ESCLUSIVO USO DIDATTICO INTERNO - Meccanica dei fluidi nei sistemi biologici

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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PAVIA dip. Fisica nucleare e teorica via Bassi 6, 700 Pavia, Italy - tel girolett@unipv.it - webgiro elio giroletti fluidi nei sistemi biologici MECCANICA FISICA MEDICA E RADIOPROTEZIONE,, elio giroletti Classe Lauree di INFERMIERISTICA e OSTETRICIA corso integrato FISICA, STATISTICA e INFORMATICA disciplina: FISICA MEDICA e RADIOPROTEZIONE fluidi nei sistemi biologici MECCANICA FISICA MEDICA E RADIOPROTEZIONE,, elio giroletti - I parte: principi generali propedeutico - II parte: propedeutico - III parte: equazione continuità - IV parte: moto laminare turbolento - V parte: teorema bernoulli - fluidi: pressione idrostatica - effetti disomogeneità, pulsatilità e distensibil. - lavoro cardiaco - fenomeni di trasporto

2 fluidi nei sistemi biologici MECCANICA FISICA MEDICA E RADIOPROTEZIONE,, elio giroletti I parte - massa, peso, densità, pressione - legge di Stevino - equazione di continuità - sistema circolatorio nell'uomo lucidi di D.Scannicchio, rivisti da E.Giroletti MASSA, PESO, DENSITA' m p = m g kg massa kg peso g massa g peso kg peso = kg massa 9.8 m s = 9.8 N d = m V [d] = [M] [L] 3 S.I. kg m 3 C.G.S. g cm 3 H O d = g cm 3 = 000 kg m 3 PORTATA di un FLUIDO V [Q] = [L] 3 [t] S.I. C.G.S. t m 3 s cm 3 s Q = V t Q (t) = V(t) t

3 p = F n S = F. n S PRESSIONE n F F n ϑ S 3 [p] = [M][L][t] = [M][L] [t] [L] SI CGS N / m pascal (Pa) dina/cm baria pascal = 0 05 dine = 0 barie 4 cm EQUILIBRIO nei FLUIDI fluido assume la forma del contenitore principio di isotropia della pressione forze tangenti alla superficie limite = 0 principio di Pascal p applicata in un punto della superficie limite si trasmette a tutta la superficie legge di Stevino PRESSIONE IDROSTATICA PRESSIONE IDROSTATICA F = forza peso = m g A S h d = m V V = S S h m = d V p = F S m g = = d V g S S = d S h g S = d g h legge di Stevino p = d g h

4 PRESSIONE 4 (0 C) SISTEMI PRATICI atmosfera = 760 mmhg 760 torr = barie = = Pa = 033 g peso cm pressione idrostatica p = d g h = = 3.59 g cm cm s 76 cm = barie unità di misura della pressione h = h mmhg = d Hg g h = 333 barie = 33.3 pascal cm HO = d HO g h = g cm cm s cm = = 980 barie = 98 pascal mmhg = 333 cm HO =.36 cm 980 HO atm = 760 mmhg x Hg d = cm HO = barie = = 760 x 333 barie =.0 0 = pascal d Hg x unità di misura della pressione a parità di pressione,, p, sale di più una colonna di H O una di Hg? p p = y y = dg h 0 atm = 760 mm mm Hg = 033,6 cm HO

5 PRESSIONE IDROSTATICA p = dgh 5 CONSEGUENZE sul corpo umano (in seguito) vasi comunicanti: un liquido si porta sempre allo stesso livello stessa pressione p=dgh h PRESSIONE IDROSTATICA h = p dg Ago in vena, pressione a 8 mm di Hg, a quale altezza va posto il contenitore della flebo? 760 mm Hg = 760 torr =,0 0 6 baria mm Hg =,0 baria / 760 =, baria d = g/cm 3 g = 980 cm/s h = 8, baria / ( 980) = 4,7 cm perché la flebo non si mette nell arteria? II esempio: martinetto idraulico EQUAZIONE di CONTINUITA' LINEE di VELOCITA' MOTO STAZIONARIO Q = costante nel tempo in ogni sezione S v B B' v' S' AA = v t BB = v v t A A' Q = V t = S v t = S v = costante t

