Eq. bilancio quantità di moto

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1 Eq. bilancio quantità di moto

2 Contributo relativo alle superfici permeabili, ovvero interessate da flussi di massa (nullo, dato che il fluido è macroscopicamente in quiete) Integrale degli sforzi superficiali (parte dissipativaτ d e parte reversibile p) sulle pareti impermeabili del sistema Il contributo della parte dissipativa è nullo (fluido macroscopicamente in quiete non può esserci shear!) L unico contributo è l integrale delle pressioni sulle superfici impermeabili

3 Proiettando l equazione lungo l asse z (supponendo che g sia costante e diretta lungo la direzione di z ma con verso opposto, e che la densità sia costante): La spinta S z consta di due contributi, agenti sulle due basi del cilindro: (si è indicata con p la pressione nel punto B). L equazione di bilancio diventa: L equazione è nota come Legge di Stevino per fluidi a densità costante. Per fluidi a densità variabile si ricorre all integrazione dell equazione differenziale dell idrostatica:

4 APPLICAZIONI SU MISURE DI PRESSIONE Quanto vale la pressione assoluta nel mare a 6500m di profondità? La densità dell acqua marina è ρ =1030kg/m 3.. p = = = p atm + ρ g h = x 9.81 x Pa = 649.2atm APPLICAZIONI SU MISURE DI PRESSIONE Calcolare la pressione assoluta nel punto A Fluido mercurio ρ = 13600kg/m 3, H = 2500mm, p o = 1atm p A = p o + ρgh = x 9.81 x 2.5 = Pa = / = atm

5 APPLICAZIONI SU MISURE DI PRESSIONE Calcolare la pressione relativa e la pressione assoluta nel punto A p o Fluido mercurio ρ = 13600kg/m 3 Fluido acqua ρ = 1000Kg/m 3 H = 3m ; H = 1m p o = 1atm p A (assoluta) = p o + ρ gh ρgh = = x 9.81 x x 9.81 x 1 = = Pa p A (relativa) = ρ gh ρgh = = x 9.81 x x 9.81 x 1 = = = Pa APPLICAZIONI SU MISURE DI PRESSIONE Calcolare la differenza pressione tra i punti 1 e 2 Fluido sotto acqua ρ = 1000kg/m 3 Fluido sopra olio ρ = 750Kg/m 3 H 1 = 0.75m, H 2 = 0.8m, H = 0.5m p ρ g H H p ρ g H H 1 + ( + 2 ) = 2 + ( 1+ 2 ) + ρ' g H p 1 + ρ g ( H + H2 ) -ρ' g H ρ g ( H 1+ H2 ) = p2 p p = ρ g ( H + H ) + ρ' g H + ρ g ( H + H ) p1 p2 = 750 x9.81( ) x9.81x 0.5 = = 6 744Pa + 750x9.81x( ) =

6 Recipiente a base quadrata (l=2m) Battente: h=0.7m; Densità (acqua): ρ=998kg/m 3 Massima pressione? Spinta sulla base? Spinta sulle pareti laterali? Punto di applicazione della spinta sulle pareti laterali?

7 Recipiente a base quadrata (l=2m) Battente: h=0.7m; Densità (acqua): ρ=998kg/m 3 Massima pressione: p max =p b =ρgh=998kg/m3 9.81m/s2 0.7m=6.85kPa Spinta sulla base: S b =p b A b =ρghl 2 =27.4kN Recipiente a base quadrata (l=2m) Battente: h=0.7m; Densità (acqua): ρ=998kg/m 3 Pressione a metà altezza Area efficace

8 Per identificare il centro di pressione (punto di applicazione della forza risultante) occorre identificare il punto rispetto al quale è nullo il momento esercitato dalle pressioni: Cosa cambia se la parete è inclinata anzichè verticale a parità di battente?

9 Recipiente a base quadrata (l=2m) Battente: h=0.7m; Densità (acqua): ρ=998kg/m 3 ; Inclinazione parete: ϑ=60. Spinta su parete laterale? Punto di applicazione della risultante? La lunghezza della parete è: L=h/sinϑ Sostituendo la variabile z con la variabile w=z/sinϑ, il problema viene risolto in maniera analoga al caso di parete verticale:

10 Se consideriamo la componente della spinta nella direzione orizzontale : S x =S sinϑ Ovvero il prodotto della pressione in mezzeria per l area efficace (proiezione dell area bagnata nella direzione verticale), come nel caso di parete verticale!

