FLUIDI. Dott.ssa Silvia Rainò

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1 1 FLUIDI Dott.ssa Silvia Rainò

2 Vi sono fenomeni fisici per i quali una descrizione in termini di forza, massa ed accelerazione non è la più adeguata. Es.: persona che cammina su un terreno cedevole (sabbia, terreno, ) La forza esercitata dalla persona sul terreno è F = mg. Ci sono situazioni in cui la persona cammina agevolmente, ad esempio se indossa scarpe da ginnastica, e situazioni in cui affonda, ad esempio se indossa scarpe con i tacchi a spillo. Cosa cambia nei due casi?

3 3 Primo caso (persona con scarpe da ginnastica): forza = mg, superficie di appoggio S 1. Secondo caso (persona con tacchi a spillo): forza = mg, superficie di appoggio S (con S < S 1 ).

4 Definizione di pressione 4 Definiamo la grandezza scalare PRESSIONE: F F perpendicolare Forza per unità di superficie, ove la forza F è applicata PERPENDICOLARMENTE alla superficie considerata S p = F perpendicolare S

5 Unità di misura della pressione 5 [newton/m ]=[pascal] F p = F S S

6 Altre Unità di misura della pressione 6 [newton/m ]=[pascal] F p = F S 1) 1 atmosfera è circa = Pascal ) 1 millibar è circa = 100 Pascal 3) 1 atmosfera è circa = 1000 millibar S

7 Altre Grandezze Fisiche 7 Densità r = massa/volume [kg/m 3 ] Peso Specifico s = peso/volume [N/m 3 ] Importante: La densità dei corpi non è necessariamente costante in tutti i punti del corpo

8 Definizione di Fluido 8 Un fluido è un mezzo continuo senza FORMA propria (quindi i fluidi si adattano alla forma del contenitore). Fluidi liquidi: hanno volume proprio Fluidi aeriformi: NON hanno volume proprio

9 Le leggi fondamentali dell idrostatica 9 Legge di Stevino Principio di Pascal Principio di Archimede

10 Legge di Stevino 10 Una colonna di fluido liquido in quiete di altezza h esercita alla base una pressione pari a rgh. aria acqua y 1 y Si consideri una porzione di fluido A in quiete, ad esempio di forma h cilindrica, all interno del fluido. A Siano A le basi del cilindro. y Sia V=A(y -y 1 )=Ah il volume del cilindro di fluido considerato. La massa M di fluido nel volume V è: M =rv =ra(y -y 1 ) =rah

11 Legge di Stevino 11 Sulla superficie superiore del cilindro agisce una forza F 1 =p 1 A dovuta al fluido sovrastante Sulla superficie inferiore del cilindro agisce una forza F =p A, dovuta alla presenza del fluido sottostante F 1 F aria acqua y 1 y Mg Mg F 1 F

12 Legge di Stevino 1 Ricordando che il fluido è in quiete e che F 1 =p 1 A, F =p A, M=rA(y -y 1 ) si ha: F F 1 +Mg=F p 1 A+rA(y -y 1 )g=p A p 1 +r(y -y 1 )g=p p -p 1 =rg(y -y 1 )=rgh p =p 1 +rgh Mg F 1 Poiché (y -y 1 )=h>0 p >p 1 cioè la pressione di un liquido in quiete aumenta con la profondità La pressione rgh in condizioni di riposo è detta pressione idrostatica

13 Legge di Stevino 13 Una colonna di fluido liquido in quiete di altezza h esercita alla base una pressione idrostatica pari a rgh. aria acqua Y=0 h p 0 pressione esterna al pelo dell acqua Pressione alla profondità h: p=p o +rgh, Con p 0 pressione esterna (al pelo dell acqua) y

14 Osservazioni 14 h h h p=p o +rgh Il valore della pressione a profondità h è sempre la stesso (non dipende dalla particolare forma del contenitore)

