Fluidodinamica applicata Esercizi Finali

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1 ESERCZO (NS MENSONE CONOTTO) U Condotto infinito di sezione x Usando l analisi diensionale, studiao la dipendenza del gradiente della pressione dagli altri paraetri del flusso: f (,, U, ) dove U velocità edia del flusso del condotto, diaetro del condotto, densità, viscosità; x coordinata nella direzione del flusso: M x T [ ] M [U] T [] [ ] M 3 T, U, sono diensinalente indipendenti; [ ][U] p [], [ ][U][] e quindi, dal teorea Π, abbiao che U Φ U o Π Φ Π U U ( ) con Π Π. Ma U (è il nuero di ynoldds del flusso, basato su diaetro e velocità edia), e si pone usualente Politecnico di Torino Pagina 3 ata ultia revisione 0//00

2 λ fattore di resistenza U [l fattore ½ a denoinatore è per otivi storici: /U² è l energia cinetica edia della corrente (più o eno: la velocità non è in realtà unifore)]. bbiao così λ Φ *( ) Se il flusso è lainare, siao in grado di deterinare la dipendenza di λ da (perché abbiao risolto le equazioni): abbiao visto che da cui Ga U U 3 3 U λ U 6 U 6 Quando il flusso di Poiseiulle non è più stabile, non siao più in grado di deterinare teoricaente le relazione fra λ e, perché non siao in grado di risolvere esplicitaente le equazioni. E counque sepre possibile deterinarla sperientalente: flusso lainare: log Y6 - log transizione flusso turbolento iagraa di Moody 00 log Politecnico di Torino Pagina 33 ata ultia revisione 0//00

3 l diagraa di Moody che si trova è più coplesso, e contiene più curve: questo perché, a livello ingegneristico, si aette che la parete del tubo possa contenere asperità: ε diensione delle asperità [sperità: dovute al processo di fabbricazione (es.: fusione), a corrosione, incrostazioni, ecc ] llora dobbiao scrivere, in questo caso, f (,, U,, ε) ε ε da cui λ Φ **,., cui non si dà alcun sibolo particolare, è detta scabrezza relativa. ε/ log ε Si osservi che, dato 0, per abbastanza grande, λ non dipende più da (le curve sono orizzontali). Questo è all origine del fatto che, in olte applicazioni ingegneristiche (es.: oleodinaica) venga spesso posto U (con coefficiente proporzionale alla scabrezza relativa, a indipendente da, e quindi da U). Tuttavia, sia λ che contengono sia U che, e quindi l equazione λ Φ * () ovvero ε λ Φ **(, ) non è di alcun aiuto quando, pur conoscendo tutti gli altri paraetri non si p conosca U (conosco cioè,,,, ε e voglio U (e quindi la portata)) o non si conosca p (a conosco,,,, ε e la portata Q che deve attraversare il condotto. isogna x odificare un poco questa equazione, a seconda delle esigenze: Politecnico di Torino Pagina 3 ata ultia revisione 0//00

4 p ) ssegnati,,,, calcolare la velocità edia (ovvero al portata). Cerchiao di costruire una variabile che non contenga U. Osserviao allora che λ, U entre U. Pertanto λ² non contiene U. Moltiplichiao per ²: λ Φ * () ~ Φ() ~ se cerchiao c λ, ho una relazione c Φ( ). Potrei costruire un nuovo diagraa con c in funzione di, a non è il caso: λ λ c log c ato c, λ, quindi i basta considerare l intersezione di questa curva con la curva del diagraa di Moody. Politecnico di Torino Pagina 3 ata ultia revisione 0//00

5 [l diagraa di Moody (pagina 3) riporta olte di queste curve al variare di c ] se considero un tubo scabro e conosco ε, allora devo usare la curva giusta!: c ε/ log ) ssegnati,, Q che attraversano il condotto, ε se non è da assuersi pari a zero, calcolare il diaetro che deve avere il condotto. Sia che λ contengono (ignoto) ed U (ignoto perché non conosco ). π Essendo Q U, conviene riscrivere sostituendo Q ad U: U λ U U Q π π Q π Q π Q. Osserviao allora che note: λ,, quindi λ non contiene, a solo grandezze 3 3 Q Q λ. π Q π π c Coe pria, anziché costruire un nuovo diagraa di c in funzione di, assegnato c c, si riporta la curva λ sul diagraa di Moody. Politecnico di Torino Pagina 36 ata ultia revisione 0//00