6 EQUAZIONE di CONTINUITA' 6 Q = V t = S v t = t S v = costante S v = S' v' EQUAZIONE di CONTINUITA S v = costante (in ASSENZA di SORGENTI o di PERDITE buchi-) v' = S v S' Perchè: l acqua scendendo dal rubinetto restringe il diametro? EQUAZIONE di CONTINUITA' S v = S v A B C S = 0.5 cm /c.u. Q = 00 cm 3 s S =.5 cm S = 5 cm S = 5 cm S =.5 cm v = 0 cm s v = 80 cm s S =.5 cm v = 40 cm s Sistema circolatorio AAVV, Enciclopedia del corpo umano, cd-rom, 997 Volume del sangue: 6 l portata: 5 l/min battito /s velocità media: -3 3 cm/s

7 AAVV, Enciclopedia del corpo umano, cd-rom, 997 pressione media (nel tempo) velocità media (nel tempo) vena cava AORTA ARTERIE ARTERIOLE CAPILLARI VENULE VENE VENA CAVA valvole Sistema circolatorio vene venule aorta Arterie arteriole 7 SISTEMA CIRCOLATORIO pressione media (nel tempo) velocità media (nel tempo) CUORE velocità media pressione media (cm s ) (mmhg) AORTA ARTERIE ARTERIOLE CAPILLARI <0. 5 VENULE <0.3 8 VENE VENA CAVA 5 5 CUORE numero di vasi 60 NUMERO E SEZIONE 3,9 0 9, , ARTERIE VENE ARTERIOLE VENULE CAPILLARI Sezione totale, S totale S cm cm

8 SEZIONE E VELOCITA' cm S totale cm cm s v ARTERIE CAPILLARI ARTERIOLE VENULE cm s VENE EFFETTI FISIOLOGICI della PRESSIONE IDROSTATICA esempio: arteria tibiale h = 00 cm d = g cm 3 g = 980 cm s p = dgh (valori medi) h, cm p, mmhg p = d g h =( x 980 x 00) barie = ~ 0 5 barie ~ 76 mm Hg +0 p v p a ma anche la giraffa: pressione venosa pressione 6 m e quando beve abbassa la testa arteriosa ma è alta ~6 m e + fluidi nei sistemi biologici MECCANICA FISICA MEDICA E RADIOPROTEZIONE,, elio giroletti II parte - Moto di un fluido in un condotto - Regime laminare - Regime turbolento lucidi di D.Scannicchio,, rivisti da E.Giroletti

9 MOTO di un FLUIDO REALE e OMOGENEO in un CONDOTTO 9 MOTO STAZIONARIO portata (e vel.) costanti nel tempo PULSATILE portata variabile in modo periodico FLUIDO GAS LIQUIDO non possiede forma propria, ma assume la forma del recipiente che lo contiene diffonde nello spazio disponibile volume limitato da superficie libera MOTO di un FLUIDO REALE e OMOGENEO in un CONDOTTO LIQUIDO PERFETTO incomprimibile e privo di viscosità REALE sono presenti forze di attrito interno che ne ostacolano il moto F attrito = f v OMOGENEO per qualsiasi volume le caratteristiche fisiche sono costanti (sangue: liquido non omogeneo) AAVV, Enciclopedia del corpo umano, cd-rom, 997 eritrociti diam=8 µm spess=-,7 µm sangue: liquido non omogeneo mm mm -3 leucociti eritrociti mm -3

10 MOTO di un FLUIDO REALE e OMOGENEO in un CONDOTTO 0 CONDOTTO RIGIDO DEFORMABILE non deformabile, quale che sia la forza applicata cambia la propria forma sotto l'azione di una forza deformazione elastica condotto elastico deformazione non elastica arterie e vene AAVV, Enciclopedia del corpo umano, cd-rom, 997 moto STAZIONARIO di un LIQUIDO REALE e OMOGENEO in un CONDOTTO RIGIDO approssimazione iniziale a) effetti delle disomogeneità del sangue - accumulo assiale - condotti capillari b) effetti della distensibilità dei condotti - forze di coesione nei liquidi - forze di coesione nei solidi (CONDOTTI ELASTICI) c) effetti della pulsatilità del moto descrizione fenomeno reale: moto PULSATILE di un LIQUIDO REALE NON OMOGENEO in un CONDOTTO ELASTICO