15 Vasi Comunicanti 15 Rispetto alla loro superficie di separazione due liquidi immiscibili raggiungono, in vasi comunicanti, altezze inversamente proporzionali alla rispettive densità, cioè: r 1 h 1 =r h. aria olio aria Calcoliamo la pressione nel livello generico in due modi diversi. acqua acqua acqua Dal lato olio+acqua Dal lato tutta acqua

16 Vasi Comunicanti 16 Rispetto alla loro superficie di separazione due liquidi immiscibili raggiungono, in vasi comunicanti, altezze inversamente proporzionali alla rispettive densità, cioè: r 1 h 1 =r h. Legge di Stevino p=p o +rgh, aria aria Dal lato olio+acqua p=p o +r olio gh 1 +r acqua gh olio h 1 h Dal lato tutta acqua h acqua acqua livello generico acqua h p=p o +r acqua gh +r acqua gh

17 Vasi Comunicanti 17 Eguagliamo le due pressioni a profondità h: p o +r olio gh 1 +r acqua gh = p o +r acqua gh +r acqua gh olio h 1 h h acqua livello generico acqua acqua h r olio gh 1 = r acqua gh r olio h 1 = r acqua h Legge di Stevino p=p o +rgh,

18 Vasi Comunicanti 18 Rispetto alla loro superficie di separazione due liquidi immiscibili raggiungono, in vasi comunicanti, altezze inversamente proporzionali alla rispettive densità, cioè: r 1 h 1 =r h In due punti qualsiasi, situati sotto la superficie di separazione fra i due liquidi e appartenenti al medesimo piano orizzontale, la pressione assume lo stesso valore e inoltre : h 1 h = r r 1 p aria olio h h 1 h aria h acqua acqua livello generico acqua

19 Vasi Comunicanti (caso particolare) 19 Densità eguali (cioè stesso liquido) altezze eguali: r 1 =r h 1 =h. acqua Principio dei vasi comunicanti acqua Indipendentemente dalla forma del recipiente, il liquido, in condizioni di quiete, raggiunge lo stesso livello in recipienti fra loro comunicanti

20 Strumenti per la misura della pressione: manometro 0 Manometro : apparecchio destinato alla MISURA della pressione: Barometri (misura della pressione atmosferica) Vacuometri (misura pressioni debolissime) Sfigmomanometri (misuratori di pressione arteriosa)

21 Esempio 1 Si consideri un manometro a tubo aperto riempito di alcol etilico (ρ= 0.79 x 10 3 Kg/m 3 ). Se ad uno dei capi viene applicata una pressione P mis = 1.3 atm, di quanto sarà il dislivello tra i livelli di liquido nei rami?

22 Dati iniziali: ρ= 0.79x10 3 kg/m 3, p mis = 1.3 atm, p 0 = 1 atm I punti A e B si trovano alla stessa quota. All equilibrio in B e in A le pressioni devono essere le stesse p A =p 0 + rgdh p B = p mis p mis =p 0 + rgdh B Dh = (1.3-1)atm ( Kg m m s ) = Dh = (p mis p 0 )/rg atm Kg m sec = 3.9m Maggiore densità del liquido manometrico => dimensioni ridotte

23 Esperienza di Torricelli 3 p ATM = r MERCURIO gh = = kg/m m/s 0.76 m ~ 10 5 Pascal = 1 atm

24 Il barometro di Torricelli 4 Trascurando i vapori di mercurio, all equilibrio la pressione del punto è nulla. I punti 1 e 3 sono alla stessa quota quindi in essi la pressione è la stessa (legge di Stevino) Quindi: p 0 p p 1 3 p ATM p 3 p rhg gh p3 r Hg gh p ATM p3

25 Osservazione 5 Supponiamo di non usare mercurio, ma acqua nell esperienza di Torricelli (ricordiamo che 1atm~ 10 5 Pascal): densità mercurio =13600 kg/m 3 = 13.6 g/cm 3 patm patm rhg ghhg hhg 0. 76m r g Hg densità acqua = 1000 kg/m 3 = 1 g/cm 3 p3 5 patm 10 Pa 100 patm rh OghH O hh O m m r g Kg m H O m s

