Meccanica dei fluidi

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2 Programma Parte I Meccanica dei Fluidi Proprietà generali dei Fluidi; Il Principio di Pascal; La legge di Stevino per i liquidi pesanti; Il Principio di Archimede; Il moto dei fluidi; Legge di Bernoulli; Effetto Venturi e sue applicazioni; Fluidi reali. 2/47

3 Programma Parte II Moti di Filtrazione Principali caratteristiche dei suoli (porosità, permeabilità, ecc.); Infiltrazione, Percolazione e Filtrazione; Definizione di Acquifero; Legge di Darcy per mezzi saturi; Legge di Richards per mezzi insaturi; Moto dell acqua negli acquiferi. 3/47

4 FLUIDO qualsiasi sostanza allo stato LIQUIDO. qualsiasi sostanza allo stato AERIFORME. in generale, i fluidi NON hanno una forma propria, assumendo sempre quella del recipiente che li contiene; i fluidi aeriformi NON hanno volume proprio, ma occupano tutto il volume del recipiente che li contiene, a prescindere dalla loro quantità; in generale, i fluidi presentano un comportamento elastico : i fluidi aeriformi sono COMPRIMIBILI; i fluidi liquidi sono INCOMPRIMIBILI. 4/47

5 Liquido: INCOMPRIMIBILE Aeriforme: COMPRIMIBILE 5/47

6 IDROSTATICA: studia le leggi dell equilibrio applicate ai fluidi. IDRODINAMICA: studia le leggi del movimento applicate ai fluidi. IDRODINAMICA + IDROSTATICA = MECCANICA DEI FLUIDI 6/47

7 PRESSIONE: è definita come il rapporto tra una forza F che agisce perpendicolarmente ad una superficie S, sulla quale è uniformemente distribuita, e la superficie stessa. p = F S [Pa] l unità di misura nel SI è il Pascal [Pa], equivalente a [N/m 2 ]; la pressione è una grandezza scalare (a volte è rappresentata come un vettore, il cui modulo è pari all intensità della pressione stessa; se la forza applicata è molto intensa, il peso del fluido è trascurabile. 7/47

8 una forza applicata su una superficie di un fluido si trasmette in tutte le direzioni nell interno del fluido con la stessa intensità su superfici uguali 8/47

9 PRINCIPIO DI PASCAL: una pressione esercitata in un punto qualsiasi di una massa fluida si trasmette in ogni altro punto e in tutte le direzioni con la stessa intensità. 9/47

10 PRINCIPIO DI PASCAL: una pressione esercitata in un punto qualsiasi di una massa fluida si trasmette in ogni altro punto e in tutte le direzioni con la stessa intensità. F 1 p 1 = = p 2 A 1 F 1 F 2 = A 1 A 2 A 2 F 2 = F 1 A 1 10/47

11 Il principio di Pascal con una bottiglia una corona di fori in una bottiglia di plastica genera degli zampilli in tutte le direzioni, il cui getto arriva alla stessa distanza dalla bottiglia; a parità di quota la pressione all'interno del fluido è uguale in tutte le direzioni. 11/47

12 su qualsiasi superficie all interno di un liquido, indipendentemente dalla sua orientazione, agisce una pressione, dovuta al liquido sovrastante, che trasmette il suo peso alla superficie stessa LEGGE DI STEVINO (valida per fluidi incomprimibili) si consideri un recipiente cilindrico di base S; il liquido in esso contenuto abbia densità ρ; sia h l altezza della colonna liquida. 12/47

13 p 0 h S LEGGE DI STEVINO: la pressione alla profondità h, dovuta SOLTANTO al peso del liquido, è pari a: p = P S = ρgh [Pa] Pressione Idrostatica con: P = m g = (ρ S h) g [N] = peso del liquido 13/47

14 PRESSIONE IDROSTATICA un dinamometro a cui è appeso un corpo misura una diminuzione della forza necessaria a sostenere il peso del corpo quando esso viene immerso in acqua. l entità della diminuzione varia se si cambia il liquido in cui il corpo è immerso. la diminuzione apparente del peso è causata da una forza in verso opposto, esercitata dal liquido sul corpo. tale forza è prodotta da ogni fluido e cresce con la sua densità. 14/47