11 F A = -f v FORZE di ATTRITO, F A F A = η A v A δ REGIME LAMINARE v δ v v=velocità relativa = v v η coefficiente di viscosità A [η] = [M][L][t] [L] [L] [L][t] = [M][L] [t] CGS g s cm = poise SI poise = 0, Pa s F A = η A v δ REGIME LAMINARE η = η(t) funzione della temperatura, T t ( C) ή (poise) H O... 0 C C C plasma alcool... 0 C etere... 0 C mercurio.. 0 C glicerina... 5 C aria... 5 C sangue (valore ematocrito 40%) 0 comportamento viscoso normale valore ematocrito: volume % occupato da eritrociti viscosità relativa a H O VISCOSITA' del SANGUE anemia 5 4 volte η HO aumento Q O.K. o ematocrito % valore normale η sangue = 0,04 poise

12 REGIME LAMINARE η coefficiente di viscosità dipende da: concentrazione degli eritrociti (vedremo in seguito) raggio dei capillari temperatura: es. raffreddando gli arti => η aumenta => circolazione è più difficile => congelamento REGIME LAMINARE formula di Poiseulle Q = π r 4 8 η L (p p ) profilo della velocità asse del condotto v Q p p p > p parabolico L r 3 moto silenzioso p R = z = Q regime laminare Q = RESISTENZA IDRODINAMICA (impedenza idraulica, z) di un CONDOTTO π r 4 8 η L (p p ) SI: Pa s m -3 CGS: dyna cm 5 s z media = 00 mm Hg / 5l/min = 0 9 Pa s m -3 R = z = 8 η L π r 4 valore caratteristico, dipende da condotto e dal fluido

13 VASI IN SERIE R tot =R vaso + R vaso VASI IN PARALLELO tra le arteriole o tra i capillari z tot =/(/z vaso +/z vaso + ) in N capillari, z ciascuno eff = z/n z eff RESISTENZA MECCANICA (impedenza idraulica, z) e SISTEMA CIRCOLATORIO vena cava vene venule aorta AAVV, Enciclopedia del corpo umano, cd-rom, 997 Arterie arteriole 3 REGIME TURBOLENTO lamine e profilo parabolico di velocità lamine spezzate e vortici v c = R η d r v > v c velocità critica transizione di fase in tutto il volume R = numero di Reynolds (adimensionale) [η] [d][r] = [M][t] [L] [M][L] 3 [L] = [L][t] = [v] REGIME TURBOLENTO v c = Rη d r R = numero di Reynolds (numero adimensionale) r mm condotto rettilineo uniforme e regolare: R condotto non rettilineo e/o non uniforme: R < 000 v c = v c (t) dipende dalla temperatura

14 linee di velocità: VORTICI REGIME TURBOLENTO 4 3 relazione Q p moto: RUMOROSO (determinata dalla elevata dissipazione di energia per attrito) raddoppio portata = quadruplica pressione Q p Q p v c = Rη d r REGIMI di MOTO nel SISTEMA CIRCOLATORIO R = 000 η = 0.04 poise (plasma) d = g cm 3 AORTA (r = 0.8 cm) 000 0,04 v = 50 cm s c = 0,8 velocità media nell'aorta : 4,5 cm s velocità istantanea: 5 cm s 50 cm s a) MOTO TURBOLENTO all'apertura della valvola aortica b) MOTO LAMINARE nella restante parte del ciclo cardiaco raggio, r decrescente REGIMI di MOTO nel SISTEMA CIRCOLATORIO ARTERIE ARTERIOLE CAPILLARI v crescente c velocità effettiva in diminuzione MOTO LAMINARE VENULE VENE VENA CAVA v sangue < v c MOTO LAMINARE

