Lezione 9. Statica dei fluidi

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1 Lezione 9 Statica dei fluidi

2 Meccanica dei fluidi Un fluido e un corpo che non ha una forma definita, ma che, se e contenuto da un contenitore solido, tende a occupare (riempire) una parte o tutto il volume del contenitore. Questo vale sia se il fluido e a riposo o in moto. Sono fluidi I corpi liquidi e gassosi, che tuttavia si distinguono per diverse caratteristiche fisiche I liquidi sono (almeno in modo approssimato) incompressibili ossia possono cambiare di forma ma il volume totale si conserva, qualunque sia la pressione esercitata sulla sua superficie I gas sono in generale compressibili ovvero il volume dipende dalla pressione applicata Proprio perché il fluido tende a occupare tutto lo spazio disponibile, la superficie di contatto tra fluido e contenitore e massima. Pertanto nella statica e nel moto dei fluidi può avere una grande importanza l attrito tra il fluido e le pareti del contenitore, che e dovuto a forze molecolari di adesione che in generale tra solidi sono trascurabili. Per studiare la statica e la dinamica dei fluidi grandezze di tipo vettoriale come forza, momento della forza non sono in generale applicabili, perché un liquido a riposo può accettare sforzi esercitati solo perpendicolarmente alla sua superficie (sforzi normali). Se le forze applicate non sono perpendicolari alla superficie (sforzi di taglio) la geometria della massa fluida si modifica e abbandona lo stato di quiete. Le grandezze tipiche dei corpi rigidi devono essere sostituite da altri parametri che siano indipendenti dalla geometria del corpo.

3 Parametri fisici elementari Volume : spazio geometrico occupato dal corpo dimensioni fisiche : [L 3 ] unità: m 3 Densità : massa per unità di volume [m l -3 ] >> [kg m -3 ] V = dv V ρ = m/v ; se ρ varia in funzione delle coordinate : ρ = dm/dv La densità dei fluidi dipende dalla temperatura e, in modo molto più accentuato, nei gas. Pressione : Intensità delle forze normali per unità di superficie p = F N /A F N e la forza normale alla superficie se ρ varia in funzione delle coordinate : π = df N /ds dimensioni fisiche [m l -2 t -2 ] >> [N m -2 ] = [kg m -2 s -2 ] Unita di pressione Pa La pressione si misura in Pascal = Newton/m -2 Esistono altre unità di uso comune: 1 Bar = Pa atm = 1. 3 Bar = Pa. pressione dell aria a livello del mare e a 20 C 1 torr = 1/760 atm =133.3 Pa peso di 1 mm di Hg

4 Lavoro dovuto ad una pressione Se, sotto l azione di una forza esterna esterna F (applicata alla sezione normale S di un fluido contenuto in un cilindro), S subisce uno spostamento dh, il lavoro compiuto dalla forza F e dw = Fdh = psdh = Dove dv e la variazione subita dal volume V del fluido. Si può dimostrare che la relazione dw = pdv pdv vale in generale, ossia si può applicare ad un fluido di forma qualsiasi sottoposto ad una pressione di intensità variabile nello spazio. Per una variazione di volume tra il valore iniziale V 1 ed il valore finale V 2, il lavoro e W = V 2 V1 pdv

5 Variazione della pressione in un liquido a riposo Se l elemento di fluido e in equilibrio, la somme delle forze applicate e zero. Le forze applicate sono : la forza applicata dal liquido sottostante : ps la forza applicata dal liquido soprastante : (p+ p) S la forza peso F y = ρ g V= ρ g S y Eguagliando le forze: p S = (p+ p) S + w = (p+ p) S+ ρ g S y y y p/ y = - ρ g π=ρ g >> densita di peso del liquido. Per acqua π= 1 Ν/ m -3 = 1 kg m -3 s -2 Legge di variazione della pressione in un fluido (p+ p) S S y p S ρ g V

6 Variazione della pressione in un liquido a riposo La differenza di pressione tra un un punto a livello y 2 di un fluido e ed uno a livello inferiore y 1 e y 2 p 2 p 1 ρ g dy ρ g ( y 2 y 1) (9.4) y 1 Se assumiamo uguale a p 0 la pressione sulla superficie del fluido: p = p 0 + ρg h con h = y 2 - y 1 Legge di Stevino La pressione in un punto e eguale alla pressione esercitata sulla superficie del fluido sommata al peso di una colonna di liquido di area unitaria Esempio: In un bacino d acqua (ρ =10 3 kg/m 3 ) sottoposta alla pressione atmosferica di 1 Bar, la pressione cresce con la profondità come p(h) = ( h) Pa ossia la pressione aumenta di circa 1 bar ogni 10 m di profondità. In figura 9.6 a e mostrato come si distribuisce la pressione che il contenitore esercita su un liquido contenuto in un recipiente e sottoposto alla forza peso (applicata a tutto il volume) ed alla pressione atmosferica (applicata alla superficie libera). Nel caso di un gas compresso in un cilindro (figura 9.6b), il contributo della forza peso e trascurabile e la pressione del contenitore sul gas e costante.