26 6

27 Principio di Pascal (165) 7 Enunciato: Un cambiamento di pressione applicato ad un fluido confinato viene trasmesso inalterato a ogni porzione di fluido e alle pareti del recipiente che lo contengono. Dimostrazione: In condizioni normali: p A = p est +rgh Peso = mg, sovrapressione Dp =mg/sezione h A Applichiamo una sovrapressione Dp: p A = Dp+p est +rgh Calcoliamo la variazione di pressione in A: p A - p A = Dp+p est +rgh-(p est +rgh )= Dp

28 Applicazioni: martinetto idraulico (crick) e freno 8 Dp Dp in F A D in in in p out Dp out F A out out F A in in

29 Esercizio 9 Per sollevare una macchina, un meccanico esercita una forza su un piccolo pistone di area S 1 e il fluido compresso trasmette tale pressione ad un secondo pistone di area maggiore S. Il rapporto fra le due sezioni è 1:5. Quale forza deve esercitare il meccanico per sollevare un auto di massa M=1000 kg? Se il meccanico esercita la sua forza spingendo per 0.5 m, di quanto si alza la macchina?

30 30 Dati iniziali: M=1000kg S 1 /S =1:5 d 1 =0.5m Dp 1 F S 1 1 Dp F S Dp D 1 p F S F S 1 1 F 1 S S 1 F S S 1 Mg 1 F1 1000kg9. 8m / s 39. 4N 5

31 31 Dati iniziali: M=1000kg S 1 /S =1:5 d 1 =0.5m Liquido ideale, quindi incomprimibile: stessi volumi spostati V 1 = V S 1 d 1 = S d d = (S 1 /S )d 1 =0.04*0.5=0.0m= cm

32 Principio di Archimede 1 3 Enunciato: un corpo immerso totalmente o parzialmente in un fluido è soggetto ad una spinta verso l alto pari al peso di fluido spostato dall oggetto stesso Supponiamo di avere un sottile palloncino D di plastica (e massa trascurabile) pieno di acqua. Esso è in equilibrio statico, pertanto la forza di gravità agente su di esso è bilanciata da una forza verso l alto esercitata sul palloncino dall acqua circostante, cioè mg = F A. Cosa succede se si sostituisce lo spazio occupato da D con un oggetto della stessa forma, ad esempio: con una pietra o un sughero?

33 Principio di Archimede 33 Enunciato: un corpo immerso totalmente o parzialmente in un fluido è soggetto ad una spinta verso l alto pari al peso di fluido spostato dall oggetto stesso a) La pietra affonda; b) Il sughero galleggia. Perché? La spinta F A è rimasta inalterata, mentre sono cambiate le forze peso: a) Pietra: m P g>f A b) Sughero: m S g< F A La spinta di Archimede F A vale sempre: F A =m fluido g = r fluido Vg con m fluido pari alla massa del fluido spostato dal corpo.

34 In generale 34 F A mg ma m r FLUIDOSP FLUIDOSP g Vg m CORPO r CORPO g Vg m CORPO r a CORPO Va a r r FLUIDOSP CORPO g r r CORPO CORPO g æ a = g r ö FLUIDOSP ç -1 è r CORPO ø Vi sono 3 Casi possibili : 1. r C> r F Accelerazione negativa il corpo affonda. r C <r F Accelerazione positiva il corpo emerge 3. r F =r C Accelerazione nulla il corpo è in equilibrio

35 Principio di Archimede 3 35 Galleggiamento: un corpo galleggia in un fluido quando la sua densità è minore di quella del fluido. Il modulo della spinta di galleggiamento (spinta di Archimede) è pari al modulo della forza gravitazionale. Esempio: tronco di legno completamente immerso in acqua r HO =10 3 kg/m 3 r legno = kg/m 3 r legno < r HO Sul corpo agiscono: Forza peso: mg=r legno Vg Spinta di Archimede: F A = r HO Vg F A mg r H Vg Vg 0 O rlegno a>0

