Lavoro delle forze nei fluidi

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1 aoro delle forze nei fluidi EC P G att est S S C D C D l t h EC P G P S gh t P S gh ρ t ρ B B l t ( P P ) P h ( ρgh ρgh ) - EP att est ( P P ) + ( ρgh ρgh ) + + ρ ρ att est EP + P + + EC

2 Fluidi ideali: Teorea di Bernoulli P G att est EC + att est ( P P ) + ( ρgh ρgh ) + ρ ρ 0 P ρg - P ρg + h h + g g 0 P P + h + + h + ρg g ρg g costante

3 Dinaica dei fluidi reali: iscosità In un condotto di lunghezza 0 F 4πη a M M η coefficiente di iscosità. Diinuisce per T Parete Diensioni [η] [ - ][M][T - ] Unità di isura: [SI] poiseuille; poiseuille N. s/ [CGS] poise (P); P dina. s/c Fattore di ragguaglio poiseuille 0 P sostanza acqua sangue η 0.0 P 0.04 P

4 Fluidi reali: laoro delle forze di attrito P EP att est att 8η 4 πr R resistenza Q EC RQ Per un condotto cilindrico a sezione costante: In un condotto di lunghezza F 8η Q 4 πr 4πη a M 8 EP η Q + est P + + πr 4 EC S r

5 Fluidi reali: legge di Poiseuille 8 EP η Q + est P + + πr 4 EC 8 η πr Q P P P 4 S r 8η P P πr 4 Q legge di Poiseuille

6 Pressione e elocità del sangue e olue dei asi Hg aorta arterie arteriole capillari enule ene caa pressione elocità c/s olue c

7 PPICZIONI

8 Da un aso sanguigno con sezione S di area di 8 si diraano 4 asi più piccoli di sezioni S uguali tra loro. Quale de essere l area di ciascuna di tali sezioni perché la elocità del sangue sia la stessa che nel aso grande? 4S S Un liquido scorre in un condotto di raggio r,5 c, che si suddiide in N condotti tutti uguali. Sapendo che la elocità del liquido nel condotto principale è c/s e che la portata (flusso) di ciascuna diraazione è Q 78,5 c 3 /s, calcolare N. N 3 πr NQ N3.4x6.5x/78.53

9 neurisa e stenosi S S S >S costanza della portata: S < S P P legge di Bernoulli: + ρg g ρg + P g >P Pertanto l aneurisa tende a peggiorare. nalogaente in corrispondenza a un restringiento (stenosi) la elocità auenta e la pressione diinuisce. a stenosi tende a peggiorare.

10 Esepio: Un arteria di raggio r,5 è parzialente bloccata da una placca. Nella regione ostruita il raggio effettio è r,8 e la elocità edia del sangue è 50 c/s. Calcolare la elocità edia del sangue nella regione non ostruita. Soluzione: Chiaando S e S le sezioni dell arteria rispettiaente nelle regione non ostruita e ostruita (, 8 0 ) (, 5 0 ) S πr S S 50 5, 9 S πr c s. Calcolare la differenza tra le pressioni nelle due sezioni Per la legge di Bernoulli: ρ P P 68 ( ) ( ) dine/c 0, Hg

11 Circolazione del sangue Possiao calcolare la caduta di pressione nel sangue quando attraersa un capillare. Un capillare ha una lunghezza tipica di, raggio r. 0-6, <> 0,33/s e η N. s/. P P 8η 8η Q 4 4 πr πr πr P P , N 3 0, ,5 Hg

12 Esepio: ungo un tratto di un condotto cilindrico, inclinato di 30 rispetto ad un piano orizzontale, scorre un liquido ideale in condizione di oto stazionario. Si deterini la differenza di pressione tra due sezioni del condotto che distano 80 c se la densità del liquido è ρ g/c 3. Se la sezione del condotto andasse restringendosi erso l alto, tale differenza di pressione sarebbe aggiore,inore o uguale rispetto al alore 30 deterinato? h Soluzione: ( P P ) + ( ρgh ρgh ) + ρ ρ 0 Il condotto è cilindrico Si può applicare il teorea di Bernoulli h ( P P ) ρg( h h ) 3900 ρg senθ 980 dine/c 9, 4Hg 80 0, 5

13 Esepio: ungo un tratto di un condotto cilindrico erticale, di diaetro d0 e lungo 0, scorre acqua in condizioni di oto stazionario in regie lainare. a elocità edia dell acqua S B in corrispondenza della sezione in basso (S )è <> /s. (a)quanto ale la differenza di pressione P -P B se il liquido scorre erso l alto? (b) Quanto ale la differenza di pressione se il liquido scorre erso il basso? (η 0,0 poise, ρ g/c 3 ). Soluzione: (a) (b) P EP P -RQ - 8η RQ πr 3000 dine/c 4 πr EP 5 ρg ,8 0 dine/c 5 P P RQ + ρg 0, 0 dine/c B P P P RQ + ρg 9,48 0 B 5 S dine/c h B h