15 La pressione complessiva agente sul fondo del recipiente deve tenere conto anche della pressione agente sulla superficie libera del liquido, pari alla pressione atmosferica (p 0 ): p tot = p 0 + ρgh [Pa] l espressione è indipendente dalla forma del recipiente; la pressione idrostatica agisce su ogni superficie nell interno del liquido e su tutte le pareti del recipiente. 15/47

16 ALCUNE UNITÀ DI MISURA DELLA PRESSIONE IDROSTATICA: 1 atm = 1, Pa 1 atm = 1013 mbar ATMOSFERA: è la pressione idrostatica esercitata da una colonna di mercurio alta 76 cm, alla temperatura di 0 C ed a livello del mare. 16/47

17 PROBLEMA 1 Calcolare la pressione a 100 metri di profondità sotto il livello del mare, essendo la densità ρ dell acqua di mare pari a 1030 kg/m 3. p tot = p 0 + ρgh [Pa] p tot = p 0 + ρgh = 1, ,8 100 = 1, , = 11, Pa 17/47

18 LEGGE DI STEVINO E VASI COMUNICANTI si consideri un tubo ad U, come in figura; due liquidi non miscibili di densità rispettivamente ρ 1 e ρ 2, siano contenuti nel tubo (con ρ 1 ρ 2 ); h 1 = h 2 ρ 2 ρ 1 18/47

19 LEGGE DI STEVINO E VASI COMUNICANTI in condizioni di equilibrio le pressioni sono uguali; liquidi non miscibili posti in due vasi comunicanti, in condizioni di equilibrio, raggiungono altezze inversamente proporzionali alle densità; se nei tubi comunicanti si trova lo stesso liquido, esso raggiunge in essi, in condizioni di equilibrio, lo stesso livello a prescindere dal numero di tubi comunicanti. 19/47

20 PRINCIPIO DI ARCHIMEDE: un corpo, immerso in un fluido in equilibrio, subisce una spinta (forza) diretta dal basso verso l alto ad avente un intensità uguale al peso (inteso come forza peso) del liquido spostato. a) b) C 20/47

21 PRINCIPIO DI ARCHIMEDE Meccanica dei fluidi a) b) C le forze agenti sul corpo C sono la forza peso e la risultante delle forze di pressione sulla superficie che lo delimita; poiché il liquido è in equilibrio, se al posto del corpo C si sostituisce una massa di fluido avente lo stesso volume, il suo peso equilibrerà la risultante delle forze di pressione (che non sono mutate). 21/47

22 IL GALLEGGIAMENTO DEI CORPI si consideri una sfera immersa in un liquido; le forze agenti su di essa sono il peso P della sfera e la Spinta di Archimede, S; si possono verificare TRE casi: P>S: la sfera affonda; P=S: la sfera è in equilibrio in ogni posizione nel liquido; P<S: la sfera galleggia (il corpo emerge dal liquido in modo tale che la spinta dovuta al peso del liquido spostato dalla parte immersa del corpo sia uguale al suo peso). 22/47

23 IL GALLEGGIAMENTO DEI CORPI il peso del corpo è dato dal prodotto del peso specifico del corpo (p S ) per il volume del corpo stesso; la spinta di Archimede è pari al prodotto del peso specifico del liquido (p L ) per il volume del corpo; l equilibrio del corpo nel liquido può quindi essere espresso in termini di peso specifico: p S >p L : il corpo affonda; p S =p L : il corpo è in equilibrio; p S <p L : il corpo galleggia. 23/47

24 IDRODINAMICA studia il movimento dei fluidi; i fluidi considerati non presentano attrito interno (le singole particelle scorrono liberamente senza essere ostacolate dalle forze d attrito); i fluidi considerati sono supposti incomprimibili (densità costante) a patto che le velocità non superino i 30 m/s. 24/47

25 MOTO IN CONDIZIONI STAZIONARIE: le proprietà del moto non variano al passare del tempo. Le particelle di fluido hanno la stessa velocità in un determinato punto A, e la velocità può variare da punto a punto. MOTO IN CONDIZIONI DINAMICHE: le proprietà del moto variano al passare del tempo. 25/47