36 Principio di Archimede 4 36 Galleggiamento: quando un corpo galleggia in un fluido il modulo della spinta di galleggiamento (spinta di Archimede) è pari al modulo della forza gravitazionale. Il tronco di legno di volume V 0 galleggia: è in una situazione di equilibrio F F A m g 0 tronco A HO V sp g F A m tronco Quanto vale F A? Attenzione!!!! Il tronco ora è PARZIALMENTE immerso in acqua! Il volume di liquido spostato non è tutto il volume del tronco ma SOLO il volume della parte immersa! Perciò: r g

37 Principio di Archimede 4 37 Abbiamo le seguenti relazioni: Forza peso del tronco (r 0,V 0 ): Spinta di Archimede: Dalla condizione di equilibrio: F m tronco g r 0 V 0 g F A r fluido A m V tronco sp g g Sostituendo le espressioni di forza peso e spinta di Archimede nella condizione di equilibrio si ha: r V sp g r 0 V fluido 0 g V V sp 0 r 0 r fluido

38 Iceberg 38 Densità del ghiaccio è r ghiaccio =0.9 g/cm 3 Densità dell acqua di mare r HOmare =1.0 g/cm 3 V V sp tot r r corpo Fluido r ghiaccio r H O r r ghiaccio HOmare 0. 9 Il volume di ghiaccio immerso è pari a circa il 90% del volume totale dell iceberg V tot

39 Principio di Archimede 5 39 P-F el =0 P=F el Il dinamometro misura del peso dell oggetto Ora bisogna considerare anche il contributo della spinta di Archimede che spinge l oggetto verso l alto. Il dinamometro non misura il peso reale dell oggetto ma il PESO APPARENTE P app =P-F A =F el P-F A = rvg -r H0 Vg= F el

40 Esercizio 40 Una zattera la cui superficie di base è S = 6 m, galleggia sull acqua restando immersa per un tratto di lunghezza h 1. Sulla zattera viene successivamente posto un carico C di massa m = 360 Kg, dopo di che il natante risulta immerso di un tratto di lunghezza h >h 1. Calcolare l abbassamento Dh = h -h 1 determinato dal carico. r Acqua =10 3 kg/m 3 h 1 h

41 Soluzione 41 Dati iniziali: m=massa tronco, m carico =360 kg, S=6m, h >h 1 1. Senza carico: V 1 =Sh 1 volume di tronco parzialmente immerso in H O Il tronco galleggia, la forza peso uguaglia la spinta di Archimede: F A P=mg h 1 mg F A F r V g A H O H O 1 1 r h Sg mg r h Sg O H 1

42 Soluzione 4 1. Senza carico F A P h 1 mg r h Sg O H 1. Con carico: V =Sh volume di tronco parzialmente immerso in H O P carico F A P h mg m F' carico g F' A rh OV g r H h A O Sg mg m g r h carico H O Sg

43 Soluzione 43 h 1 h mg r h Sg O mg m r H 1 g r h carico H O H O S Sg rh Oh Sg r H O 1 h h 1 mcarico r Oh Sg mcaricog r H H O h Sg 1 m carico g m h h1 0. r S H O h carico 06 Sg m

44 44 -> mongolfiere, sommergibili

45 Esercizio 45 L aria calda all interno di una mongolfiera di volume 500 m 3 ha densità pari a 75% della densità dell aria all esterno (1.9 kg/m 3 ). Se la navicella e l involucro hanno massa complessiva di 0 Kg, quante persone di massa 70 Kg può sollevare la mongolfiera? R :

46 Soluzione 46 Dati iniziali: r ext =1.9g/cm 3 r int = g/cm 3 =0.967g/cm 3 V=500 m 3 M nav =0kg M uomo =70kg Determinare: N=numero di uomini che possono salire sulla mongolfiera