14 ungo un tratto erticale di un condotto cilindrico di diaetro D0 scorre erso il basso acqua in condizioni di oto stazionario in regie lainare con elocità edia 50 c/s nella sezione in basso. Qual è la differenza di pressione tra due sezioni del condotto che distano 0? Il coefficiente di iscosità dell'acqua è pari a 0,0 poise e la sua densità è d g/c3 EP P -RQ - h B S B S h B RQ 8η πr 4 πr 4000 dine/c EP 5 ρg ,8 0 dine/c P P P RQ + ρg 9,76 0 P PB 73, Hg 5 dine/c

15 Esepio: Dato il condottoin figura percorso da un fluido ideale, tracciare un grafico che rappresenti in odo qualitatio l andaento della pressione lungo il condotto edesio. Fare questo partendo dalla sezione - ed arriando alla sezione E-E, attraerso le sezioni B-B, C-C e D-D, con S S B S C S D. S S B S C S D S E Soluzione: P + ρgh + ρ costante S costante > B C D E P E P C P B C D E

16 aoro del cuore: Calcolare il laoro cardiaco di ogni pulsazione per un soggetto sotto sforzo in cui la frequenza cardiaca è di 80 pulsazioni al inuto, il olue pulsatorio di 60 c 3, la pressione edia del entricolo sinistro è di 50 Hg e la pressione nella ena caa è uguale a zero. Deterinare la potenza cardiaca edia. Soluzione: Il laoro cardiaco copiuto nel corso di una pulsazione è: ( ) ( 3 50 Hg c ) P 60 7 ( ) 60 3, 0 erg 3,J Questo laoro iene eseguito nel tepo di (60/80) s 0,33 s. W P P Q t t 3, W 9, 7 watt. 0, 33

17 Esepio: Calcolare la resistenza del circolo sisteico sapendo che la gittata cardiaca (portata) ale 6 l/in, la pressione edia nell aorta è di 90 Hg e la pressione nell atrio destro è di 6 Hg. Espriere il risultato in unità [cgs]. Si supponga di oler auentare la gittata cardiaca di 4 olte, senza con ciò iporre al cuore un auento di potenza. Perché ciò accada dee auentare il raggio edio delle arteriole. Supponendo che il resto del circolo presenti resistenza nulla, di quanto dee auentare questo raggio? Soluzione: R.x0 3 dine. s/c 5 R R/6 r r

18 Esepio: Se la iscosità del sangue auenta del 0%, di quanto dee auentare la potenza del cuore per antenere costante la gittata cardiaca? Soluzione: RQ + W Q 0 W RQ Per un condotto cilindrico: 8η R π 4 r W', W

19 Esepio: Tre tubi antincendio sono collegati ad un idrante antincendio. Ciascun tubo ha il raggio r di,0 c. acqua entra nell idrante attraerso un tubo il cui raggio è R8,0 c. In questo tubo l acqua ha la elocità di 3 /s. a) Si troi la elocità dell acqua in ciascuno dei 3 tubi piccoli. b) Quanti litri di acqua engono riersati su un incendio in un ora? Soluzione: Q S cost R r a) b) πr 3πr πr 3πr c/s 6 /s 3 4 ol. πr t 3, litri

20 Esepio: Un liquido fluisce lungo un tubo orizzontale il cui raggio è r,0 c. Il tubo si piega lungo la erticale ascendente per un tratto 0 e si unisce ad un altro tubo orizzontale il cui raggio è R 4,0 c. Si deterini la portata che antiene uguali le pressioni nei due tubi orizzontali. Soluzione: Q S S B B r P PB + ρg B B g h ( ) ( h h + ρ ) 0 R Q πr πr B B 4 r ( ) ( h + 6 ) g 5 B 5 0 g 5 B 9, 8 0 3, 07 3, 7/s R

21 Esepio: Un tratto di aso sanguigno di sezione costante (lunghezza l 0 c e raggio r ) è disposto coe in figura. a differenza di quota tra S e S B è h0c. Si deterini la differenza di pressione P -P B tra le pressioni eatiche esistenti in corrispondenza delle sezioni S e S B se il sangue scorre nel erso indicato con elocità edia 4 c/s in corrispondenza della sezione S. Il coefficiente di iscosità del sangue è η0,04 poise e la sua densità è ρ g/c 3. Soluzione: P EP att est EC S S B h P -P B ( ) dine/c 9,7Hg Se il sangue scorresse erso il basso, si arebbe: P -P B ( ) dine/c 5,43Hg

22 - Una grande arteria ha un raggio di 4 e il sangue i scorre con una portata di.5 c 3 /s. Calcolare: a) la elocità edia del sangue, b) la caduta di pressione, in Hg, in un tratto dell arteria lungo 0 c quando l indiiduo è disteso. (η 0.04 poise) (a:.98 c/s, b: P0.05 Hg). - aorta di un indiiduo ha un raggio di.4 c. Calcolare la resistenza e la caduta di pressione in un tratto lungo 0 c se la portata e di 00 c 3 /s (R5.3 unità CGS, P0.04 Hg). - Un aso sanguigno di raggio R si raifica in nuerosi asi di raggio rr/6. Se la elocità edia del sangue nei asi più piccoli è un terzo di quella del aso più grande, quanti sono i asi secondari? (n08). - Calcolare la pressione idrostatica esercitata da una colonna di sangue alta 80 c. (densità del sangue.06g/c 3 ) (P63.6 Hg).