costruzione si ipotizza essere quea easticoineare (egge di Hooke).

35 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni 35 Ma come è possibie trovare forze scrivendo equazioni di congruenza? Oppure, come è possibie trovare spostamenti scrivendo equazioni di equiibrio? Ciò sembra un paradosso, in quanto i sistema risovente sarebbe deputato a contenere dee grandezze incognite che non e sono consone. I ruoo dee equazioni costitutive è proprio queo di fare da tramite ed esprimere spostamenti in funzione di forze a interno dee equazioni di congruenza, oppure di esprimere forze in funzione di spostamenti a interno dee equazioni di equiibrio. Poiché nei due metodi e equazioni costitutive si scrivono in forma inversa una de atra, nei paesi di ingua ingese i due metodi si chiamano anche metodo dea cedibiità e metodo dea rigidezza da nome dea costante di proporzionaità che compare di vota in vota nee equazioni costitutive. Nei due metodi cambia pure ordine secondo cui vengono soddisfatte e varie equazioni: ne Metodo dee Forze si fa in modo che e incognite meccaniche, quaunque vaore esse abbiano, soddisfino di certo e condizioni di equiibrio e si va aa ricerca di quei particoari vaori che soddisfino anche e equazioni di congruenza; ne Metodo degi Spostamenti si fa in modo che e incognite cinematiche, indipendentemente da oro vaore, soddisfino di certo e condizioni di congruenza (o compatibiità) e si va aa ricerca di quei particoari vaori che siano in grado di soddisfare anche e equazioni di e- quiibrio.

36 36 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni.. I Metodo dee Forze o dea Congruenza Si prenda in esame a sempice struttura vote iperstatica di Fig. 33.a e si cominci con a consueta operazione di cacoo dee reazioni dei vincoi esterni. Si sopprimano detti vincoi e si sostituiscano con e rispettive reazioni incognite (Fig. 33.b). Poiché i sistema, privato dei soi vincoi esterni, possiede sotanto i tre gradi di ibertà di moto assouto, si scrivano e cassiche tre equazioni di equiibrio F x ; H F y ; V V q q M i ; M M V Risovendo a seconda equazione rispetto a V e a terza rispetto ad M Fig. 33. H V qv q M M V (39.) Come si vede, i sistema risuta due vote indeterminato, cioè esistono due infinità di vaori dee reazioni che sono in grado di mantenere i sistema in equiibrio. d ogni vaore arbitrario assegnato ai parametri sovrabbondanti V e M corrisponde un particoare vaore dee restanti incognite che equiibra i sistema. Ovviamente a sceta dei parametri sovrabbondanti è assoutamente ibera: potremmo ad es. assumere come parametri sovrabbondanti (incognite iperstatiche) e reazioni V e M e risovere rispetto a V e M H V qv q M M qv H V qv 3q M M V Un atra possibiità sarebbe quea di assumere come incognite iperstatiche V e M e risovere rispetto a V e M

37 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni 37 H V qv q M M V Usuamente, per distinguere dae atre, e incognite iperstatiche si indicano con a ettera X: pertanto, ponendo V =X e M =X a souzione 39. diventa H V qx q M X X (4.) Ovviamente, quaunque vaore arbitrario venga assegnato ae incognite iperstatiche X e X si ottiene sempre un corrispondente gruppo di reazioni che, unitamente ae prime, sono in perfetto equiibrio con i carico appicato. La 4. rappresenta tutte e infinite possibii souzioni equiibrate de sistema. Naturamente e reazioni dei vincoi non possiamo, sia pur equiibrate, assegnare a casaccio; esse, nea reatà, avranno un vaore ben preciso. Se riuscissimo, in quache maniera, a cacoare preventivamente i vaore corretto dee reazioni sovrabbondanti X ed X, a 4. fornirebbe effettiva souzione de probema, cioè e vere reazioni dei vincoi esterni dea struttura. Esiste una quache metodoogia che ci consenta di cacoare i vaore corretto dee incognite iperstatiche? Si, esso è proprio i Metodo dee Forze. Si comincia con i determinare i grado di iperstaticità dea struttura. Essa, poi, si rende isostatica sopprimendo quei vincoi che, a nostra discrezione, si ritengono sovrabbondanti e si sostituiscono detti vincoi con e rispettive reazioni incognite. I sistema isostatico che si ottiene prende i nome di struttura principae isostatica. Per generaizzare i concetti è conveniente, ameno iniziamente, immaginare tutti i vincoi presenti nea struttura come un insieme di vincoi sempici (carrei e quadripendoi) Fig. 34. e poi decidere di sopprimere tanti vincoi sempici quanti sono i gradi di iperstatiticità (Fig. 34.). Poiché i sistema è vote iperstatico, dobbiamo sopprimere vincoi sempici. Scegiere i vincoi da sopprimere equivae aa sceta dee reazioni sovrabbondanti che abbiamo operato poco prima ne ambito de sistema di equazioni di equiibrio. Con a soppressione di due vincoi sempici quaunque si ottiene sempre una struttura isostatica? Purtroppo a risposta è No! I vincoi superstiti devono risutare sempre efficaci, atrimenti avremo generato una struttura ipercinestatica. Ne Metodo dee Forze, a fase dea sceta dea struttura principae isostatica è, pertanto, una fase assai deicata, che va esami- Fig. 35.

38 38 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni nata con cura e discernimento. Si supponga di sopprimere ad es. i vincoi in e di sostituiri con e rispettive reazioni incognite (Fig. 35.). Le reazioni dei vincoi sovrabbondanti possiamo raccogiere a interno di una matrice coonna X che chiameremo vettore dee incognite iperstatiche X X X (4.) La struttura principae isostatica di Fig. 35., in quanto isostatica, sarà sempre in equiibrio per quaunque vaore si possa attribuire ae incognite X. Come facciamo, però, a trovare que particoare vaore di X che rappresenta e vere reazioni dei vincoi soppressi? Qui si ricorre a concetto di congruenza, cioè a quea perfetta equivaenza che deve sempre esistere tra aspetto cinematico e meccanico di un vincoo. Considerare a presenza de vincoo o a sua reazione effettiva deve sempre produrre i medesimi effetti sua struttura. Poiché i vincoi soppressi impedivano sia a trasazione verticae che a rotazione dea sezione, anche e oro reazioni devono avere un vaore tae da produrre i medesimi effetti. ora, se chiamiamo con e, rispettivamente, i moti dea sezione vincoata che avvengono nea direzione di X e di X (corrispondenti ad u y e ) e i raccogiamo a interno di una matrice coonna La condizione di congruenza è ; ; (4.) Fig. 36. Cioè noi dobbiamo ricercare tra gi infiniti possibii vaori di X, tutti che soddisfano e condizioni di equiibrio, unico che soddisfa anche e condizioni di congruenza (4.). Come si fa a far comparire a interno dee (4.) e incognite X e X? asta appicare i Teorema dea Forza Unitaria aa struttura principae isostatica (S.P.I.) ed espicitare i vaore di e (incongruenze) in funzione dee azioni note e incognite. Per cacoare e due incongruenze dobbiamo associare aa S.P.I. due strutture ausiiarie: una con una forza unitaria verticae in ed un atra con una coppia unitaria appicata sempre in (Fig. 36.). Cacoiamo i avoro che compiono e forze interne ed esterne nee due strutture ausiiarie (indicate con e ) per effetto degi spostamenti e dee de-

39 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni 39 formazioni che nascono nea S.P.I. ed eguagiamoo a zero. Otteniamo R Q Qdx Q dx s s R Q Qdx Q dx s s Poiché i vincoi esterni dea S.P.I. sono rigidi, o vengono supposti tai, e su di essa non agiscono carichi termici, e due precedenti reazioni si sempificano Q Qdx s Q Qdx s (43.) Riempiamo i vettori Q, Q e Q con e caratteristiche dea soecitazione che agiscono nee rispettive sezioni generiche N N N Q T ; Q T ; Q T qx X M x M M qx Xx X Trascurando effetto de tagio e deo sforzo normae e sostituendo nee 43. si ottiene 3 dx qx dx M M Xx Xx EJ EJ dx qx dx MM Xx X EJ EJ Integrando e sostituendo i imiti di integrazione si ottengono e due equazioni costitutive che egano e incongruenze a carico noto ed ae incognite iperstatiche qx Xx Xx q X X EJ 8 3 8EJ 3EJ EJ 3 3 qx Xx q X X Xx EJ 6 6EJ EJ EJ Sostituendo i vaori ottenuti nee equazioni di congruenza (4.) si ottiene i sistema risovente, formato da due equazioni nee due incognite X e X.