6 c λ ε/ log Se ε0 allora abbiao risolto il problea. Se ε 0 non abbiao ancora finito, non conoscendo, non conosciao ε e non possiao deterinare quale curva usare. Osserviao allora che definito ε, Q, quindi ε non dipende da : Q π Q c 3. ε ε π ε e curve c 3 costante sono già tracciate sul diagraa di Moody. (Sono un poco più coplesse). curve c 3 costante c 3 a curva base (del tubo liscio corrisponde a c 3 log Politecnico di Torino Pagina 37 ata ultia revisione 0//00

7 ESERCZO ( FONTN) h d Valutare il dislivello fra le superfici libere di due serbatoi collegati ediante un condotto liscio di diaetro e lunghezza ad ibocco raccordato, sapendo che nel serbatoio di valle è praticata una luce di diaetro d ad una profondità h sotto la superficie. ati nuerici: 0, 0,, d 0,08, h,, acqua 0³ Kg/³, acqua 0-3 Kg/s. SOUZONE idea per risolvere l esercizio è la seguente: grazie al foro nel secondo serbatoio conosciao la portata che esce, quindi anche quella che passa nel tubo. Ma allora siao in grado di risolvere la differenza di pressione fra gli estrei del tubo e quindi il dislivello. Possiao allora scriverlo: n S tubo S luce ntegriao l equazione di continuità nel volue V (serbatoio di valle): 0 V udx V u ndσ Sluce u ndσ + Stubo u ndσ Politecnico di Torino Pagina 38 ata ultia revisione 0//00

8 a in S luce la velocità è gh (Torricelli), quindi Sluce u ndσ gh π d entre, detta U la velocità edia nel tubo, è Stubo π u n U gh π π U d 0 U gh 3,7 s Possiao allora conoscere il nuero di ynolds del flusso nel condotto U d (Si noti che con questo il flusso del condotto è turbolento). al diagraa di Moody otteniao λ: λ 0,0 λ0, log Politecnico di Torino Pagina 39 ata ultia revisione 0//00

9 a cui ˆ U λ X 3 C X Ma: p C + gx p + gx p + gx (Stevino) SERTOO VE 3C 3 a 3 inoltre u + u + 0 (ernoulli) SERTOO MONTE u p a + gx 3 U Sostituendo abbiao così C g ( x x ) 3 3 U g da cui Politecnico di Torino Pagina 0 ata ultia revisione 0//00

10 U g U g U λ U λ + U g + λ,7 ESERCZO 3 (POMP-CONOTTO) l POMP α anoetro differenziale a popa del dispositivo di figura iette una portata Q in un condotto di diaetro lungo, inclinato di α rispetto all orizzontale. n un tratto del canale è inserito un anoetro differenziale. ) Noti d ed l (distanza lungo l asse del condotto), stiare la scabrezza del condotto; ) Calcolare la pressione alla andata (cioè all uscita) della popa. ati nuerici: acqua 0 3 Kg 3 acqua 0 3 Kg s α 6 3,6 0 3 Kg 3 Q l Politecnico di Torino Pagina ata ultia revisione 0//00

11 SOUZONE ) Consideriao il anoetro differenziale: esso ci consente di conoscere il gradiente di pressione e quindi λ: l x e 3 F e G F C p p F G + gx + gx 3F 3G a, considerando il ercurio, p F + p F gx p G 3F p G + ( x x ) 3F gx 3G 3G llora ˆ l p F p G + g l ( x x ) ( ) g( x x ) 3F 3G l 3F 3G g ( ) l Possiao allora conoscere sia λ che, essendo π Q Q U U π U Q Q π π g ( ) λ l π U Q π al diagraa di Moody possiao ricavare ε g lq Politecnico di Torino Pagina ata ultia revisione 0//00

12 λ ε/d ε/d log a cui ε ε ) Conosciao λ, quindi ˆ U λ ovvero ˆ U λ poiché diinuisce lungo x, asse del condotto. H x α (x) (x0) ntegrando nel condotto abbiao: H U λ da cui Politecnico di Torino Pagina 3 ata ultia revisione 0//00

13 H + U λ a p p p H p p + gx + gx + gx a H 3 g 3 3H p p + gx + gx + U ( x x ) + U λ gtgα + U λ 3H a a 3 3H 3H λ Politecnico di Torino Pagina ata ultia revisione 0//00