1 Oscillazioni libere (oscillatore armonico)

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1 C. d. L. Ingegneria Inforatica e delle Telecounicazioni A.A. / Fisica Generale PROCESSI OSCILLATORI Oscillazioni liere (oscillatore aronico) Siao in presenza di un sistea la cui equazione che esprie il principio della F a è del tipo dinaica N kiˆ + g + N a () ki g Proiettando sull'asse si ottiene: k () che è un'equazione che aette soluzioni del tipo Derivando la (3) si ottiene: Iponiao le condizioni iniziali: per ( ω ϕ ) t () Acos t+ (3) t () Aω sin ω t+ ϕ (4) t () Aω cos ω t+ ϕ (5) t sia e. Dalla (4) segue: entre dalla (3), con la (6) si ha () Aω sin ϕ ϕ (6) () Acos() A (7) La soluzione è quindi: Sostituendo la (8) e la (9) nella () si ottiene: ( ω ) () t cos t (8) () t ω cos ω t (9) Oscillatore Aronico - Risonanza -

2 C. d. L. Ingegneria Inforatica e delle Telecounicazioni A.A. / Fisica Generale k+ ω () Dalla () si vede che il sistea ha una pulsazione propria, ω, data da ω k. A ω k questa pulsazione corrispondono la frequenza ν π π e il periodo T π ν k L'energia potenziale del sistea è data da U k k cos( ωt) k cos ( ωt) () entre l'energia cinetica, utilizzando le (4), (6) e (7) è data da Dalla () ricaviao T sin ( ) sin ( ) ω ω t ω ω t () k ω, col che la () si può riscrivere: T k sin ( ωt) (3) Utilizzando la () e la (3) si vede che la soa delle energie cinetica e potenziale è E T + U k sin ( ωt) + k cos ( ωt) k t (4) Oscillatore Aronico - Risonanza -

3 C. d. L. Ingegneria Inforatica e delle Telecounicazioni A.A. / Fisica Generale 5 A -A A v v 6 A -A A v 3 v 7 v A 4 A v 8 A A o t ET+U U k cos ωt U a + cos ωt T k sin ωt T a t cos ωt Oscillatore Aronico - Risonanza - 3

4 C. d. L. Ingegneria Inforatica e delle Telecounicazioni A.A. / Fisica Generale Oscillazioni sorzate Se sul sistea agisce anche una forza resistente che dipende dalla velocità (resistenza di tipo viscoso) f v, si ha N f kiˆ v + g + R a (5) ki g la cui proiezione sull'asse fornisce k + + k (6) che è un'equazione differenziale lineare a coefficienti costanti. Cerchiao soluzioni del tipo e γe γ e γ t γ t γ t Sostituendo nella (6) si ha: γ t Essendo e > t, deve quindi essere ( γ γ ) γ t e + + k (7) γ γ k + + (8) ovvero γ deve essere soluzione della (8), e sarà quindi dato da k, γ ± (9) 4 Si hanno tre diversi casi a seconda che sia il discriinante k > <. Se > (grandi sorzaenti), γ e γ sono reali e distinte, e negative. La soluzione dell'equazione del oto è γt γt t t t () Ae + Ae e Ae + Ae () Oscillatore Aronico - Risonanza - 4

5 C. d. L. Ingegneria Inforatica e delle Telecounicazioni A.A. / Fisica Generale. Se (sorzaento critico), γ e γ sono reali e coincidenti, e si ha γ γ. La soluzione dell'equazione del oto è () t e A + At () 3. Se < (piccoli sorzaenti), γ e γ sono iaginarie; si ha γ k ± ω, con i e ω ', i ' La soluzione dell'equazione del oto è: i t i t ω' ω' ( ) () t () e Ae + Ae (3) Sfruttando le forule di Eulero e iθ iθ cos θ + i sin θ ; e cos θ i sin θ si ottiene cos ' sin ' cos ' sin ' ( ω ω ) ( ω ω ) t e A t+ i t + A t+ i t Poniao ora A A Acosϕ ω e A + A cos ' t + i A A sin ω' t (4) + e i A A A sin ϕ ; si ha cos ' cos sin ' sin [ ω ϕ ω ϕ] t Ae t + t (5) da cui () cos ' ( ω ϕ) t Ae t+ (6) Queste sono oscillazioni sorzate con pulsazione k k ω ' < ω (7) Oscillatore Aronico - Risonanza - 5

6 C. d. L. Ingegneria Inforatica e delle Telecounicazioni A.A. / Fisica Generale La figura [D.Sette, Lezioni di Fisica, Ed. Veschi] rappresenta la funzione (t) per un oscillatore sorzato. Le curve II e III rappresentano due possiili risposte nel caso > (grandi sorzaenti); la curva IV rapprenta il caso (sorzaento critico), entre la curva I rappresenta il caso < (piccoli sorzaenti). Le curve tratteggiate che uniscono i assii e i inii della curva I sono chiaate inviluppo. 3 Oscillazioni forzate e Risonanza Se oltre alla forza elastica di richiao ed alla resistenza di tipo viscoso c'è anche un'altra forza di tipo alternativo espressa da F Fcos( ωt) i ˆ, il principio della dinaica si scrive coe N F F cos (ωt) î ˆ ki v + g + R + F cos( ωt) iˆ a f (8) ki ˆ g che proiettata sull'asse da + + k F cos( ωt) (9) Questa è una equazione differenziale lineare del II ordine, copleta, a coefficienti costanti. L'integrale generale della (9) è dato dall'integrale generale della equazione differenziale oogenea associata alla (9), ovvero + + k (3) Oscillatore Aronico - Risonanza - 6

7 C. d. L. Ingegneria Inforatica e delle Telecounicazioni A.A. / Fisica Generale più un integrale particolare della equazione copleta (9). L'integrale generale della (3) si risolve coe descritto al punto ), e rappresenta il coportaento transitorio (o transiente) del sistea dopo che viene perturato. A tepi lunghi questa coportaento sorzato scopare, e la soluzione della (9) la cerchiao nella fora che ha derivate t () X cos( ωt ϕ ) (3) t () ω X sin( ωt ϕ) (3) () cos t ω X ωt ϕ (33) Sostituendo le (3), (3) e (33) nella (9) si ottiene la seguente equazione: + ω Xcos ωt ϕ ωxsin ωt ϕ kxcos ωt ϕ Fcos ωt Usando le forule trigonoetriche di sottrazione, si ottiene: ( cos cos sin sin ) ( sin cos cos sin ) ω ω ϕ+ ω ϕ ω ω ϕ ω ϕ + X t t X t t + kx ( cosωt cosϕ+ sinωt sinϕ) F cos( ωt) raccogliendo e quindi separando i terini in cos( ω t) e sin ( ω t) si ottiene quindi: ( ω Xcosϕ ωxsin ϕ kxcosϕ F) cosωt ( ) ω X sinϕ ωx cosϕ+ kx sinϕ sinωt Si dividono ora tutti i terini per, e ricordando che k ω si ipone che la precedente equazione sia sepre soddisfatta, il che iplica che entrae la parentesi devono separataente essere uguali a ; si ottiene il seguente sistea di equazioni ovvero e le costanti ω F ω Xcosϕ+ Xsinϕ+ ω Xcosϕ ω ω Xsinϕ Xcosϕ+ ω Xsinϕ ω F ( ω ω ) Xcosϕ+ Xsinϕ ω ( ω ω ) Xsinϕ Xcosϕ X e ϕ soddisfano quindi le relazioni Oscillatore Aronico - Risonanza - 7

8 C. d. L. Ingegneria Inforatica e delle Telecounicazioni A.A. / Fisica Generale X X cos sin ( ϕ ) ( ϕ ) F( ω ω ) ( ) + ω ω ω Fω ω ω + ω (34) (35) dalle quali si ottiene, quadrando e soando: X F ω ω + ω (36) entre, dividendo la (35) per la (34): Dalle (36) e (37) si ha che: tgϕ ω ( ω ω ) (37). lo spostaento della assa è sfasato di un angolo ϕ rispetto alla forza F ;. l'angolo di sfasaento è sepre positivo, e varia tra e π ; 3. l'apiezza di oscillazione X dipende da ω ; 4. il assio valore di X si ha per ( ) ω ω ω ω (frequenza di risonanza); in corrispondenza a tale valore di frequenza lo sfasaento vale ϕ π. Oscillatore Aronico - Risonanza - 8