40 4 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni 4 3 q X X 8EJ 3EJ EJ 3 q X X 6EJ EJ EJ Motipichiamo membro a membro a prima equazione per 4EJ e a seconda per 6EJ 4 3 3q 8X X 3 q 3X 6X Risoviamo a prima rispetto ad X e sostituiamo nea seconda X X 3q 3X 8 q Sostituendo, a indietro, X ne espressione di X si ha X q Fig. 37. Da esse si ricava i vaore dee restanti reazioni Considerando, adesso, X ed X come due carichi noti, a struttura principae isostatica diventa quea di Fig 37.. Si svincoi a trave e si scrivano e equazioni di equiibrio F x ; H q F y ; V q q q q M i ; M H q V q M

41 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni 4 Note tutte e reazioni dei vincoi esterni, si può competare anaisi strutturae passando a cacoo dee caratteristiche dea soecitazione, a disegno dei diagrammi, aa individuazione dee sezioni critiche ed ae verifiche di resistenza...3 goritmo de Metodo dee Forze o dea Congruenza

42 4 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni Esempio 7 Effettuare anaisi strutturae de sistema monodimensionae riportato in Fig. 38. I sistema totamente svincoato è formato da due pezzi rigidi, quindi i grado di ibertà è g=6. I grado di motepicità dei vincoi esterni è gme=6 ed i grado di motepicità dei vincoi interni singoari è gmi=. Non esistono campi chiusi, quindi gmc=. Essendo i grado di motepicità totae gm=8, i sistema risuta vote Fig. 38. iperstatico: i=gm-g=. Esistono, quindi, vincoi sempici sovrabbondanti. Passiamo a cacoare e incognite iperstatiche appicando i Metodo dee Forze. Rendiamo isostatico i sistema sopprimendo, ad es. a cerniera in. In Fig. 39. è riportata a struttura principae isostatica. La soppressione dea cerniera in ha reso possibii i due sposta- Fig. 39. menti e (u x e u y ). Dobbiamo ricercare quei particoari vaori dee incognite iperstatiche per cui a S.P.I. si comporti esattamente come a struttura iperstatica di partenza, cioè dobbiamo trovare X tae che sia soddisfatta equazione di congruenza, ovvero, in forma scaare, siano nue e due incongruenze (44.) Si tratta adesso di scrivere e equazioni costitutive con i Teorema dea Forza Unitaria ed esprimere e due incongruenze, e, in funzione dei carichi noti e dee incognite iperstatiche X ed X. ta fine associamo aa S.P.I. e due strutture ausiiarie di Fig. 4.

43 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni 43 Fig. 4. Essendo i vincoi rigidi, o presunti tai, e equazioni costitutive generaizzate si scrivono Q Qdx Q dx s s Q Qdx Q dx s s Per espicitare occorre trovare e reazioni dei vincoi esterni e e soecitazioni interne nee due strutture ausiiarie e nea struttura reae (S.P.I.) ed, inotre, i vettore dee deformazioni termiche nea soa S.P.I. Struttura ausiiaria Si sostituiscano i vincoi esterni con e rispettive reazioni incognite e si scrivano e equazioni di equiibrio dea struttura parziamente svincoata (Fig. 4.) F x ; H C H F y ; V C V M ; V CHChh (C ) F x ; H C Da cui si ricavano e reazioni Fig. 4. H H V V C C h h Le caratteristiche dea soecitazione nei vari tratti, definiti preventivamente nea struttura iperstatica di partenza, sono

44 44 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni Q Q Q Q Q Q E EC ED DF F x x h x x h x h h V Q ; Q H ; C C E EC H C x h H V h Q V ; Q H ; ED DF Vx H h H (h x) (h x) h x h h V Q H ; F H x x Struttura ausiiaria Si sostituiscano i vincoi esterni con e rispettive reazioni incognite e si scrivano e equazioni di equiibrio dea struttura parziamente svincoata (Fig. 4.) F x ; HC H F y ; VC V 3 M ; VCHCh (C ) F x ; HC Fig. 4. Da cui si ricavano e reazioni

45 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni 45 H H V V C C 3 Le caratteristiche dea soecitazione nei vari tratti sono Q Q Q Q Q Q E EC ED DF F x x h x x h x h 3 VC C E EC Q ; Q H ; x HC x H V V Q V ; Q H ; Q H ; ED DF F Vx H (h x) Hx x Struttura principae isostatica Si sostituiscano i vincoi esterni con e rispettive reazioni incognite e si scrivano e equazioni di equiibrio dea struttura parziamente svincoata (Fig. 43.) Fig. 43. F x ; P X HC H F y ; X VC V q q X M C ; VHh Xh (C ) F x ; HC

46 46 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni Da cui si ricavano e reazioni H C H P X V V X h Ph q X X h Ph q 3X C Le caratteristiche dea soecitazione nei vari tratti sono Q Q QQ Q Q E EC ED DF F x x h x x h x h X V C Q X E ; Q H EC C ; X x H x C H P V V Q V ED qx ; Q H DF P ; Q H F ; qx H ( h x ) Px H x VxHh Ph Sua struttura principae isostatica esistono anche dee variazioni di temperatura ed in particoare sua trave E agisce un carico termico costante positivo t i = t s = t, mentre, ne tratto DE agisce un carico termico, pure costante, ma negativo e di intensità t i = t s = -t (Fig. 44.). I vettore dee deformazioni termiche unitarie deve avere per a conformità a prodotto matriciae- e medesime dimensioni de vettore Q, cioè pari a numero dei tratti per 3. La determinazione de vettore è immediata, in ciascun tratto occorre cacoare a diatazione unitaria, o scorrimento medio m e a curvatura k generate da sato di temperatura. Per fare ciò basta adoperare e formue standard per e variazioni termiche ineari Fig. 44.

47 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni 47 Θ Θ Θ Θ Θ Θ E EC ED DF F x / x h x x h x h k m ts ts H t t E ; EC ; ED ; DF ; F ti ti Limitatamente a avoro prodotto dai carichi meccanici, in tutti i tratti si possono trascurare i termini reativi ao sforzo normae ed a tagio. Dove, però, i avoro de momento è nuo, occorre prendere in considerazione queo deo sforzo normae. Nua, invece, è da trascurare a proposito de avoro interno causato dae deformazioni termiche. h dx h dx hx qx dx X VC Vx Hh Ph E E EJ E EC ED h h dx dx (h x) H (h x) Px x H x t dx t dx EJ EJ DF F h dx 3 dx 5x qx dx Xx VC Vx Hh Ph EJ E EJ E EC ED h h 5 dx 5 dx V V x E E DF F L indice associato ai parametri fisico geometrici E, e J sta ad indicare che essi potrebbero anche essere diversi da tratto a tratto. Sviuppando gi integrai ed eguagiando a zero si ottiene i sistema risovente finae di equazioni nee due incognite X ed X. Come è possibie osservare gi sviuppi agebrici possono anche essere parecchio compicati. Se poi i grado di iperstaticità di una struttura è eevato, i metodo diviene impraticabie. In questi casi si ricorre a Metodo degi Spostamenti, i quae è più indicato sia per risovere strutture ad eevato grado di iperstaticità, sia per impementazione in codici di cacoo automatico.