26 MOTO IN CONDIZIONI STAZIONARIE le traiettorie descritte dalle particelle durante il moto si dicono linee di corrente (ldc); la direzione delle ldc e la direzione della velocità delle particelle coincidono; in un condotto a sezione costante, le ldc sono equidistanti; in un condotto a sezione variabile, le ldc si infittiscono dove la sezione si restringe. 26/47

27 MOTO IN CONDIZIONI STAZIONARIE Linee di flusso in un condotto a sezione costante Linee di flusso in un condotto a sezione variabile 27/47

28 MOTO IN CONDIZIONI STAZIONARIE le linee di corrente che passano per i punti di una linea chiusa, tracciata nell interno di un condotto, formano un tubo di flusso; il fluido che passa all interno di un tubo di flusso NON si mescola col fluido che scorre all esterno del tubo stesso; il fluido scorre cioè all interno di un tubo di flusso come se fosse in un condotto. 28/47

29 MOTO IN CONDIZIONI STAZIONARIE il volume di fluido che attraversa una sezione del condotto nell unità di tempo si dice PORTATA attraverso il condotto; il valore della portata si mantiene COSTANTE in tutte le sezioni del condotto: con: Q = S v (m 3 /s) S = sezione di passaggio (m 2 ) v = velocità del fluido nel condotto (m/s) NB: se Q non fosse costante, ci sarebbe accumulo di volume con variazione di densità, esclusa per l ipotesi di incomprimibilità! 29/47

30 MOTO IN CONDIZIONI STAZIONARIE la portata attraverso un condotto si mantiene costante, dunque: ad un restringimento della sezione di passaggio deve corrispondere un aumento di velocità del flusso; ad un aumento della sezione di passaggio deve corrispondere una diminuzione della velocità del flusso. 30/47

31 MOTO IN CONDIZIONI STAZIONARIE siano S 1 ed S 2 due diverse sezioni di un condotto, con S 1 S 2 ; siano v 1 e v 2 le velocità del flusso in corrispondenza delle sezioni S 1 ed S 2 ; vale la relazione: S 2 v 2 = S 1 v 1 v 2 S 1 = S2 v 1 EQUAZIONE DI CONTINUITÀ 31/47

32 PROBLEMA 2 Un liquido ideale scorre alla velocità v 1 di 5 m/s lungo un condotto, avente sezione S 1 pari a 0,5 m 2. In un tratto del condotto si ha un restringimento della sezione di passaggio (S 2 ), che diventa pari a 0,2 m 2. Quale sarà la velocità v 2 del fluido in quel tratto? Q = S v = cost. (m 3 /s) Q = S 1 v 1 = 0,5. 5 = 2,5 (m 3 /s) Q 2,5 Q = S 2 v 2 = 2,5 (m 3 /s) v 2 = = =12,5 (m/s) S 2 0,2 32/47

33 MOTO IN CONDIZIONI STAZIONARIE (Teorema di Bernoulli) si consideri un fluido IDEALE (incomprimibile e privo di attrito interno) in moto stazionario lungo un condotto; considerato un piano orizzontale di riferimento, siano S 1 ed S 2 due sezioni poste rispettivamente alle altezze h 1 ed h 2 rispetto ad esso; siano p 1 e p 2 le pressioni del fluido in corrispondenza delle sezioni S 1 ed S 2 ; siano v 1 e v 2 le velocità del fluido in corrispondenza delle sezioni S 1 ed S 2 ; sia ρ la massa per unità di volume del fluido. 33/47

34 MOTO IN CONDIZIONI STAZIONARIE sotto le ipotesi precedentemente indicate, vale la relazione: 1 1 p 1 + ρgh 1 + ρv 12 = p 2 + ρgh 2 + ρv /47

35 MOTO IN CONDIZIONI STAZIONARIE in generale, riferendosi ad una sezione qualsiasi del condotto, vale la relazione: p + ρgh ρv 2 = costante TEOREMA DI BERNOULLI poiché lungo un condotto ORIZZONTALE l altezza è costante in tutte le sezioni e può essere trascurata vale la relazione: 1 p + ρv 2 = costante 2 35/47