47 Soluzione 47 Sul corpo agiscono: Forza peso di navicella+involucro: P nav =M nav g Forza peso dell aria contenuta nel pallone: P int =M aria_int g=r int Vg Forza peso dovuta al carico di uomini: P carico =NM uomo g Spinta di Archimede: F A =r ext Vg Fa Pnav+Paria Pcarico P nav P int P carico F A

48 48 A carico int nav F P P P Vg g Vg g ext uomo int nav m N m r r nav int ext m uomo m N V V r r 70kg m m N uomo nav int ext kg V V.. r r

49 49 Dinamica dei fluidi

50 Concetto di Campo 50 Insieme dei valori che una certa grandezza fisica assume in tutti i punti dello spazio. Esempio 1: Consideriamo il valore della pressione atmosferica in tutti i punti dell aula. Poiché la pressione è una grandezza scalare questo campo è un campo di tipo scalare. Per rappresentare il campo possiamo associare un NUMERO (il valore della pressione) ad ogni punto (cioè ad ogni valore della terna (x,y,z)) dell aula. Esempio : valore della temperatura in tutti i punti dell aula campo scalare

51 Concetto di Campo 51 Esempio 3: accelerazione di gravità al variare della posizione, Esempio 4: valore della velocità delle molecole di aria, in tutti i punti dell aula. L accelerazione e la velocità sono grandezze vettoriali, perciò questi campi sono campi di tipo vettoriale.

52 Campi Uniformi e/o Stazionari 5 Un campo (scalare o vettoriale) si dice UNIFORME se la grandezza fisica assume un valore costante in TUTTI i punti dello spazio (considerato). Se, ad esempio, la pressione atmosferica è costante in tutti i punti dell aula magna, il campo di pressione nell aula magna è detto UNIFORME. Un campo (scalare o vettoriale) si dice STAZIONARIO se la grandezza fisica assume un valore costante al variare del tempo. Se, ad esempio, la pressione atmosferica è costante nell arco di una intera giornata, in ogni punto dell aula (ma varia da punto a punto) il campo di pressione nell aula è detto STAZIONARIO

53 Rappresentazione di un campo vettoriale tramite le linee di flusso 53 Per rappresentare un campo vettoriale si usa la seguente convenzione : 1) In ogni punto il vettore ha la direzione tangente alle linee di flusso. ) Il verso del vettore è quello indicato dalle linee di flusso. 3) L intensità del vettore è proporzionale al numero di linee di flusso che attraversano una superficie unitaria e normale alle linee stesse. Le linee di flusso sono le linee curve in blu.

54 54 Studio del Fluidi in Movimento (Idrodinamica) Conviene studiare il comportamento della grandezza fisica (ad esempio la velocità) al variare del TEMPO IN CIASCUN PUNTO, piuttosto che studiare il moto di ogni singola particella che compone il fluido. Studio quanto vale la velocità del fluido nel punto Q al variare del tempo. Le grandezze fisiche solitamente utilizzate in idrodinamica sono: -) pressione p -) densità r -) velocità v. Q Condizione STAZIONARIA: in ogni punto la grandezza fisica è costante al variare del tempo (ma varia da punto a punto).

55 Campi vettoriali stazionari 55 I moti stazionari sono caratterizzati da traiettorie delle particelle fisse nel tempo. La traiettoria seguita da ciascun elemento fluido si dice linea di flusso. L'insieme delle linee di flusso costituisce una superficie tubolare detta tubo di flusso

56 56 Studio del Fluidi in Movimento (Idrodinamica) CAMPO IDRODINAMICO STAZIONARIO pressione p=p(x,y,z) densità rrx,y,z) velocità v=v(x,y,z) MANCA la VARIABILE TEMPO Studio quanto vale la velocità del fluido nel punto Q al variare del tempo. Q

57 57 Studio del Fluidi in Movimento (Idrodinamica) CAMPO IDRODINAMICO STAZIONARIO Non possono esserci due linee di flusso passanti per Q, perchè Q Nel punto Q avremmo due diverse velocità del fluido e quindi il fluido non sarebbe stazionario.