48 48 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni..4 Sistemi puri-connessi, iperstaticità per vincoi interni Si prenda in considerazione a struttura di Fig.45.a. Si sopprimano sia i vincoi esterni che quei interni singoari (Fig.45.b). I sistema risuta formato da un unico pezzo rigido, quindi i suoi gradi di ibertà sono g=3. I vincoi esterni hanno un grado di motepicità gme=+=4, mentre unico vincoo interno singoare ha un grado di motepicità gmi=(-)=. La struttura assegnata è una struttura puriconnessa con gc= (presenta un campo chiuso), mentre quea svincoata non o è più, pertanto per essa è gmc=. Essendo gm>g i sistema è iperstatico, con i=gm-g=6-3=3. Fig. 45. Se si vuoe rendere isostatico i sistema occorre sopprimere 3 vincoi sempici. Ci si rende subito conto che non è possibie intervenire sotanto sui vincoi esterni, in quanto i sistema diverrebbe paesemente abie. In Fig. 46. sono riportate due possibii strutture principai ottenute con a soppressione dei soi vincoi esterni: ciascuna di esse è abie perché unico vincoo esterno rimasto non è in grado, ovviamente, di sopprimere tutti i 3 gradi di ibertà assouti, ma uno sotanto. Fig. 46. Le strutture principai sono quindi ipercinestatiche e presentano contemporaneamente dee abiità () ed atrettante iperstaticità. Tutti gi esempi di strutture iperstatiche esaminati fino ad ora si riferivano a sistemi sempicemente connessi. In tai strutture iperstaticità è sempre dovuta ad un esubero di vincoi esterni. Nei sistemi puriconnessi (che presentano campi chiusi), come queo di fig 45.a, iperstaticità può essere dovuta anche ad un esubero di vincoi interni, per-

49 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni 49 tanto in essi occorre esprimere iperstatiticità totae i come somma di due iperstaticità parziai: una esterna (i e ) ed una interna (i i ). i i i e I parametro i viene sempre individuato attraverso i consueto confronto tra i grado di ibertà g de sistema totamente svincoato ed i grado di motepicità totae ottenuto come somma di gme+gmi+gmc. Dobbiamo adesso imparare a ripartire i grado di iperstaticità i nee due aiquote i e ed i i. Ciò è di fondamentae importanza per sapere quai e quanti vincoi togiere nea sceta dea struttura principae isostatica. Dove va ricercato e come si quantifica i parametro i i? 9 Le iperstaticità interne nascono sempre a causa dea presenza di campi chiusi: occorre, pertanto, individuare quai e quanti vincoi interni appartenenti ai vari campi generano ipertaticità. Come è stato iustrato ne paragrafo. de voume Lezioni di Statica, nei sistemi motepicemente connessi non è possibie cacoare e caratteristiche dea soecitazione in corrispondenza dei vincoi che appartengono ai vari campi, per fare ciò è necessario eiminare e connessioni con dei tagi. Ciascun tagio corrisponde aa soppressione cinematica di un vincoo interno che va sostituito con i suo aspetto meccanico: e reazioni vincoari. La comparsa di tai reazioni aggiunge nuove incognite a probema. I vaore di tai incognite può essere cacoato sotanto se, a causa dei tagi, nascono dei nuovi gradi di ibertà reativi che consentono a scrittura di uteriori equazioni di equiibrio. Poiché, in generae, aa soppressione di un vincoo di continuità corrispondono 3 parametri reattivi incogniti (N,T.M), i nuovi gradi di ibertà aggiuntivi devono sempre essere 3, cioè tanti quante sono e incognite evidenziate. d un numero minore di gradi di ibertà corrisponde una iperstaticità interna, mentre ad un numero maggiore corrisponde una abiità. In base a ciò è possibie dare e seguenti definizioni. Un campo chiuso (connessione interna), considerato avuso da contesto strutturae, è isostatico se, dopo avero aperto sopprimendone un quaunque vincoo di continuità, i vincoi singoari in esso eventuamente presenti permettono 3 gradi di ibertà reativi (6 neo spazio). Un campo chiuso (connessione interna), considerato avuso da contesto strutturae, è abie se, dopo avero aperto sopprimendone un quaunque vincoo di continuità, i vincoi singoari in esso eventuamente presenti permettono più di 3 gradi di ibertà reativi (6 neo spazio). I grado di abiità è dato, quindi, daa differenza gr-3, essendo gr i numero di moti reativi consentiti aa struttura dai vincoi singoari appartenenti a campo medesimo. Un campo chiuso (connessione interna), considerato avuso da contesto strutturae, è iperstatico se, dopo avero aperto sopprimendone un quaunque vincoo di continuità, i vincoi singoari in esso eventuamente presenti permettono un numero di gradi di ibertà reativi inferiori a 3 (6 neo spazio). I grado di iperstaticità è dato, quindi, daa differenza 3-gr, essendo gr i numero di moti reativi consentiti aa struttura dai vincoi singoari appartenenti a campo medesimo. i 9 Ovviamente noto che sia i i è possibie cacoare anche i e come differenza i-i i Fiippo Cucco, Lezioni di Statica, Grafi, Paermo, 9. Di eventuai vincoi interni singoari comuni a più campi si parerà ne seguito.

50 5 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni Si consideri i campo chiuso di Fig.47.a preso isoatamente. Esso può compiere i 3 moti assouti, mentre, a causa dea presenza de campo chiuso, i vari pezzi (due ne esempio) che o compongono non sono in grado di compiere acun moto reativo. Fig. 47. E nostra intenzione scoprire se a connessione è isostatica o iperstatica. priamo i campo praticando un tagio in corrispondenza ad es. de vincoo di continuità E. I sistema rimane diviso in 3 pezzi. Se si tiene boccato un pezzo quaunque, ad es. i (3), i restanti possono muoversi reativamente rispetto ad esso. In particoare i pezzo (), in virtù de carreo in D, può trasare nea direzione de piano di scorrimento e ruotare attorno aa cerniera. I pezzo (), in virtù de pattino in, può sotanto trasare in direzione de piano di scorrimento. La soppressione di un vincoo di continuità ha fatto nascere 3 moti reativi, quindi i campo chiuso, in base aa definizione data in precedenza, è i- sostatico. Si consideri i campo chiuso di Fig.48.a, sempre preso isoatamente. Esso può compiere i 3 moti assouti, mentre, a causa de campo chiuso, non può manifestarsi acun moto reativo. Fig. 48. E nostra intenzione scoprire ancora una vota se a connessione è isostatica o iperstatica. priamo i campo praticando un tagio in corrispondenza ad es. de vincoo di continuità E. I sistema rimane diviso in pezzi. Se si tiene boccato un pezzo quaunque, ad es. i (), i restante può muoversi reativamente rispetto ad esso. In particoare i pezzo (), in virtù de quadripendoo in D, può trasare secondo due direzioni quaunque. La soppressione di un vincoo di continuità ha fatto nascere moti reativi (gr =), quindi i campo chiuso, in base aa definizione data in precedenza, è iperstatico ed i suo grado di iperstaticità è i i =3-gr =3-=. Si consideri, infine, i campo di Fig.49.a, sempre preso isoatamente. Esso può compiere i 3 moti assouti, mentre, a causa de campo chiuso e dea assenza di vincoi interni singoari non può manifestarsi acun moto reativo

51 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni 5 Fig E nostra intenzione scoprire ancora una vota se a connessione è isostatica o iperstatica. priamo i campo praticando un tagio in corrispondenza ad es. de vincoo di continuità E. I sistema rimane di un so pezzo. La soppressione di un vincoo di continuità ha fatto nascere moti reativi (gr =), quindi i campo chiuso, in base aa definizione data in precedenza, è iperstatico ed i suo grado di iperstaticità è i i =3-gr =3-=3. Un campo chiuso che non contiene a proprio interno vincoi singoari è sempre 3 vote iperstatico ne piano e 6 neo spazio. Fig. 5. Ritornando a esempio di Fig. 45. si può dire che, isoato i campo da contesto, eventuae apertura dea connessione consente a nascita di un moto di rotazione reativa attorno aa cerniera (Fig.5.), pertanto, essendo gr, a presenza de campo da uogo a due iperstaticità interne e, quindi, ad una esterna ii i e i 3 i i i e Per ottenere a struttura principae isostatica occorre sopprimere obbigatoriamente vincoo sempice esterno e due interni a campo. Con riferimento ai vincoi esterni si può trasformare ad es. a cerniera fissa in carreo, mentre, con riferimento ai vincoi interni a campo si può trasformare, in un punto quaunque, i vincoo di continuità da tripo a sempice, oppure è possibie eiminare direttamente a cerniera. In Fig. 5. sono iustrate dee possibii scete per a S.P.I.

52 5 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni Fig.5. Esiste una sceta più conveniente? proposito dei vincoi interni conviene operare sempre, se possibie, in modo da ottenere una S.P.I. sempicemente connessa, per cui a sceta migiore è senz atro quea dea Fig. 5.a. Un atra sempificazione potrebbe essere quea di operare dee sconnessioni sempre ae estremità dee aste, e ciò per ridurre a minimo i numero di tratti di variazione dee caratteristiche dea soecitazione (Figg. 5.c e 5.d). Proseguiamo a nostra anaisi considerando come struttura principae isostatica quea di Fig. 5.a. Si fa notare che i carico P appicato sua cerniera in F, in seguito aa soppressione de vincoo, può essere appicato, a discrezione, su uno dei due punti che erano connessi daa cerniera medesima. Va sottoineato che e reazioni dei vincoi interni soppressi agiscono sempre in coppia, sono, a due a due, uguai e contrarie e sono appicate in corrispondenza dei due punti che prima erano cuciti insieme da vincoo. L atra particoarità è che a soppressione dei vincoi interni ibera sempre degi spostamenti e dee rotazioni di tipo reativo e non più assouto come ne caso dei vincoi esterni. La soppressione dea cerniera in F ha reso possibii i due spostamenti reativi e 3, mentre a sostituzione, in, dea cerniera con i carreo ha reso possibie o spostamento assouto ( ricordiamo che e incongruenze, cioè gi spostamenti consentiti con a soppressione dei vincoi, hanno sempre a medesima direzione dee incognite iperstatiche). Dobbiamo adesso ricercare quei particoari vaori dee incognite iperstatiche per cui a S.P.I. si comporti esattamente come a struttura iperstatica di partenza, cioè dobbiamo trovare X tae che sia soddisfatta equazione di congruenza, ovvero, in forma scaare

53 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni 53 3 (45.) Si tratta adesso di scrivere e equazioni costitutive con i Teorema dea Forza Unitaria ed esprimere e tre incongruenze,, e 3, in funzione dei carichi noti e dee incognite iperstatiche X, X e X 3. ta fine associamo aa S.P.I. e tre strutture ausiiarie di Fig. 5. Fig. 5. Si ricorda che ne caso in cui si vogiano vautare spostamenti reativi tra due punti, in essi, nea struttura ausiiaria, vanno appicate due forze unitarie opposte nea direzione deo spostamento cercato. Si scrivano adesso e 3 equazioni costitutive generaizzate R Q Qdx Q dx s s R Q Qdx Q dx s s R Q Qdx Q dx s s (46.) Essendo i vincoi esterni rigidi è e non esistendo variazioni termiche è anche, per cui e 46. si sempificano nee

54 54 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni Q Qdx s Q Qdx s Q Qdx 3 3 s (47.) Per espicitare e incongruenze occorre trovare e reazioni dei vincoi esterni e e soecitazioni interne nea struttura reae (S.P.I.) e nee tre strutture ausiiarie. Struttura principae isostatica Si sostituiscano i vincoi esterni con e rispettive reazioni incognite e si scrivano e e- quazioni di equiibrio dea struttura parziamente svincoata (Fig. 53.) Fig. 53. F x ; P X X X H F y ; V X3 X3 q q M ; Ph H h M X h X h X X 3 3 Come è possibie notare a interno dee equazioni di equiibrio per i moti assouti e reazioni dei vincoi interni si eiminano a vicenda, esse sono sempre uguai e contrarie, quindi in futuro non sarà più necessario prendere in considerazione

55 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni 55 Ricaviamo i vaore dee reazioni F x ; P X H F y ; V q q M ; Ph H h M H PX V q q M Ph PX h Le caratteristiche dea soecitazione nei vari tratti sono Q Q Q Q Q Q Q D CD EF FD EC E x x x x h x h x h H H X Q ; Q X D CD 3 ; M M X x X h 3 P X X 3 X 3 Q qx X EF 3 ; Q X FD ; Q H X EC ; X x qx Xx X hx X3H xm 3 V Q X E ; Xx

56 56 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni Struttura ausiiaria Si sostituiscano i vincoi esterni con e rispettive reazioni incognite e si scrivano e equazioni di equiibrio dea struttura parziamente svincoata (Fig. 54.) Da cui si ricavano e reazioni Fig. 54. F x ; H F y ; V M ; HhM H V M h Le caratteristiche dea soecitazione nei vari tratti sono Q Q Q Q Q Q Q D CD EF FD EC E x x x x h x h x h Q ; Q ; Q ; D CD EF h h

57 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni 57 Q ; Q ; Q ; FD EC E xh x Struttura ausiiaria Si sostituiscano i vincoi esterni con e rispettive reazioni incognite e si scrivano e equazioni di equiibrio dea struttura parziamente svincoata (Fig. 55.) Fig.55. F x ; H F y ; V M ; HhM ; M ; ncora una vota e reazioni dei vincoi esterni sono tutte nue perché e forze appicate sono già equiibrate tra oro (auto equiibrate), ciò avverrà sempre ogniquavota e forze unitarie appicate aa struttura saranno uguai, contrarie e con i medesimo punto di appicazione. Le caratteristiche dea soecitazione nei vari tratti sono E sotanto per motivi grafici che i due punti coegati da un vincoo interno si iustrano come separati da un certo spazio, di fatto i vincoi, teoricamente, avrebbero dimensioni infinitesime e quindi i punti da essi coegati sarebbero di fatto coincidenti.

58 58 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni Q Q Q Q Q Q Q D CD EF FD EC E x x x x h x h x h Q ; Q ; Q ; D CD EF h Q ; Q ; Q ; FD EC E x hx Struttura ausiiaria 3 Si sostituiscano i vincoi esterni con e rispettive reazioni incognite e si scrivano e equazioni di equiibrio dea struttura parziamente svincoata (Fig. 56.) Fig.56. F x ; H3 F y ; V3 M ; H3hM 3 ; M 3 ; Essendo i carichi sua struttura auto equiibrati e reazioni dei vincoi esterni sono nue. Le caratteristiche dea soecitazione nei vari tratti sono

59 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni 59 Q 3 Q Q Q Q Q Q 3D 3CD 3EF 3FD 3EC 3E x x x x h x h x h Q ; Q ; Q ; 3D 3CD 3EF x x Q ; Q ; Q ; 3FD 3EC 3E Limitatamente a avoro prodotto dai carichi meccanici, in tutti i tratti si possono trascurare i termini reativi ao sforzo normae ed a tagio. Dove, però, i avoro de momento è nuo, occorre prendere in considerazione queo deo sforzo normae. / dx dx h M h M X x X h EJ EJ 3 D CD h h dx 3 EJ EC x h X h x X H x M x X x dx dx h M X x X h x X x EJ EJ 3 CD h dx h xxh x X3 H x M EJ EC dx qx dx xm X x X h x X x EJ EJ CD h dx Xh x X3 H x M EJ EC Eseguendo i prodotti / dx h M hm X3hx Xh EJ D h dx h h EJ FD dx EJ Xhx Xx Xx H x M x Xh Xh H hx M h dx 3 3 EJ Xx EJ dx E CD EF E EC

60 6 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni Mh X hx X h X x EJ EJ 3 CD h dx dx h dx Xh Xhx Xh H hx M h Xx Xx H x M x 3 3 EJ 3 dx qx dx M x X x X hx X x EJ EJ CD h dx Xh Xx X 3 H x M EJ Integrando / h Mx hm x X3hx Xh x D EJ EJ EC 3 h 3 Xhx Xx Xx H x M x 3 X h x X3hx H hx M hx 3 3 EJ EC 3 Xx 3 h EJ E 3 Xhx 3 X x Mhx Xh x 3 FD EJ EJ CD 3 3 H hx X x Xx H x M x 3 Xhx Xhx Xhx 3 M hx Xx 3 Xx 3 M x X hx qx 3 3 EJ 3 8 EJ Xx H x X hx X3 x M x CD h EJ Infine sostituendo gi estremi di integrazione si ottiene h EC FD EF CD EF EC h EJ EC 3 3 M 3 h Mh Xh 3 Xh Xh 3Xh H h M h 3 EJ EJ EJ EJ 6EJ EJ 3EJ EJ Xh D CD CD CD EC EC EC EC 3 3 EJ 3EJ EC Xh E