36 MOTO IN CONDIZIONI STAZIONARIE considerato il Teorema di Bernoulli per condotti orizzontali: p ρv 2 = costante si osserva che: se p, allora v, ma se v allora S p se S se p, allora v, ma se v allora S p se S 36/47

37 PROBLEMA 3a Un liquido ideale avente densità ρ pari a 3000 kg/m 3 fluisce in un condotto obliquo avente una sezione S A pari a 1m 2, alla pressione di p A Pa. Essendo la portata Q pari a 0,15 m 3 /s, calcolare la pressione p B alla profondità di 0,6 m dove la sezione diventa pari a 0,5 m 2 (S B ). 1 1 p A + ρgh A + ρv A2 = p B + ρgh B + ρv 2 B 2 2 Q = S v = cost. (m 3 /s) 37/47

38 PROBLEMA 3b Q 0,15 v A = = = 0,15 (m/s) ; S A 1 v B = Q 0,15 = 0,5 S B = 0,30 (m/s) 1 p B = p A + ρgh A + ρv A2-2 1 ρgh B - ρv 2 B 2 = ,8 0,6 + 0, , , ,30 2 = 1, Pa 38/47

39 MOTO IN CONDIZIONI STAZIONARIE p p se S se S EFFETTO VENTURI La pressione di una corrente fluida (liquida o gassosa): aumenta col diminuire della velocità (all aumentare della sezione di passaggio); diminuisce con l aumentare della velocità (al diminuire della sezione di passaggio). 39/47

40 APPLICAZIONI DELL EFFETTO VENTURI: LO SCRUBBER VENTURI una delle più efficienti tecnologie di rimozione del particolato (fine e finissimo) da correnti gassose contaminate; il liquido di lavaggio e la corrente gassosa contaminata sono spinte insieme nella zona turbolenta posta in corrispondenza del restringimento; il particolato viene catturato dalle piccolissime goccioline di liquido di lavaggio. 40/47

41 APPLICAZIONI DELL EFFETTO VENTURI: LO SCRUBBER VENTURI ingresso gas ingresso liquido di lavaggio zona di convergenza zona Venturi zona di divergenza uscita gas uscita liquido di lavaggio + particolato 41/47

42 FLUIDI REALI IN MOTO STAZIONARIO nel moto dei fluidi occorre considerare l attrito interno, che ostacola lo scorrimento di uno strato di fluido sull altro; in un condotto orizzontale a sezione costante, la velocità e la pressione di un fluido in movimento al suo interno dovrebbero mantenersi costanti (Teorema di Bernoulli); nella pratica, la pressione del liquido lungo il condotto diminuisce in maniera costante nel verso del moto; tale diminuzione è detta PERDITA DI CARICO, ed è dovuta alle forze di attrito interno. 42/47

43 FLUIDI REALI IN MOTO STAZIONARIO VISCOSITÀ DINAMICA (η): in un fluido rappresenta l attrito interno, che determina la maggiore o minore facilità di scorrimento di uno strato rispetto ad uno strato adiacente. Dipende dalla temperatura in modo inversamente proporzionale. L unità di misura nel SI è il N s/m 2. VISCOSITÀ CINEMATICA (µ): definita come il rapporto tra la viscosità dinamica e la densità del fluido considerato L unità di misura nel SI è il m 2 /s. 43/47

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45 FLUIDI REALI IN MOTO STAZIONARIO (conseguenze) per mantenere un liquido in moto in un condotto occorre una differenza di pressione tra le estremità del condotto stesso; la portata del liquido attraverso il condotto dipende dalla differenza di pressione, dalla sezione e dalla lunghezza del condotto; per un condotto orizzontale a sezione circolare, di raggio r e lunghezza l, vale la relazione (se il moto è sufficientemente lento): Q = π pr 4 8ηl LEGGE DI POISEUILLE 45/47

46 FLUIDI REALI IN MOTO STAZIONARIO (conseguenze) Q = π pr 4 8ηl con: p: differenza di pressione a monte e a valle del condotto (N/m 2 ); r: raggio del condotto (m); l: lunghezza del condotto (m); η: viscosità dinamica del fluido (N s/m 2 ). 46/47