7 Superfici isobariche La pressione di un fluido sottoposto alla forza peso è funzione soltanto della coordinata verticale. In un piano orizzontale, di equazione h = costante, per la legge di Stevino il valore della pressione è costante. Il piano si dice una superficie isobarica. Nella (9.4) compare il termine E p,m = gh, che rappresenta l'energia potenziale della forza peso E p = mgh divisa per la massa (energia potenziale per unità di massa). Pure E p,m dipende solo da h e quindi in un piano h = costante ha valore costante: una superfìcie isobarica è anche una superficie equipotenziale, cioè una superficie nei cui punti E m ha valore costante. Dalla (9.4) riscritta come p(h) = - ρ E m (h) + cost: si deduce che, dato che su una superficie isobarica p = cost ed E p,m = cost anche la densità ρ = cost. Una superficie isobarica ha dunque queste tre proprietà: p = cost E p,m = cost ρ = cost,. La superficie limite di un liquido e una superficie isobarica e pertanto la superfìcie limite di un liquido in quiete deve essere orizzontale, (figura 9.9). p = p 0 + ρg h

8 Superfici isobariche Per lo stesso motivo vale il principio dei vasi comunicanti (figura 9.10). il livello di un liquido contenuto in contenitori di dimensione,volume e forma diversi comunicanti fra loro e costante Manometro a U In un tubo a forma di U, riempito con un liquido, (figura 9.11). se le pressioni p 1 e p 2 sono uguali, le superfici libere si trovano allo stesso livello in base al principio dei vasi comunicanti. Se invece p 1 > p 2 le superfici si dispongono in modo che p1 p2 h = ρg Principio di Torricelli : Se p 2 = 0 e p 1 = p atm si ricava p = p 0 + ρg h la pressione di un fluido e pari al peso di una colonna di fluido di sezione unitaria (ρgh). La realizzazione pratica del principio di Torricelli e il barometro a colonna (Figura 9.13). Se il liquido usato e mercurio (ρ = kg/m 3 ) la colonna di mercurio misura la pressione atmosferica. Al livello del mare e a 0 C h = 760 mm da cui si ricava : p atm = Pa (pressione atmosferica normale)

9 Un corpo immerso in un fluido e soggetto ad una forza dal basso all alto pari al perso del fluido spostato Principio di Archimede Il principio di Archimede esprime il fatto un volume di fluido eguale a quello del corpo e in equilibrio tra la forza peso e le forze che il fluido circostante esercitano sul volume stesso. La risultante di queste forze e una forza diretta verso l alto e pari al peso del volume di liquido F = m = ρv + F = F + g = 0 pertanto p V p m F p g g Se il volume di liquido e sostituito un corpo con eguale forma ma diversa densità ρ la forza di pressione esercitata dal liquido rimane la stessa ma ill peso diventa F = m ' g = ρ' Vg F = F + F = m' g = ( ρ ρ' Vg p F V e la forza totale Un corpo solido la cui densità media sia superiore a quella del fluido affonda t p V ) inferiore a quella del fluido emerge dal fluido (galleggia) fino al livello (detto di galleggiamento) a cui il peso del corpo sommerso e eguale alla spinta di Archimede

10 Perché il ghiaccio galleggia sull acqua? Esempio I Un iceberg galleggia perché l acqua ha una densità massima allo stato liquido ( kg/m 3 a 4 C), e il ghiaccio ha una densità inferiore ( kg/m 3) : Il peso dell iceberg e W i =ρ i g V i, quello dell acqua, che provoca la spinta di galleggiamento e W w =ρ w g V w. Per il principio di Archimede il galleggiamento si verifica quando. ossia W i = ρ i g V i = W i = ρ w g V w V w = V i (ρ i / ρ w ) = V i (0.92 / 1.03)= 0.89 V i ossia quando circa il 90% del volume di un iceberg e immerso Esempio 2 Quale volume di elio deve avere un pallone stratosferico per sollevare M = 100 Kg? il peso del pallone e : pertanto: p ρ aria = (m He Vg = (ρ + 100kg)g He V + 100kg)g 100kg ρ ρ 100kg ( )kg/m V = = 3 aria he 3 90m

11 Esercizi sulla statica dei fluidi Leva pneumatica Nella leva pneumatica, un peso F 2 caricato su un pistone superficie S 2 e sollevato applicando una forza F 1 ad un pistone di superficie S 1 Dato che il liquido e incompressibile, e p 1 = F 1 / S 1 = p 2 = F 2 / S 2 Pertanto: F 2 = F 1 S 2 / S 1 la leva permette di sollevare grandi pesi con forze modeste. Legge di Stevino applicata a due fluidi Due liquidi di densità diverse e non mescolabili sono posti in un tubo a U. Calcolare il rapporto tra le altezze raggiunte dalle due superfici libere Prendendo come riferimento la superficie di separazione dei due liquidi e applicando la legge di Stevino ad entrambi i liquidi Ossia: p atm + ρ + ρ 1gh1 = patm 2gh2 h1 h 2 ρ2 = ρ 1

12 Misure di densità e di volume Misura di volume e densità di un corpo solido La forza di Archimede e utile per la misura di densità e volume di un corpo solido di forma irregolare. Infatti : Si misura il peso del corpo con un dinamometro:t 1 = m c g = ρ c gv Si compie la stessa misura con il corpo immerso in un liquido di densità nota (e.g. acqua): T 2 = m c g m a g = T 1 g ρ a V Il volume del corpo e : V = (T 1 T 2 )/ g ρ a La densità del corpo è ρ c = m c /V =[T 1 /(T 1 T 2 )] ρ a Misura densità di un liquido Si fa galleggiare sul liquido di densità ρ L ignota un corpo solido di densità nota e di dimensioni regolari (e.g. un parallelepipedo). : In equilibrio e : Pertanto: g ρ a V = g ρ L V s dove V s e il volume di liquido spostato ρ L = ρ (V/ V s )= ρ (h/ h s )=