Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Anno Accademico 2012/2013 Meccanica Razionale

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1 orso di Laurea in Ingegneria Meccanica nno ccadeico 2012/2013 Meccanica azionae Noe... N. Matricoa... ncona, 11 gennaio Un punto P di assa si uove senza attrito su una guida verticae. Una oa di costante k > 0 o coega ad un punto Q dea guida, che a sua vota si uove sua guida con egge Q(t) = a sin 2 ω t, dove ω = k/. eterinare i oto di P, se questo inizia i suo oto da fero in corrispondenza di Q. 2. Un disco di raggio e centro rotoa senza strisciare su una guida orizzontae; i centro si uove a veocità costante v. Utiizzando a forua fondaentae dei oti rigidi, deterinare a veocità di un punto P de disco situato a distanza r < da centro. 3. acoare espicitaente i oento d inerzia di un quadrato di ato e assa rispetto ad una retta su cui giace un ato. Utiizzando sotanto questo dato, opportune considerazioni geoetriche ed i teorea di Hugens, risovere i probea seguente. M G F E Una figura piana è costituita da due quadrati oogenei di assa e da un terzo quadrato oogeneo di assa M disposti coe in figura. Tutti i quadrati hanno ato. eterinare a atrice d inerzia ne sistea di riferiento. Infine, quanto deve vaere M affinchè i sistea di riferiento (, ) indicato sia principae d inerzia?

2 4. Un asta di unghezza e assa M è vincoata a ruotare attorno a suo estreo che è fisso. Una seconda asta, di ugua unghezza e assa è incernierata in entre i suo estreo scorre senza attrito ungo una guida orizzontae passante per.,m, = Una oa di costante k > 0 coega estreo dea seconda asta con estreo fisso dea pria. I oto de sistea si svoge su un piano verticae. Scrivere e equazioni di Lagrange ed espicitare e reazioni vincoari interne ed esterne utiizzando e equazioni cardinai dea dinaica (è sufficiente ipostazione corretta, senza sostituire dae equazioni de oto). 5. Un asta oogenea di unghezza 2 e assa si uove ne piano verticae (, ). I suo punto edio scorre sua guida verticae = a, e asta è ibera di ruotare attorno a. ue oe di ugua costante eastica k > 0 coegano gi estrei de asta e rispettivaente con a proiezione ortogonae 1 di su asse e con origine. a 1 acoare e configurazioni di equiibrio e e reazioni vincoari a equiibrio, e studiare a stabiità dee configurazioni di equiibrio trovate.

3 orso di Laurea in Ingegneria Meccanica nno ccadeico 2012/2013 Meccanica azionae Noe... N. Matricoa... ncona, 11 gennaio Un punto P di assa si uove senza attrito su una guida orizzontae. Una oa di costante k > 0 o coega ad un punto Q dea guida, che a sua vota si uove sua guida con egge Q(t) = a sin 2 ω t, dove ω = k/, ed una forza viscosa di costante λ < 2 k si oppone a oto. eterinare i oto di P, se questo inizia i suo oto da fero in corrispondenza di Q. 2. ue quadrati e MHK di ato si uovono ne piano verticae (, ) coe in figura. I vertici ed M scorrono su asse ed i vertice su asse. I due quadrati possono inotre ruotare attorno a vertice coune. acoare e traiettorie poari de quadrato MHK. H K M 3. Un asta oogenea di unghezza 2 e assa è vincoata a ruotare attorno a suo estreo che scorre senza attrito su una guida orizzontae. 2, Una oa di costante k > 0 coega estreo con i punto fisso dea guida. I oto de sistea si svoge su un piano verticae. Scrivere e equazioni di Lagrange ed espicitare e reazioni vincoari utiizzando e equazioni cardinai dea dinaica (è sufficiente ipostazione corretta, senza sostituire dae equazioni de oto).

4 4. acoare espicitaente i oento d inerzia di un disco di raggio e assa rispetto ad una retta diaetrae. Utiizzando sotanto questo dato, opportune considerazioni geoetriche ed i teorea di Hugens, risovere i probea seguente. M Una figura piana è costituita da due dischi oogenei di assa e da un terzo disco oogeneo di assa M disposti coe in figura. Tutti i cerchi hanno raggio. eterinare a atrice d inerzia ne sistea di riferiento. Infine, quanto deve vaere M affinchè i sistea di riferiento (, ) indicato sia principae d inerzia? 5. Un asta oogenea di unghezza 2 e assa si uove ne piano IZZNTLE (, ). I suo punto edio scorre sua guida verticae = a, e asta è ibera di ruotare attorno a. ue oe di ugua costante eastica k > 0 coegano gi estrei de asta e rispettivaente con a proiezione ortogonae 1 di su asse e con con a proiezione ortogonae 1 di su asse. a 1 1 acoare e configurazioni di equiibrio e e reazioni vincoari a equiibrio, e studiare a stabiità dee configurazioni di equiibrio trovate.