11 APPLICAZIONI SU SPINTE Calcolare la forza orizzontale P, per lunghezza unitaria, esercitata dall acqua sulla diga rappresentata in figura. h = 15m, L = 1m (normale al foglio) ρ = 1000Kg/m 3 A = L x h = 15m 2 P = ρ g sinθ y A = G ρ g h G A P = 1000 x 9.81 x 7.5 x (15 x 1) = N = 112.5ton y = y + C G 2 h 12 h G

12 APPLICAZIONI SU SPINTE Calcolare la reazione vincolare per unità di lunghezza da applicare alla chiusa in figura per mantenerla in posizione. Baricentro lato destro y gd = 4m Forza lato destro F d = 1000x4x9.81x(2x1) = N Forza lato sinistro F s = 1000x5x9.81x(2x1) = N Baricentro lato sinistro y gs = 5m Centro spinta lato destro y cd = 1+4/(12x4) = m Centro spinta lato sinistro y cs =1+4/(12x5) = m F s x y cs F d x y cd = R x 2 R = (98100 x x )/2 = 9807N. APPLICAZIONI SULLE FORZE DI GALLEGGIAMENTO Un iceberg, avente una densità pari a 920kg/m 3, galleggia nel mare (densità 1030Kg/m 3 ). Se il volume immerso è di 100m 3. Quale è il volume totale dell iceberg? Il peso viene bilanciato dalle forze di galleggiamento Forza Peso = Volume x densità ghiaccio x g Forza di galleggiamento = Volume immerso x densità mare x g Forza Peso = Forza di galleggiamento ρ V = ρ V Volume = (Volume immerso x densità mare)/densità ghiaccio = = 100 X 1030/920 = 112.0m 3

13 APPLICAZIONI SULLE FORZE DI GALLEGGIAMENTO Quale è la spinta per m 3 dell elio in atmosfera a 20 C e 1atm assoluta? ρ aria = 1.2kg/m 20 C e 1ata ρ elio = x 10 5 /(8313/4 x ) = kg/m 3 S = (ρ aria ρ elio ) g = ( ) x 9.81 = 10.14N/m 3 circa 1kp/m 3 Applicando il principio di Bernoulli lungo l asse del condotto: Per condotto orizzontale (z 1 =z 2 ):

14 Dall equazione di continuità: Combinando le due relazioni: Portata massica: Calcolare la portata volumetrica del sifone, e il valore di pressione e velocità nei punti A, B, C, D, E, F, sapendo che p A =1atm.

15 Consideriamo i punti A ed F. Assumendo che la sezione del serbatoio sia molto più grande di quella di uscita dell ugello, possiamo assumere V A =0 Applicando il principio di Bernoulli: Possiamo calcolare la portata volumetrica (assumiamo che la sezione del tubo sia circolare): Determiniamo le condizioni nel punto B. La V B può essere determinata essendo nota la portata volumetrica: Applicando il principio di Bernoulli tra le sezioni A e B: Due punti alla stessa quota hanno pressioni differenti in quanto il fluido è in moto!

16 Determiniamo le condizioni nel punto C. La V C coincide con la V B, dato che la sezione del tubo è costante. Applicando il principio di Bernoulli tra le sezioni A e C: Il punto C è il punto di minima pressione; affinché il sifone funzioni, la collocazione di tale punto va scelta in maniera opportuna (problemi di cavitazione, etc.) Nel punto D, le condizioni sono le stesse del punto B dato che quota e velocità del fluido coincidono. Applicando il principio di Bernoulli tra le sezioni A e E:

17 Ipotesi: Moto bidimensionale; Moto incompressibile (ρ=cost); Moto stazionario (St>>1); Forze viscose trascurabili (Re>>1); Effetti delle forze gravitazionali trascurabili (Fr>>1). Dati: V 1 =10m/s d 1 =10cm β=45 Calcolare la spinta: S=?

18 Dall applicazione dell equazione di Bernoulli lungo le linee di corrente A e B, è evidente che: V 1 =V 2 V 1 =V 3 Dall equazione di continuità, è altrettanto evidente che: d 1 =d 2 +d 3

19 Proiettando lungo la direzione x (tangenziale alla parete), e considerando che, se gli sforzi viscosi sono trascurabili, S x =0: Ricordando che si ottiene:

20 Proiettando lungo la direzione y (ortogonale alla parete), e considerando che le normali delle sezioni rette 2 e 3 sono ortogonali a tale direzione: Cosa succede quando la corrente è ortogonale alla parete?

21 Ipotesi: Moto incompressibile (ρ=cost); Moto stazionario (St>>1); Forze viscose trascurabili (Re>>1); Effetti delle forze gravitazionali trascurabili (Fr>>1). Dati: Calcolare la spinta: S=? Dall equazione di continuità: Applicando il teorema di Bernoulli:

22 Proiettando in direzione x: Proiettando in direzione y:

23 La spinta totale avrà modulo: e sarà inclinata rispetto all asse y di un angolo: