Gli strumenti necessari per lo studio

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1 La potenza di un fucile a olla Sunto E possibile deterinare la potenza di un fucile a olla quando sono note la costante elastica K della olla, la isura d della copressione e la assa del proiettile sparato? La risposta è afferativa Vedreo che è possibile e servono proprio i tre paraetri K, d, indicati Discussione del problea Cosa può significare l espressione potenza del fucile? Co è noto, la potenza è una grandezza fisica data dal rapporto tra energia e tepo e la sua unità di isura nel sistea internazionale (SI) è il watt: J/s=W Si può calcolare, ad esepio, la potenza sviluppata da una persona che esegue un certo lavoro in un tepo prestabilito Iaginiao una persona di 70 Kg che salga su per una scala di un dislivello di 3 ipiegando 6s Si può deterinare la potenza sviluppata in quell intervallo di tepo Coe si calcola? Il lavoro che deve copiere la persona è quello sviluppato dalla forza fisica che deve applicare per vincere la forza peso agente sul proprio corpo Se la persona sale lungo la verticale senza accelerazione allora applica sul suo corpo una forza in intensità pari a quella della forza peso (g (1) ), dunque una forza costante Il lavoro copiuto salendo del tratto h è gh ed avendo ipiegato t=6s la potenza sviluppata sarà Lavoro gh P = t = t = 70Kg 9,81s 3 = 343,35W 6s Dunque la potenza necessaria dipende dal tepo ipiegato per salire Se la stessa persona fosse in grado di salire lo stesso dislivello in un tepo inore allora sarebbe capace di sviluppare una potenza aggiore di 343,45W Così, se lo stesso dislivello di 3 fosse superato in 3s la potenza sviluppata sarebbe doppia: P=686,70W Il concetto qui esposto per la potenza della persona si applica nello stesso odo all azione di una qualsiasi forza che sposti il suo punto di applicazione in una qualsiasi direzione La forza può essere costante o variabile Certaente, la risoluzione del problea si presenta più seplice se la forza è costante, a concettualente è la stessa cosa se ci si deve occupare della deterinazione della potenza di una forza variabile Nel caso che dobbiao risolvere, calcolare la potenza di un fucile a olla, la forza di cui dobbiao interessarci è quella esercitata dalla olla del fucile che è stata copressa di un tratto d La olla entre si distende esercita una forza che varia in intensità secondo la legge di Hooke Non solo, a il tepo ipiegato dipende anche dalla assa del proiettile che deve lanciare Vedreo tra breve coe procedere per risolvere la questione assuendo che tutto il lavoro eseguito dalla olla sia utilizzato nel lancio del proiettile, cioè supponendo di poter trascurare ogni fora di attrito nel sistea eccanico Ipostazione e risoluzione del problea Gli struenti necessari per lo studio Per studiare il fenoeno fisico dal punto di vista analitico occorre fissare un sistea di riferiento spazio-teporale Precisaente, è necessario un asse reale orientato con fissata origine e unità di isura per le lunghezze; è necessario anche un sistea di riferiento per il tepo Interessiaoci dello sparo con il fucile nel caso in cui la canna di questo sia disposta orizzontalente Questa scelta seplifica la trattazione del problea perché si possono evitare gli effetti della forza peso agente sul proiettile (e sulla olla) Per la descrizione del oto (1) Il sibolo g indica l intensità del capo gravitazionale della Terra nello spazio sede del fenoeno fisico Assuiao per g il valore 9,81/s Luigi Lecci: wwwateaticaescuolait 1

2 assuiao l asse delle ascisse parallelo alla canna del fucile, orientato nel verso di avanzaento della olla, con origine nel punto di contatto tra la olla ed il proiettile quando la olla è copressa al assio Poniao t=0s l istante in cui si pree il grilletto del fucile ed inizia il processo di distensione della olla In figura abbiao illustrato: in (a) la configurazione iniziale nell istante t=0s E evidente la forza elastica esercitata dalla olla Il proiettile è fero La olla pree contro il proiettile esercitando la forza elastica il cui odulo, per la legge di Hooke, è F el =Kd In (b) è rappresentata una situazione interedia La olla si è già dilatata del tratto x e l intensità della forza elastica è ora F el =K(d-x) In Figura non è rappresentato il vettore velocità del proiettile In (c) è rappresentata la olla copletaente distesa In questa posizione sul proiettile, nella direzione del oto, non agisce alcuna forza () La velocità raggiunta dal proiettile è assia ed è rappresentata dal vettore V fin Infine si nota l asse di riferiento per le ascisse Ad esso sarà riferita la posizione x(t) dell estreo libero della olla durante il processo di dilatazione Calcolo della potenza sviluppata dalla olla Coe abbiao già preesso, per calcolare la potenza di un sistea che copie il lavoro L è necessario conoscere la isura t dell intervallo di tepo in cui tale lavoro è copiuto Nel caso in esae, nell istante in cui la olla riassue la configurazione di riposo, l energia elastica che aveva iagazzinato è stata ceduta copletaente al proiettile sotto fora di energia cinetica E noto che l energia elastica iagazzinata da una olla di costante elastica K che sia stata copressa del tratto d è 1 Uel = Kd (1) Se t è la isura in secondi del tepo necessario per la distensione della olla, la potenza edia sviluppata dalla stessa nel processo di distensione è Kd Pedia = () t Inoltre, se siao interessati a deterinare il odulo della velocità con cui il proiettile viene lanciato basta uguagliare l energia elastica iniziale della olla all energia cinetica che si ritrova il proiettile: 1 1 Kd = V fin (3) da cui K Vfin = d (4) Per deterinare dunque la potenza edia della olla abbiao bisogno di conoscere la durata t del processo di distensione L obiettivo si consegue risolvendo un equazione differenziale del secondo ordine, più precisaente si deve ipostare e risolvere un () Ricordiao che abbiao supposto di trascurare ogni fora di attrito (eventuale strisciaento del proiettile sulla superficie della canna del fucile, viscosità dell aria) Luigi Lecci: wwwateaticaescuolait

3 problea di Cauchy del secondo ordine Vedreo tra breve coe procedere E bene però precisare subito che è possibile deterinare la potenza istantanea sviluppata dalla olla nel suo processo di distensione e non solo conoscere la potenza edia espressa dalla () Occupiaoci di questo aspetto del problea o La potenza istantanea La forza elastica F el che agisce sulla assa e sposta il suo punto di applicazione di ds copie il lavoro dl = F el ds ; (5) indicando con dt la isura del tepo necessario per copiere tale lavoro la potenza sviluppata è dl F el ds ds P = = = Fel = Fel V (6) dt dt dt Nella (6) V rappresenta la velocità istantanea con cui si sposta il punto di applicazione della forza nel processo di dilatazione, ovvero dell estreo libero della olla a contatto con la base del proiettile La (6) fornisce la potenza istantanea della olla Nel caso in esae la forza elastica e lo spostaento del punto di applicazione sono vettori paralleli e concordi, quindi possiao scrivere per la potenza l espressione P= Fel V (61) Ipostazione dell equazione differenziale risolvente E necessario ora tenere sotto controllo la posizione x del punto di applicazione della forza elastica esercitata dalla olla nel processo di distensione perché abbiao bisogno di conoscere la sua legge oraria x(t) e la derivata pria di questa funzione se vogliao avere la potenza istantanea e, counque, per calcolare la durata del fenoeno per la potenza edia della olla E evidente che la posizione di un punto è deterinabile se è stato fissato un punto di riferiento per le posizioni ed un istante teporale di riferiento Nella figura riportata abbiao indicato l asse di riferiento per le ascisse: è stato scelto coe origine delle ascisse il punto di contatto tra il proiettile e l estreo libero della olla quando questa è copressa al assio Per la isura del tepo facciao riferiento all istante in cui si pree il grilletto del fucile, dunque all istante in cui inizia il oto del proiettile, ponendolo uguale a zero: t=0s Con queste posizioni, nell istante t in cui la olla si sarà distesa del tratto x(t), la copressione residua della olla sarà pari a d-x(t) (copressione residua della olla), e l intensità della forza elastica esercitata sarà Fel = K( d x() t ) (7) D altra parte, tenendo conto che nella direzione del oto sul proiettile agisce solo la forza elastica, per la seconda legge della dinaica risulta F el = a (8) dalla quale si ricava F el a = e quindi l espressione scalare K( d x() t ) a = (9) La (9) è l equazione differenziale dalla cui risoluzione si ricava la legge oraria del oto del punto di applicazione della forza elastica, quindi anche del proiettile, durante la dilatazione Luigi Lecci: wwwateaticaescuolait 3

4 Ricordando che l accelerazione è data dalla derivata seconda della posizione rispetto al tepo possiao scrivere la (9) nella seguente fora d x() t K K d x K K = d x() t + x = d (10) dt dt La (10) è un equazione differenziale del secondo ordine, lineare, non oogenea ed a coefficienti costanti e aette soluzioni; per deterinare le soluzioni, dal punto di vista operativo, si deve preliinarente risolvere l equazione oogenea associata deterinando il suo integrale generale, quindi trovare un integrale particolare dell equazione copleta che dovrà essere soato all integrale generale dell equazione oogenea per ottenere l integrale generale dell equazione differenziale copleta Tra le soluzioni c è anche la soluzione del problea particolare che stiao studiando Essa è la funzione x=x(t) che verifica le condizioni iniziali del oto (condizioni al contorno) Quali sono le condizioni iniziali? Nell istante iniziale t=0s il punto di applicazione della forza elastica è nell origine del sistea di riferiento, dunque deve essere soddisfatta la condizione x(0s)=0 (etri); inoltre nello stesso istante il punto di applicazione della forza è fero e, poiché la coponente scalare della velocità del suddetto punto durante la distensione della olla è data dalla derivata pria della funzione x(t), dovrà essere soddisfatta l ulteriore condizione dx() t = 0 ( / s) dt t= 0s Il problea che abbiao da risolvere si presenta sinteticaente nella seguente fora d x K K + x= d dt x(0 s) = 0( ) (11) dx() t = 0 ( / s) dt t= 0s e prende il noe di problea di Cauchy Risoluzione del problea di Cauchy o Risoluzione dell equazione oogenea associata Coe abbiao anticipato, si deve deterinare l integrale generale dell equazione oogenea associata: d x K + 0 x = (1) dt Di essa si ricercano due integrali particolari della fora x = e λt, con λ costante opportuna Deterinando la derivata seconda di questa funzione e iponendo che questa insiee alla funzione stessa soddisfino la (1) si perviene all equazione caratteristica K K λ + = 0 λ =± i Senza dilungarci sul processo risolutivo dell equazione differenziale in esae, ricordiao che, avendo ottenuto per λ valori iaginari puri, l integrale generale dell oogenea (1) ha la seguente fora analitica K K x() t = C1cos t + Csen t (13) con C 1, C costanti reali o Serve a questo punto un integrale particolare dell equazione copleta Luigi Lecci: wwwateaticaescuolait 4

5 La fora analitica del terine noto dell equazione copleta e la presenza al prio ebro della funzione incognita x(t) suggeriscono che un integrale particolare può essere ricercato tra le funzioni costanti, dunque del tipo x=h, con h costante reale Iponendo che una tale funzione sia soluzione dell equazione copleta si deterina h Deve risultare: K K h= d h= d Dunque, la funzione costante x(t)=d è un integrale particolare Concludiao che l integrale generale dell equazione copleta è K K x() t = C1cos t + Csen t + d (14) o Ricerca della soluzione del problea di Cauchy La soluzione cercata deve verificare le condizioni al contorno Dunque, deve risultare K K x(0) = C1 cos 0 + Csen 0 + d= 0 C1+ d = 0 C1 = d ; inoltre dx() t = dt cos K 0 K C 0 = t= 0s C = 0 Dunque la soluzione del problea in esae è la funzione K x() t = dcos t + d (15) Velocità e accelerazione istantanee del punto di applicazione della forza elastica La (15) rappresenta la legge oraria della posizione del punto di applicazione della forza durante la dilatazione della olla Possiao ora deterinare la durata del fenoeno L istante in cui si verifica il distacco del proiettile dall estreo libero della olla è quello in cui x(t)=d Risolvendo l equazione K K dcos t + d = d, quindi cos t = 0 Ebbene, il prio valore positivo di t che verifica l equazione ottenuta, e che rappresenta l istante in cui la olla si sarà copletaente distesa, è quello che rende l argoento della funzione coseno uguale a π, dunque deve sussistere l uguaglianza K π π t = e perciò deve essere t = (16) K Possiao ora scrivere le espressioni della velocità e dell accelerazione istante per istante del π proiettile nell intervallo 0; ( s ) K dx() t K K Vt () = = d sen t dt, (17) dv () t d K K at () = = cos t dt (18) Potenza istantanea e potenza edia della olla Utilizzando la () Luigi Lecci: wwwateaticaescuolait 5

6 Kd Pedia =, () t π con t =, si ricava l espressione della potenza edia sviluppata dalla olla del K fucile: Kd Kd K Kd K Pedia = = = t π π Per il valore della potenza istantanea, dalla (61), e per le relazioni (7), (15) e (17) possiao scrivere dx() t K K K Pt () = Fel V= K [ d x() t ] = K dcos t d sen t dt = K K K π Kd cos t sen t, con t 0; ( s) K Applicazioni ad un fucile particolare Dati Costante elastica della olla: K = 750 N / ; copressione della olla: d = 3, 10 ; assa del proiettile: = 1g Risultati 1 K 750N Velocità di lancio del proiettile: Vfin = d = 3, 10 = Kg s Tepo necessario per la distensione della olla: 3 π π 1 10 Kg π t = = = 10 s 0, 0063s 1 K 750N Kd K 750N 750N Potenza edia: Pedia = = ( 3, 10 ) = 61,1W 3 π π 1 10 Kg La legge oraria della velocità dell estreo libero della olla nella fase di dilatazione è Vt ( ) = 0,8 sen( 50t),con 0 t 0, 0063 s Riportiao di seguito il diagraa della legge oraria della velocità dell estreo libero della olla in fase di dilatazione; il diagraa rappresenta anche la legge oraria della velocità scalare istantanea del proiettile nello stesso intervallo di tepo Luigi Lecci: wwwateaticaescuolait 6