5 orso di Laurea in Ingegneria Meccanica nno ccadeico 2012/2013 Meccanica azionae Noe... N. Matricoa... ncona, 11 gennaio Un punto P di assa si uove senza attrito su una guida verticae. Una oa di costante k > 0 o coega ad un punto Q dea guida, che a sua vota si uove di oto rettiineo unifore con veocità v sua guida e che a istante iniziae si trova in. eterinare i oto di P, se questo inizia i suo oto da fero in corrispondenza di Q. 2. Un quadrato di ato L si uove su una guida orizzontae; i vertice scorre senza attrito sua guida a veocità costante v ed i quadrato ruota attorno ad con veocità angoare ω = v/l. Utiizzando a forua fondaentae dei oti rigidi, deterinare a veocità de centro de quadrato Q. 3. acoare espicitaente i oento d inerzia di un quadrato di ato e assa rispetto ad una retta su cui giace un ato. Utiizzando sotanto questo dato, opportune considerazioni geoetriche ed i teorea di Hugens, risovere i probea seguente. M G F E Una figura piana è costituita da due quadrati oogenei di assa e da un terzo quadrato oogeneo di assa M disposti coe in figura. Tutti i quadrati hanno ato. eterinare a atrice d inerzia ne sistea di riferiento. Infine, quanto deve vaere M affinchè i sistea di riferiento (, ) indicato sia principae d inerzia?

6 4. Un asta di unghezza e assa M è vincoata a ruotare attorno a suo estreo che è fisso. Una seconda asta, di ugua unghezza e assa è incernierata in entre i suo estreo scorre senza attrito ungo una guida verticae passante per. =,M, Una oa di costante k > 0 coega estreo dea seconda asta con estreo fisso dea pria. I oto de sistea si svoge su un piano verticae. Scrivere e equazioni di Lagrange ed espicitare e reazioni vincoari interne ed esterne utiizzando e equazioni cardinai dea dinaica (è sufficiente ipostazione corretta, senza sostituire dae equazioni de oto). 5. Un asta oogenea di unghezza 2 e assa si uove ne piano IZZNTLE (, ). I suo punto edio scorre sua guida verticae = a, e asta è ibera di ruotare attorno a. ue oe di ugua costante eastica k > 0 coegano gi estrei de asta e rispettivaente con a proiezione ortogonae 1 di su asse e con i punto (a, 0) de asse. a 1 acoare e configurazioni di equiibrio e e reazioni vincoari a equiibrio, e studiare a stabiità dee configurazioni di equiibrio trovate.

7 orso di Laurea in Ingegneria Meccanica nno ccadeico 2012/2013 Meccanica azionae Noe... N. Matricoa... ncona, 11 gennaio Un punto P di assa si uove senza attrito su una guida orizzontae. Una oa di costante k > 0 o coega ad un punto Q, che a sua vota si uove di oto rettiineo unifore con veocità v sua guida, ed una forza viscosa di costante λ < 2 k si oppone a oto. eterinare i oto di P, se questo inizia i suo oto da fero in corrispondenza di Q, che si trova ne origine a istante iniziae. 2. ue quadrati e MHK di ato si uovono ne piano verticae (, ) coe in figura, con i vertici ed M che scorrono su asse a veocità costante v. I quadrato ruota attorno a vertice con veocità angoare costante ω = v/ ed i due quadrati ruotano attorno a vertice coune. acoare e traiettorie poari de quadrato MHK. H K M 3. Un asta oogenea di unghezza 2 e assa è vincoata a ruotare attorno a suo estreo che scorre senza attrito su una guida verticae. 2, Una oa di costante k > 0 coega estreo con i punto fisso dea guida. I oto de sistea si svoge su un piano verticae. Scrivere e equazioni di Lagrange ed espicitare e reazioni vincoari utiizzando e equazioni cardinai dea dinaica (è sufficiente ipostazione corretta, senza sostituire dae equazioni de oto).

8 4. acoare espicitaente i oento d inerzia di un disco di raggio e assa rispetto ad una retta diaetrae. Utiizzando sotanto questo dato, opportune considerazioni geoetriche ed i teorea di Hugens, risovere i probea seguente. M Una figura piana è costituita da due dischi oogenei di assa e da un terzo disco oogeneo di assa M disposti coe in figura. Tutti i cerchi hanno raggio. eterinare a atrice d inerzia ne sistea di riferiento. Infine, quanto deve vaere M affinchè i sistea di riferiento (, ) indicato sia principae d inerzia? 5. Un asta oogenea di unghezza 2 e assa si uove ne piano verticae (, ). I suo punto edio scorre sua guida verticae = a, e asta è ibera di ruotare attorno a. ue oe di ugua costante eastica k > 0 coegano gi estrei de asta e rispettivaente con origine e con con a proiezione ortogonae 1 di su asse. a 1 acoare e configurazioni di equiibrio e e reazioni vincoari a equiibrio, e studiare a stabiità dee configurazioni di equiibrio trovate.