61 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni Mh Xh 3 Xh Xh Xh 3 EJ EJ EJ 3EJ EJ 6EJ CD CD CD FD EC EC M h 3 3 Xh EJ EJ EC EC H h M X 3 Xh X 3 q Xh Xh EJ EJ EJ EJ EJ EJ EJ CD CD CD EF EF EC EC H h M h Xh 3 EJ EJ EJ EC EC EC Se in ogni tratto i moduo di easticità de materiae E ed i momento d inerzia J fosse o stesso, si potrebbero effettuare dee uteriori sempificazioni Infine eguagiando a zero e tre incongruenze si ottiene un sistema di 3 equazioni ineari nee 3 incognite X, X ed X 3. Ottenuto i vaore dee incognite iperstatiche, si sostituiscono nea S.P.I. e si passano a vautare e restanti reazioni vincoari ed i diagrammi dee caratteristiche dea soecitazione...4. Vincoi interni comuni a più campi Per individuazione dea isostaticità, iperstatiticità o abiità di un campo chiuso è sufficiente vautare i gradi di ibertà reativi (gr) consentiti dai vincoi singoari in esso presenti. In base a fatto che tai gradi di ibertà sono 3, minori di 3 o maggiori, i campo è isostatico, iperstatico o abie internamente. I grado di iperstaticità è i ic =3-gr mentre i grado di abiità è ic =gr-3. I computo di gr può presentare quache difficotà se esistono vincoi interni singoari comuni a più campi chiusi dea struttura. I vincoi interni singoari, ribadiamo, sono i carreo (i pendoo di soito viene interpretato come due cerniere), i quadripendoo, i pattino o bipendoo e a cerniera. Tutti questi Fig. 57. vincoi possono coegare mutuamente soo due e- ementi, tranne a cerniera che ne può coegare un numero imprecisato. Si consideri a struttura di Fig. 57. in cui g=9; gm=gme+gmi+gmc=6+8+3=7; i=7-9=8. Si vuoe cacoare i grado di iperstaticità interno generato daa presenza dei 4 campi chiusi,, 3 e 4. Fig. 58. I vincoi interni presenti sono tutti appicati ae aste, non esistono vincoi di nodo, cioè cerniere che coegano contemporaneamente più di due eementi.

62 6 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni desso, separatamente per ogni campo, dobbiamo vautare i gradi di ibertà reativi (gr) concessi dai vincoi singoari appartenenti a campo stesso. La difficotà consiste ne fatto che esistono vincoi che sono comuni a più campi. In particoare i carreo appartiene sia a campo che a campo 3. La cerniera appartiene a campo e a campo, i quadripendoo appartiene ai due campi e 4, mentre i bipendoo se o condividono i campo 3 ed i campo 4. I gradi di ibertà concessi da ciascuno di questi vincoi a chi va attribuito? tutti i campi comuni, oppure no? I vincoi interni non appartenenti a nodi (carreo, quadripendoo, pattino, bipendoo e cerniera con gm=) vanno assegnati sotanto ad uno dei campi comuni di appartenenza. Pertanto, presi isoatamente, i quattro campi possono essere quei iustrati in Fig.58.. I grado di iperstaticità interno compessivo è dato daa somma dee iperstaticità di o- gni singoo campo, pertanto ii i e i 8 i i i e 6 Si consideri a struttura di Fig. 59. in cui g=8; gm=gme+gmi+gmc=6+7+=3; i=8-3=5. Si vuoe cacoare i grado di iperstaticità interno generato daa presenza dei 4 campi chiusi,, 3 e 4. desso, separatamente per ogni campo, dobbiamo vautare i gradi di ibertà reativi (gr) concessi dai vincoi singoari appartenenti a campo stesso. I vincoi interni presenti sono, questa vota, di due tipi: vincoi appicati ae aste e vincoi di no- Fig. 59. do, cioè sono presenti nei nodi dee cerniere che coegano contemporaneamente più di due eementi (G e D). La cerniera ne nodo G appartiene ai 4 campi e compessivamente concede 3 gr. La cerniera ne nodo D appartiene ai campi 3 e 4 e concede gr. Le cerniere nodai vanno assegnate a tanti campi comuni quanti sono i gradi di ibertà reativi che concedono. In Fig.6. vengono mostrati i quattro campi presi isoatamente. I bipendoo in I appartiene a soo campo, a cerniera in M appartiene a soo campo, i quadripendoo in H appartiene ai campi e 4, e va assegnato a discrezione ad uno dei due campi in comune. La cerniera nodae in G (gr=3) è stata assegnata ai campi comuni, 3 e 4, mentre a cerniera nodae in D (gr=) è stata assegnata ai campi comuni 3 e 4. I grado di iperstaticità interno compessivo è dato daa somma dee iperstatici- Fig. 6.

63 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni 63 tà di ogni singoo campo, pertanto ii i e i 5 i i i e 3 Esempio 8 Si vogia individuare i grado di iperstaticità interno ed esterno dea struttura di Fig.6.a e definire una possibie struttura principae isostatica Fig.6. Si cominci con i determinare i grado di iperstaticità totae. I sistema totamente svincoato risuta formato da 4 pezzi rigidi (Fig.6.b), per cui i grado di iberta è g=. I vincoi esterni in e hanno un grado di motepicità: gme=6. I vincoi interni in F, D, E e H hanno un grado di motepicità: gmi=9. La struttura assegnata è una struttura puriconnessa con gc=, mentre a struttura svincoata non o è più, e pertanto sarà gmc=. Essendo gm=gme+gmi+gmc=5, a struttura è 3 vote iperstatica: i=3. ndiamo, adesso, aa ricerca de grado di iperstaticità interno i i per ciascuno dei due campi chiusi dea struttura. Fig. 6. Fig. 63. Primo campo chiuso (CFGD) I carreo in F è interamente di pertinenza di questo campo. In D è presente una cerniera nodae che consente gr, essa pertanto deve essere assegnata ad entrambi i campi comuni. I vincoi interni a campo consentono compessivamente gr=3, quindi i campo è isostatico: i=. Secondo campo chiuso (EDGH) La cerniera in H è interamente di pertinenza di questo campo. In D è presente una cerniera nodae che consente gr, essa pertanto deve essere assegnata ad entrambi i campi comuni. I vincoi interni a

64 64 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni campo consentono compessivamente gr=, quindi i campo è iperstatico: i=. I grado di iperstaticità interno totae si ottiene sommando e iperstaticità interne dei singoi campi, quindi a struttura assegnata ha iperstaticità interna e esterne ii i e i 3 i i i e Per ottenere a S.P.I. vanno eiminati due vincoi sempici esterni e un vincoo sempice interno appartenenti a soo campo EDGH. In Fig. 64. è riportata una possibie sceta per a S.P.I. Le incongruenze sono a trasazione orizzontae reativa dei due punti H che erano coegati daa cerniera ( ), a trasazione orizzontae assouta de punto ( Fig. 64. ) e a rotazione dea medesima sezione ( 3 ). Per trovare e incognite iperstatiche basta cacoare e incongruenze con i Teorema dea forza unitaria ed eguagiare a zero. Esempio 9 Si vogia individuare i grado di iperstaticità interno ed esterno dea struttura di Fig.65.a e definire una possibie struttura principae isostatica Fig. 65. Si cominci con i determinare i grado di iperstaticità totae. I sistema totamente svincoato risuta formato da pezzi rigidi (Fig.65.b), per cui i grado di iberta è g=6.