58 Tubo di flusso 58 Non possono esserci linee di flusso che escono dal tubo di flusso Il fluido che attraversa A, deve attraversare anche B Sezione A Sezione B

59 L equazione di continuità 59 Per un fluido in moto stazionario La massa di fluido che attraversa in un dato intervallo di tempo una sezione del condotto deve essere eguale a quella che passa nello stesso intervallo di tempo per ogni altra sezione, cioè m 1 = m

60 L equazione di continuità 60 m 1 =m r 1 V 1 = r V r 1 A 1 Dl 1 = r A Dl Nell unità di tempo : r 1 A 1 Dl 1 /Dt= r A Dl /Dt r 1 A 1 v 1 = r A v rav portata di massa massa di fluido passante per un punto al secondo

61 L equazione di continuità 61 m 1 =m r 1 V 1 = r V r 1 A 1 Dl 1 = r A Dl Se il liquido è incomprimibile V 1 = V, cioè: A 1 Dl 1 = A Dl Ma Dl=v Dt, quindi: A 1 v 1 Dt= A v Dt A 1 v 1 = A v Av portata volumetrica volume di fluido passante per un punto al secondo

62 Una manifestazione dell equazione di continuità 6 A 1 v 1 = A v 1 con v 1 < v perché l acqua è in caduta libera A 1 > A

63 Definizione di Fluido Ideale 63 Un fluido si dice ideale se è incomprimibile e non viscoso. Incomprimibile: la sua densità NON varia, ovvero avente densità indipendente dalla pressione a cui è sottoposto Non viscoso: all interno della massa di fluido in movimento non sono attriti. Un fluido ideale è quindi meccanicamente conservativo.

64 Il Teorema di Bernoulli 64 Dato un un condotto percorso da un fluido ideale in moto stazionario, si vuole studiare il moto di un fluido: a) incomprimibile b) non viscoso c) stazionario

65 Il Teorema di Bernoulli: dimostrazione 65 Siano : -A 1 e A due generiche sezioni trasversali del condotto -y 1 e y le altezze dei centri delle due sezioni A 1 e A -l 1 ed l i tratti di cui si è spostata la porzione di fluido in un intervallo di tempo Dt

66 Il Teorema di Bernoulli: dimostrazione 66 Teorema dell Energia Cinetica: L=DE K Calcoliamo inizialmente la variazione di Energia cinetica del liquido quando passa dalla quota y 1 alla quota y DE K = m(v v 1 ra 1 Dl 1 (v v 1

67 Il Teorema di Bernoulli: dimostrazione 67 L=DE K =ra 1 Dl 1 (v v 1 Chi compie lavoro sulla massa di fluido? a) La forza gravitazionale b) Le forze di pressione L = L g +L p Il lavoro della forza gravitazione L g è < 0! L g =-mg(y - y 1 )= -ra 1 Dl 1 (y - y 1 )g

68 Il Teorema di Bernoulli: dimostrazione 68 Calcoliamo il lavoro delle forze di pressione: L p = L 1 + L F 1 F L 1 = F 1 Dl 1 = p 1 A 1 Dl 1 L = -F Dl = -p A Dl

69 Il Teorema di Bernoulli: dimostrazione 69 Torniamo a L=DE K L g + L 1 + L = DE K -ra 1 Dl 1 (y - y 1 )g+ p 1 A 1 Dl 1 -p A Dl = ra 1 Dl 1 (v v 1

70 Il Teorema di Bernoulli: dimostrazione 70 L g + L 1 + L = DE K -ra 1 Dl 1 (y - y 1 )g+ p 1 A 1 Dl 1 -p A Dl = ra 1 Dl 1 (v v 1 A DI =A 1 DI 1 -ry g+r y 1 g+ p 1 -p = rv / rv 1 ry 1 g+ p 1 + rv 1 / = r y g+ p rv p + rv / + ryg = costante Per un fluido incomprimibile e non viscoso, è costante, in ogni sezione del condotto, la somma della: pressione dinamica, pressione cinetica pressione di gravità