15 REGIMI di MOTO nel SISTEMA CIRCOLATORIO - Sangue: considerazioni e ematocrito - disomogeneo - moto laminare (silenzioso) - equazione Poiseuille - viscosità: dipende da conc. eritrociti - ematocrito 40%: 4-5 quella H O - plasma:,5 quella H O - Arterie, capillari, vene: - elastici, diametro variabile - Regime pulsatile - Regime turbolento è rumoroso 5 REGIMI di MOTO nel SISTEMA CIRCOLATORIO considerazioni - ematocrito Anemia - basso ematocrito > bassa viscosità > alta portata - in caso di sforzo fisico: ipossia tessuti Policitemia - fisiologica per chi vive alle alte latitudini - patologica (tumori o insuff. respiratoria) - ematocrito fino 70% > aumento viscosità - sforzi fisici fluidi nei sistemi biologici MECCANICA FISICA MEDICA E RADIOPROTEZIONE,, elio giroletti III IV - V parte - Teorema di Bernoulli - Applicazioni del teorema di Bernoulli - Pressione idrostatica - Implicazioni sul corpo umano lucidi di D.Scannicchio, rivisti da E.Giroletti

16 t determinato TEOREMA di BERNOULLI L S p v 6 h V h V p S L v h fluido perfetto (forze di attrito nulle) (liquido non viscoso: η=0) e incomprimibile condotto rigido moto stazionario (Q = costante) TEOREMA di CONTINUITA t determinato L S p v h V h V p S L v h Q = V t = S v = S L t = S L t t determinato S L = S L V = V ENERGIA di PRESSIONE nei LIQUIDI F S l = V l S p = F S F e l hanno eguale direzione e verso (α=0, cosα=0) e sono normali alla superficie S F = p S E p =Lavoro= F l = F l = p S l = p V E p = p V

17 TEOREMA di BERNOULLI 7 T + U + Ep = costante S L p v h V h V p S L v h T + + U + Ep = T + U Ep T= en. Cinetica; U= en. Potenziale; Ep= en. Pressione CONSERVAZIONE dell ENERGIA L p S V h v L h T=en. cinetica U=en. potenziale E p =en. pressione suolo S V p v h T + U + Ep = T + U + Ep = T + U + E p cos tan te = NB: indipendente dalla pendenza!!! mv moto stazionario principio di conservazione dell'energia T U + Ep = T + U + Ep = kost + + mgh + p V = mv + mgh + p V V = costante divido per mg = V dg v p v p + h + = + h + g dg g dg ( t t determinato) V = V

18 TEOREMA di BERNOULLI 8 h + p v = costante d g + g altezza geometrica altezza piezometrica altezza cinetica ipotesi liquidi non viscosi e incomprimibili condotti rigidi moto stazionario applicabile con buona approssimazione al sangue e ai condotti del sistema circolatorio applicazione p v p v sistema circolatorio in teoria S S condotto uniforme orizzontale Q = costante S v = S v v = v v = costante h = costante v p v p + h h + = + + g dg g dg } BERNOULLI { S = S h = h p = costante applicazione p v p v S S sistema circolatorio in pratica c è attrito forze di attrito viscoso: dissipazione di energia (J cm 3 ) mv + mgh + p V = mv + mgh + p V L attrito divido per V posto A=L attrito / v d v + d g h + p = d v + d g h + p + A A=L attr / V p = p + A p p = A p < p

19 TEOREMA di BERNOULLI 9 h + p v = costante d g + g conseguenze aneurisma se si dilata tende ad allargarsi stenosi se si ostruisce tende a chiudersi TEOREMA di BERNOULLI conseguenze teorema di Torricelli p p v h v dg g dg g p0 p0 h = v dg dg g h + + = + + v = gh p v h + + = dg g S h =h h =0 v =0 p =p 0 p =p 0 kost v =v TEOREMA di BERNOULLI p v h + + = dg g conseguenze sindrome del furto succlaviano kost Foto tratta da Giancoli, Fisica ed. Ambrosiana, 000

20 TEOREMA di BERNOULLI p v h + + = dg g kost conseguenze favorisce la ventilazione nelle tane degli animali 0 Foto tratta da Giancoli, Fisica ed. Ambrosiana, 000 TEOREMA di BERNOULLI conseguenze come far cadere una leggera moneta entro una tazza senza toccarla p v h + + = dg g kost ovvero: perché gli aerei volano Foto tratta da Giancoli D.C, Fisica, ed. Ambrosiana, 000 fluidi nei sistemi biologici MECCANICA FISICA MEDICA E RADIOPROTEZIONE,, elio giroletti dispense su internet webgiro elio giroletti. Università degli Studi di Pavia dip. Fisica nucleare e teorica girolett@unipv.it