65 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni 65 I vincoi esterni in e hanno un grado di motepicità: gme=5. I vincoi interni in F, H e G hanno un grado di motepicità: gmi=5. La struttura assegnata è una struttura puriconnessa con gc=, mentre a struttura svincoata non o è più, e pertanto sarà gmc=. Essendo gm=gme+gmi+gmc=, a struttura è 4 vote iperstatica: i=4 ndiamo, adesso, aa ricerca de grado di iperstaticità interno i i per ciascuno dei due campi chiusi dea struttura. Primo campo chiuso (CFGD) Fig. 66. Secondo campo chiuso (EDGH) La cerniera in F è interamente di pertinenza di questo campo. In G è presente un quadripendoo che consente gr. I quadripendoo è in comune ai due campi, ma non essendo un vincoo di nodo esso deve essere assegnato, a discrezione, soo a uno dei due campi. Se o assegniamo a campo in oggetto i vincoi interni consentono compessivamente gr=3, quindi i campo è isostatico: i=. Fig. 67. La cerniera in H è interamente di pertinenza di questo campo. I quadri pendoo in G o abbiamo assegnato a primo campo, per cui adesso non va più preso in considerazione. I vincoi interni a campo consentono compessivamente gr=, quindi i campo è iperstatico: i=. I grado di iperstaticità interno totae si ottiene sommando e iperstaticità interne dei singoi campi, quindi a struttura assegnata ha iperstaticità interne e esterne ii i e i 4 i i i e Per ottenere a S.P.I. vanno eiminati vincoi sempici esterni e vincoi sempici interni appartenenti a campo EDGH. In Fig. 68. è riportata una possibie sceta per a S.P.I.

66 66 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni Fig. 68. Le incongruenze sono a trasazione verticae e orizzontae reativa dei due punti H che erano coegati daa cerniera ( 4 e 3 ), a trasazione orizzontae assouta de punto ( ) e a trasazione verticae assouta dea medesima sezione ( ). Per trovare e incognite iperstatiche basta cacoare e incongruenze con i Teorema dea forza unitaria ed eguagiare a zero. Esempio Si vogia individuare i grado di iperstaticità interno ed esterno dea struttura di Fig.69.a e definire una possibie struttura principae isostatica Fig. 69. Si cominci con i determinare i grado di iperstaticità totae. I sistema totamente svincoato risuta formato da 6 pezzi rigidi (Fig.69.b), per cui i grado di iberta è g=8. In E, e si ha una sovrapposizione di vincoi. In E agisce una cerniera nodae e contemporaneamente un carreo, in e agiscono in sovrapposizione una cerniera interna ed una esterna.

67 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni 67 I vincoi esterni in e hanno un grado di motepicità: gme=4. I vincoi interni in, I e hanno ciascuno un grado di motepicità: gmi=. La cerniera in E ha gmi 3 4, mentre i carreo in sovrapposizione ha gmi=. La cerniera in C ha gmi 3 4, mentre i quadripendoo in D ha un grado di motepicità gmi=. La struttura assegnata è una struttura puriconnessa con gc=4, mentre a struttura svincoata non o è più, e pertanto sarà gmc=. In Fig. 7., per maggiore chiarezza, vengono indicati i vincoi in modo tae da evidenziare e sovrapposizioni ed i corrispondenti gradi di motepicità Fig. 7. Essendo gm=gme+gmi+gmc=4+6+= a struttura è vote iperstatica: i=. ndiamo, adesso, aa ricerca de grado di iperstaticità interno i i per ciascuno dei quattro campi chiusi dea struttura. Le cerniere, ed I sono di pertinenza dei rispettivi campi, o stesso vae per i quadripendoo. I carreo, invece, è in comune a due campi, quindi va attribuito sotanto ad uno di essi. La cerniera nodae E concede gr= quindi essa va attribuita ad entrambi i campi in comune. naogamente a cerniera nodae C concede gr= ed essa va attribuita ad entrambi i campi in comune. In Fig. 7. sono iustrati i 4 campi isoati con i rispettivi vincoi interni di attribuzione ed i reativo gr e conseguente grado di iperstaticità. Fig. 7.

68 68 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni I grado di iperstaticità interno totae si ottiene sommando e iperstaticità interne dei singoi campi: i i =++-=, quindi a struttura assegnata ha iperstaticità, una interna e esterna ii i e i i i i e In reatà a struttura di Fig. 65. è una struttura ipercinestatica con due abiità e tre i- perstaticità. Ciò scaturisce da fatto che i campo DEC presenta due abiità interne (i i =-). Poiché, in una struttura ipercinestatica, ad ogni abiità non riveata (da conto gobae i sistema risuta iperstatico) corrisponde sempre una eguae iperstaticità, vuo dire che i sistema deve presentare due vincoi sovrabbondanti in più rispetto a quei individuati daa contabiità generae. La struttura quindi non è risovibie in quanto i sistema di equazioni è in parte indeterminato ed in parte impossibie. La souzione è determinabie sotanto se vengono eiminati i vincoi inefficaci (e abiità) e ciò è possibie ad es. sopprimendo i quadripendoo Fig. 7. Fig. 7. In questo caso è g=5, gm=gme+gmi+gmc=4+5+=9 a struttura è 4 vote iperstatica: i=4. Ripetendo i soiti ragionamenti sui campi isoati (Fig. 73.) si perviene a risutato che i sistema presenta sotanto 3 iperstaticità interne Fig. 73.

69 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni 69 ii i e i 4 i i i e 3 Per ottenere a S.P.I. vanno eiminati un vincoo esterno e 3 vincoi sempici interni: appartenenti a campo DGHE ed uno a campo CEF. Potrebbero essere eiminati ad es. a cerniera in G ed i carreo che i campo DGHE ha in comune con i campo EHIF. Come vincoo esterno basta trasformare in carreo una dee due cerniere in o. In Fig.74. è riportata una possibie sceta per a S.P.I. Le incongruenze sono a trasazione verticae e a rotazione reativa dee due sezioni in G che erano coegate daa cerniera ( e 3 ) e a trasazione orizzontae reativa dee due sezioni in E che erano coegate da carreo ( Fig. 74. ) e a trasazione assouta de punto ( 4 ). Per trovare e incognite iperstatiche basta cacoare e incongruenze con i Teorema dea forza unitaria ed eguagiare a zero. Esempio Si vogia effettuare anaisi strutturae de sistema di Fig.75.a Fig.75. Si cominci con i determinare i grado di iperstaticità totae. I sistema totamente svincoato risuta formato da pezzi rigidi (Fig.75.b), per cui i grado di iberta è g=6.

70 7 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni In agisce una cerniera nodae interna e contemporaneamente un carreo esterno, in un incastro e in C un pattino. I vincoi esterni in e hanno un grado di motepicità: gme=3+=4. I vincoi interni in e C hanno ciascuno gradi di motepicità: gmi=+=4. La struttura assegnata è una struttura puriconnessa con gc=, mentre a struttura svincoata non o è più, e pertanto sarà gmc=. Essendo gm=4+4=8 >6 i sistema è vote iperstatico. La presenza dea connessione comporta una iperstaticità interna, pertanto ii i e i i i i e Per ottenere a struttura principae isostatica occorre sopprimere obbigatoriamente vincoo sempice esterno ed vincoo sempice interno a campo. Con riferimento ai vincoi esterni si può eiminare i carreo, mentre, con riferimento ai vincoi interni a campo si può trasformare i pattino in C in carreo (Fig.76.). Fig. 76. Va sottoineato che e reazioni dei vincoi interni soppressi agiscono sempre in coppia, sono, a due a due, uguai e contrarie e sono appicate in corrispondenza dei due punti che prima erano cuciti insieme da vincoo. L atra particoarità è che a soppressione dei vincoi interni ibera sempre degi spostamenti e dee rotazioni di tipo reativo e non più assouto come ne caso dei vincoi esterni. La soppressione de carreo in ha reso possibie o spostamento verticae assouto, mentre a sostituzione, in C, de pattino con i carreo ha reso possibie a rotazione reativa ( ricordiamo che e incongruenze, cioè gi spostamenti consentiti con a soppressione dei vincoi, hanno sempre a medesima direzione dee incognite iperstatiche). Dobbiamo adesso ricercare quei particoari vaori dee incognite iperstatiche per cui a S.P.I. si comporti esattamente come a struttura iperstatica di partenza, cioè dobbiamo trovare X tae che sia soddisfatta equazione di congruenza, ovvero, in forma scaare

71 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni 7 Si tratta adesso di scrivere e equazioni costitutive con i Teorema dea Forza Unitaria ed esprimere e due incongruenze, e in funzione dei carichi noti e dee incognite iperstatiche X e X. ta fine associamo aa S.P.I. e due strutture ausiiarie di Fig. 77. Fig. 77. Si ricorda che ne caso in cui si vogiano vautare rotazioni reative tra due punti, in essi, nea struttura ausiiaria, vanno appicate due coppie unitarie opposte. Si scrivano adesso e equazioni costitutive generaizzate R Q Qdx Q dx s s R Q Qdx Q dx s s Essendo presenti cedimenti vincoari, carichi meccanici e carichi termici, e due equazioni non subiscono acuna sempificazione. Per espicitare e incongruenze occorre trovare i vettori Q, e nea struttura reae (S.P.I.) ed i vettori Q, R, Q ed R rispettivamente nee due strutture ausiiarie e. Struttura ausiiaria Poiché a struttura ausiiaria è una struttura puriconnessa, otre a sostituire i vincoi esterni con e rispettive reazioni incognite, si apra i campo, eiminando i carreo, e si sostituisca i vincoo soppresso con a coppia di reazioni interne. V C. Quindi si scrivano e si risovano e Fig. 78.