71 Il Teorema di Bernoulli: sintesi 71 Per un fluido incomprimibile e non viscoso la somma della: pressione dinamica, pressione cinetica pressione di gravità è costante in ogni sezione del condotto p + rv / + ryg = costante p 1 + rv 1 / + ry 1 g = p + rv / + ry g

72 Richiamo 7 Equazione di continuità : r 1 A 1 V 1 = r A V Teorema di Bernoulli (espressione della conservazione dell energia): p + rv / + ryg = costante

73 Osservazioni 73 Alla stessa quota (y 1 =y ) l equazione del teorema di Bernoulli diventa : p 1 + rv 1 / + ry 1 g = p + rv / + ry g Da cui segue che dove la velocità è alta la pressione è bassa e viceversa Se il liquido è fermo, invece, l equazione diventa : p 1 + rv 1 / + ry 1 g =p + rv / + ry g -> Legge di Stevino

74 Capillarità 74 Nella piccola porzione di fluido alla superficie c è un equilibrio tra le forze di coesione (tra le stesse molecole del liquido) e le forze di adesione (tra molecole della parete e molecole del fluido). Le forze di adesione liquido-gas si considerano trascurabili

75 F a F a 75 F c F c F a > F c Liquido bagna la parete. Es: acqua-vetro -> pressione della tensione superficiale diretta verso l alto che fa innalzare il liquido se il tubo è piccolo. innalzamento capillare F a <F c Liquido non bagna la parete. Es: mercurio-vetro t df/dl

76 Legge di Jurin 76 All equilibrio la pressione dovuta alle tensioni superficiali t deve essere pari alla pressione idrostatica ( rgh ). Tale pressione è data da tcosa/r R = raggio del tubicino L altezza cui si alza il fluido è tale che a R t cosa = hrg R'

77 77 Esempi ed esercizi

78 Esempio 78 Calcolare la velocità v 1 dell acqua all uscita dal rubinetto del serbatoio in figura: Sulla superficie del serbatoio e all uscita dal rubinetto la pressione è la stessa, ovvero la pressione atmosferica: p 1 =p =p atm

79 79 Applicando il teorema di Bernoulli e ricordando che p 1 =p e v =0: 1 1 y y g v gy v p gy v p r r r r y y g v r r

80 Esercizio 1 80 In un impianto di riscaldamento l acqua viene pompata ad una velocità di 0.5 m/s attraverso un tubo di diametro 4 cm nello scantinato ad una pressione di 3 atm. Quali saranno la velocità di flusso e la pressione in un tubo di.6 cm di diametro al secondo piano, 5 m sopra?

81 Soluzione esercizio 1 81 Dati iniziali: r HO =1g/cm 3 =1000kg/m 3 v 0 =0.5m/s d 0 =4cm r 0 =cm p 0 =3atm h=5m d 1 =.6cm r 1 =1.3cm Determinare: v 1 =? p 1 =? L acqua fluisce senza attriti ed è incomprimibile Il flusso è: laminare non ci sono attriti stazionario velocità costante nel tempo in uno stesso punto

82 8 Possiamo applicare l equazione di continuità: r 0 v 0 A 0 = r 1 v 1 A 1 = cost che indica che la quantità di acqua che passa in ogni sezione nell unità di tempo è costante L acqua è incomprimibile: r 0 = r 1 v 0 A 0 = v 1 A 1

83 83 v v 1 0 A A 0 1 d A π πr - πr0 10 m v v0 0.5 m s - πr m m / s Per conoscere la pressione applichiamo il teorema di Bernoulli: 1 1 p0 rv0 rgy0 p1 rv1 rgy1 y 0 y 0 1 cost h rg0 0 rgh

84 84 Il teorema di Bernoulli è un applicazione della conservazione dell energia! p p p rv rv p rv 1 rv 1 1 rgh rgh p 1 1 atm = N/m 10 5 N/m p. 510 N 5atm m kg m 3. m N kg m m s m s 1. m

85 Esercizio 85 Le fleboclisi sono effettuate, nel caso più semplice, sfruttando la forza di gravità. Assumendo che il fluido abbia densità r=1g/cm 3, e trascurando fenomeni di capillarità, a quale altezza h deve essere posta la bottiglia in modo che la pressione del liquido all ingresso in vena sia: 65 mmhg 550 mmh O Se la pressione del sangue è 18 mmhg al di sopra della pressione atmosferica, a quale altezza deve essere posta la bottiglia perché il fluido sia appena in grado di entrare in vena?

86 Soluzione esercizio 86 Dati iniziali: r=1g/cm 3 =1000kg/m 3 p fin =65mmHg Determinare: h=? La bottiglia viene rovesciata e quindi tra la superficie del liquido e il fondo della bottiglia la pressione è nulla. Applichiamo la legge di Stevino: p fin p rgh 0 h r g p fin

87 87 Ricordiamo alcuni fattori di conversione della pressione: Perciò: 1 mmhg = (1/760) atm = (1/760) N/m pfin ρg N/m Kg/m sec h m

88 88 Dati iniziali: r=1g/cm 3 =1000kg/m 3 p fin =550 mmh O Determinare: h=? h p ρg atm kg/m sec fin p ρg N/m kg/m sec fin h. 0 55m

89 89 Dati iniziali: r=1g/cm 3 =1000kg/m 3 p vena =18 mmhg Determinare: h=? Dobbiamo avere: p fin =p vena : Ricordando che: 1 mmhg = (1/760) atm = (1/760) N/m pfin ρg N/m Kg/m sec h m

90 Esercizio 3 90 Quale frazione di un pezzo di alluminio (r Al = kg/m 3 ) sarà sommersa se esso galleggia nel mercurio (r Hg = kg/m 3 )?

91 Soluzione esercizio 3 91 Dati iniziali: r Al = kg/m 3 r Hg = kg/m 3 Determinare: V som /V tot =? Il pezzo di alluminio viene spinto verso l alto per effetto del principio di Archimede: Peso del mercurio FA r Hg Vsomg spostato Volume sommerso = volume di liquido (Hg) spostato F g r Al V tot g Peso del pezzo di alluminio Volume totale dell alluminio

92 9 Dati iniziali: r Al = kg/m 3 r Hg = kg/m 3 Determinare: V som /V tot =? V V som tot r r r Al Hg Forza peso e spinta di Archimede si equilibrano: Hg r V Hg FA F g g r som V som r Al Al V V tot tot g kg/ m kg/ m

93 Esercizio 4 93 Un pescatore subacqueo sa che per immergersi in acqua dolce deve usare una zavorra minore di quella che usa al mare: un sub, immergendosi in un lago (r d =1g/cm 3 ), utilizza una zavorra di m z1 =1.3kg, mentre in acqua di mare (r s =1.03g/cm 3 ) utilizza una zavorra di m z =3kg. Supponendo trascurabile il volume della zavorra rispetto a quello dell uomo, determinare il volume e la massa dell uomo.

94 Soluzione esercizio 4 94 Il sub risente dell effetto della spinta idrostatica (spinta di Archimede) Il sub è completamente in acqua Usiamo entrambe le condizioni di equilibrio (lago e mare) Lago: F F Mare: F A_ lago g _ lago rdvsubg msub mz 1g A_ mare F r V g m m g g _ mare s sub sub z Sottraiamo le due equazioni membro a membro: r V m m g m m g d subg rsvsubg sub z1 sub z

95 95 r r V g m m g d s sub z1 z V m m r r z1 z sub. 057 d s 0 m 3

96 96 Per determinare la massa del sub possiamo usare una delle due condizioni di equilibrio: r V g m m s sub sub z g msub rsvsub mz 55. 7kg