72 7 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni equazioni di equiibrio dea struttura parziamente svincoata (Fig. 78.). F x ; H F y ; V M ; M ( ) M ; VC H V V C M R H V M V Le caratteristiche dea soecitazione nei vari tratti, definiti preventivamente nea struttura iperstatica di partenza, sono Q Q Q Q Q C CD D C x x x h x h / cos H Q V ; C V xm x H Q V V C ; DC V ( x) VCxM ( x) V C Q ; D VC VC cos Q V Csen ; C V Cxsen Struttura ausiiaria Poiché a struttura isostatica è una struttura puriconnessa, otre a sostituire i vincoi esterni con e rispettive reazioni incognite, si apra i campo, eiminando i carreo, e si sostituisca i vincoo soppresso con a coppia di reazioni interne. Quindi si scrivano e equazioni di equiibrio dea struttura parziamente svincoata (Fig. 79.).

73 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni 73 Fig. 79. F x ; H F y ; V M ; M ( ) M ; VC Da cui si ricavano e reazioni H V M V C R H V M V Le caratteristiche dea soecitazione nei vari tratti sono Q Q Q Q Q C CD D C x x x h x h / cos H Q V ; C Vx M H V C Q V DC V C ; Q D ; V ( x) M VCx VC x cos VC cos sen Q V C C sen ; VC xsen sen x Struttura principae isostatica Possiamo iniziare subito a riempire i vettori e. I vettore dei cedimenti vincoari ha tante componenti quante sono e reazioni dei vincoi esterni nea struttura iperstatica. Ciascuna componente rappresenta o spostamento de punto vincoato che fa compiere avoro aa corrispondente reazione vincoare. Seguendo ordine presceto per i vettori R ed R avremo

74 74 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni x y ; y w I vettore dee deformazioni di origine termica ha e medesime dimensioni di Q e Q e contiene, per ogni tratto di variabiità dee caratteristiche dea soecitazione, e tre deformazioni unitarie, e k ts ti m ts ti k H Θ C x ΘDC x Θ Θ D C ; DC ; D ; DC ; x h Θ DC x h / cos H Per i cacoo de vettore Q, essendo a struttura principae isostatica una struttura puriconnessa, otre a sostituire i vincoi esterni con e rispettive reazioni incognite, occorre aprire i campo eiminando i carreo e sostituire i vincoo soppresso con a coppia di reazioni interne. Si scrivano e equazioni di equiibrio dea struttura parziamente svincoata (Fig. 8.). F x ; H F y ; V X q 3q M ; X M ( ) M ; X VC Fig. 8. da cui si ricavano e reazioni H V qx 3q M X X VC

75 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni 75 Le caratteristiche dea soecitazione nei vari tratti sono Q x C Q x DC Q QD x h Q C x h / cos H H Q V C ; Q V DC VC qx ; Vx M qx V ( x) VCxM VC X VC cos Q ; Q V D C C sen ; VCX VCsen x X

76 76 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni..3 I Metodo degi spostamenti o de Equiibrio I metodo dee forze, impostato secondo a strategia dea struttura principae isostatica, è un metodo abbastanza sempice da punto di vista concettuae, ma estremamente compesso e macchinoso da queo operativo. a evidente difficotà di individuare in modo corretto ed immediato a struttura principae isostatica, si associa quea reativa aa scrittura dee equazioni costitutive ed aa souzione de sistema di equazioni finae. Le consuete strutture egate ae unità abitative ad es. possono anche risutare centinaia di vote iperstatiche, per cui approccio visto in precedenza risuta de tutto proibitivo ed improponibie su piano pratico. I secondo metodo generae d anaisi si propone di ridurre i numero dee incognite de probema in modo da ottenere un sistema risovente finae più compatto ed abbordabie. Si consideri a struttura Fig.75.. Fig. 75. Essa rappresenta un bocco di peso P +P da appendere a soffitto tramite dei tiranti. I bocco, per e sue dimensioni e per i materiae di cui è fatto, si può considerare indeformabie rispetto ae biee 3. Si vuoe stabiire e dimensioni dei tiranti affinché siano in grado di resistere, con un opportuno grado di sicurezza, a peso proprio de bocco. I sistema svincoato ha g=3, mentre gm=gme+gmi+gmc=. La struttura è iperstatica con i=gm-g=8. Se si adoperasse i Metodo dee Forze, e incognite de probema sarebbero e 8 reazioni dei tiranti sovrabbondanti. Qui vogiamo introdurre una nuova metodoogia che consentirà una sostanziae riduzione de numero dee incognite: i Metodo degi spostamenti (deformazioni) e de equiibrio. Ricordiamo che in questo metodo e incognite sono spostamenti (o deformazioni) ed i sistema risovente è formato da e- quazioni di equiibrio. soito, per far comparire e incognite spostamento a interno dee equazioni di equiibrio occorre adoperare e equazioni costitutive. ssumiamo come incognite i tre parametri agrangiani che definiscono i moto rigido de bocco vincoato 3 In questo caso e biee sono dei fii, cioè degi eementi in grado di contrastare sotanto azioni di trazione. I fii sono dee biee monoatere che offrono contrasto sotanto in una direzione.

77 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni 77 3 Dobbiamo trovare tra gi infiniti vaori di i vaore esatto degi spostamenti che subisce i punto sotto azione dee forze appicate aa struttura. Chiamiamo con e e- ongazioni che subiscono e varie biee Non c è acun dubbio che i vaore dee eongazioni è funzione di, e aste, a causa degi spostamenti varieranno a oro unghezza di quantità ben precise di modo tae da rimanere sempre attaccate ai punti, C, D, E, F, H, M, N, O. Vediamo di scrivere, attraverso considerazioni puramente geometriche, e equazioni di compatibiità tra e C (48.) La matrice di compatibiità C ha tante righe quante sono e aste e tante coonne quanti sono i parametri di Lagrange. Le sue coonne contengono e eongazioni dee varie biee (o fii) a causa dei parametri posti a turno uno uguae ad e gi atri nui 4. Cominciamo a riempire a prima coonna considerando ciò che accade ae varie aste quando e 3 (Fig. 76.a). Fig. 76. Le aste verticai ruotano sotanto e non subiscono acun aungamento. Le aste incinate, invece, variano a oro unghezza di una certa quantità che è possibie stimare sen. In reatà (Fig.76.b) eongazione sarebbe sen, ma essendo e angoo di rotazione trascurabie, i vaore sen si approssima moto bene a vaore reae dea 4 Contrariamente a caso dei cinematismi, a matrice C questa vota ega spostamenti rigidi a deformazioni

78 78 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni deformazione de asta. Considerando negativi gi accorciamenti 5, a prima coonna trasposta dea matrice di compatibiità sarà sen sen Riempiamo adesso a seconda coonna considerando ciò che accade ae varie aste quando e 3 (Fig. 77.a). Fig. 77. Le aste verticai si aungano tutte di. Le aste incinate, invece, variano a oro unghezza di una certa quantità che è possibie stimare cos. In reatà (Fig. 77.b) eongazione sarebbe cos, ma essendo e angoo di rotazione trascurabie, i vaore cos si approssima moto bene a vaore reae dea deformazione de asta. La seconda coonna trasposta dea matrice di compatibiità sarà cos cos Riempiamo adesso a terza coonna considerando ciò che accade ae varie aste quando 3 e (Fig. 78.a). Le aste verticai si aungano di quantità che variano inearmente a variare dea distanza da centro di rotazione. Le aste incinate, invece, variano a oro unghezza di una certa quantità che è possibie cacoare proiettando su asse de asta deformata a componente verticae di spostamento. Tae proiezione si effettua con gi stessi criteri e e stesse considerazioni fatte a proposito dea Fig.77.b. 5 In base a fatto che e aste incinate possono accorciarsi, per esse non è possibie adoperare dei fii ma dee biee a comportamento biaterae.

79 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni 79 Fig. 78. La terza coonna trasposta dea matrice di compatibiità sarà d d 3d 4d 5d 6d 7d 8d 9d dcos 9dcos La reazione di compatibiità competa è d d 3 3d 4 4d 5d 5 6 6d 7 7d 3 8 8d 9d 9 sen cos d cos sen cos 9d cos (49.) I passo successivo è queo dea scrittura dee equazioni di equiibrio. ta fine iberiamo a struttura e sostituiamo i vincoi esterni con e oro reazioni incognite. d ogni biea (o fio) corrisponde una reazione agente nea direzione de asse dea biea medesima (Fig. 79.)

80 8 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni Fig. 79. I sistema svincoato possiede sotanto i 3 gradi di ibertà di moto assouto pertanto e 3 equazioni di equiibrio corrispondenti sono F x ; RsenαR sen α ; F y ; RR R3 R4 R5 R6 R7 R8 R9 R cosαr cosαp P ; M ; Rd Rd 3Rd 3 4Rd 4 5Rd 5 6Rd 6 7Rd 7 5 8R8d 9R9d R cosαd 9R cosαd 5Pd Pd ; 3 In forma matriciae possiamo scrivere R R R 3 R4 senα senα R 5 cos cos R6 P P α α d d 3d 4d 5d 6d 7d 8d 9d dcos 9dcos R 7 5 α α 5Pd Pd R 3 8 R 9 R R Come è possibie osservare a matrice dei coefficienti dee reazioni incognite (matrice di equiibrio) non è atro che a matrice di compatibiità trasposta, pertanto e equazioni di equiibrio in forma matriciae si esprimono

81 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni 8 C RP (5.) Sappiamo che in un asta sottoposta a sforzo normae N nasce una eongazione che è proporzionae ao sforzo stesso e a costante di proporzionaità è a cedibiità estensionae /E. Di contro, se si conosce di quanto si aunga o si accorcia un asta è possibie trovare entità deo sforzo normae capace di provocare quea deformazione sempicemente motipicando i vaore de eongazione per a rigidezza estensionae E/. Pertanto è possibie esprimere in forma matriciae a reazione che ega gi sforzi normai R 6 nee aste con i vaore dee eongazioni ne seguente modo R D (5.) Dove a matrice D (matrice dee rigidezze dee aste) è una matrice diagonae che contiene e rigidezze estensionai E/ di tutte e biee. questo punto intero set di equazioni è competo C R D C R P Equazioni di compatibiità Equazioni costitutive Equazioni di equiibrio Si vuoe trovare que particoare vaore dee incognite che, otre a soddisfare e equazioni di compatibiità, soddisfi anche e equazioni di equiibrio. Cioè a souzione de probema è data da que particoare vaore di che fa nascere nee aste dee reazioni R in equiibrio con i carichi P o. 6 Lo sforzo normae in una biea (fio) coincide sempre con a sua reazione

82 8 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni Sostituiamo e equazioni di compatibiità nee equazioni costitutive e quest utime in quee di equiibrio CDC P o Ponendo CDC K (matrice dee rigidezze dea struttura) i sistema risovente finae è Da cui si estrae a souzione K P o (5.) K P o Ottenuti gi spostamenti incogniti, con una sostituzione a indietro, è possibie cacoare i vaore dee eongazioni e quindi anche queo dee reazioni vincoari R. I sistema di equazioni 45. è un sistema di 3 equazioni in 3 incognite che si può risovere agevomente anche ricorrendo a metodo di sostituzione di Gauss. Lo stesso probema affrontato con i metodo dee forze avrebbe prodotto un sistema risovente di 8 equazioni in 8 incognite. Da notare che aumentando i numero dee aste che sorreggono i bocco rigido e incognite rimangono sempre 3, mentre e incognite iperstatiche crescerebbero nea misura di (n-3), essendo n i numero compessivo dee biee. I risparmio in termini di equazioni finai è evidente, tuttavia, approccio che abbiamo seguito per a scrittura dee equazioni di compatibiità e dee equazioni costitutive è particoare de esempio trattato e non generaizzabie ad atre tipoogie strutturai. I Metodo degi spostamenti in forma competamente generaizzata sarà trattato ne capitoo dedicato a Metodo degi Eementi Finiti...4 Metodi misti e metodi iterativi, retrospettiva storica Ne corso de tempo si è cercato di porre rimedio ae principai difficotà incontrate nea souzione dei sistemi iperstatici. Riduzione de numero dee incognite. Sempificazione nea scrittura dee equazioni di equiibrio 3. Sempificazione nea scrittura dee equazioni costitutive 4. Sempificazione nea scrittura dee equazioni di compatibiità 5. Riduzione dee difficotà operative egate aa souzione di grossi sistemi di equazioni ineari primo probema si è dato risposta con adozione de Metodo degi spostamenti (i quae non è correato a grado di iperstaticità e, come vedremo, è appicabie anche ai sistemi isostatici) e con introduzione di sempificazioni comportamentai dee strutture. La più importante di queste sempificazioni è stata quea di trascurare a deformazione assiae e tagiante dee travi. In una struttura monodimensionae e deformazioni per fessione sono quee di gran unga più rievanti, pertanto considerare e aste inestensibii ed incapaci di scorrimento è una ipotesi più che eccettabie 7. 7 Si ricordi che ne ambito de Teorema dea forza unitaria ne cacoo de avoro interno si sono trascurati i termini reativi a avoro prodotto da tagio e dao sforzo normae proprio per questa insignificanza dee deformazioni presso (tenso) tagianti nei confronti di quee fessionai.

83 F. Cucco Lezioni di Scienza dee costruzioni 83 Con i Metodi misti si è cercato di automatizzare a scrittura dee varie equazioni e- sprimendoe in forma generaizzata e di sempice memorizzazione. I principai metodi misti sono i Metodo dee equazioni dei tre, quattro o cinque momenti ed i Metodo dee cinque rotazioni. 8 Tai metodi fanno anche uso de ipotesi di inestensibiità assiae dee travi. I principae imite di tai metodoogie è che non sono competamente generaizzabii, esistono tutta una serie di casi particoari (correati ad es. aa presenza di variazioni termiche e cedimenti dei vincoi) che danno uogo ad una petora di eccezioni che rendono aquanto confusa ed achimistica a souzione dei vari probemi ( basti pensare ai famigerati teai speciai di cui è piena gran parte di una etteratura tecnica ormai demodè). Un travogente successo hanno incontrato in passato i così detti metodi di riassamento, dovuti ad H. Cross (93) e G. Kani (956) che consentivano di arrivare aa souzione sviuppando iterativamente dee espressioni ricorsive a partire da particoari vaori numerici riportati direttamente suo schema geometrico dea struttura. Tai vaori, che si andavano progressivamente aggiornando ad ogni iterazione, consentivano, aa fine de procedimento, di cacoare e caratteristiche dea soecitazione a interno di una struttura inteaiata iperstatica (o isostatica) a magie rettangoari. nche per tai metodoogie vae i pesante imite dea non generaizzazione e dea conseguente poverizzazione in svariati metodi e sotto metodi utii ad aggirare caso per caso e varie particoarità. Si è arrivati aa quadratura de cerchio soo di recente con adozione de così detto Metodo degi Eementi Finiti: esso generaizza de tutto i Metodo degi Spostamenti e consente anche di impementaro, con reativa sempicità, in codici di cacoo automatico che fanno uso de agebra dee matrici. 8 Spesso, erroneamente, in etteratura i metodo dee equazioni degi n momenti viene chiamato metodo dee forze ed i metodo dee 5 rotazioni metodo dee deformazioni. In essi, tuttavia, e incognite si riducono a soe grandezze meccaniche o a soe grandezze cinematiche sotanto in certi casi particoari.