1. I fluidi e le loro caratteristiche. 2. La pressione in un fluido.

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Angelo Arena
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UNITÀ 8 LA MECCANICA DEI FLUIDI 1. I fluidi e le loro caratteristiche. 2. La pressione in un fluido. 3. La pressione atmosferica. 4. La legge di Stevino. 5. La legge di Pascal. 6.

1 UNITÀ 8 LA MECCANICA DEI FLUIDI 1. I fluidi e le loro caratteristiche. 2. La pressione in un fluido. 3. La pressione atmosferica. 4. La legge di Stevino. 5. La legge di Pascal. 6. La forza di Archimede. 7. La condizione di galleggiamento. 8. La corrente di un fluido. 9. La portata di una conduttura. 10. Le correnti stazionarie. 11. L equazione di continuità. 12. L equazione di Bernoulli. 13. Casi particolari dell equazione di Bernoulli. 14. L effetto Venturi e alcune applicazioni. 15. La forza di attrito viscoso nei fluidi. 16. La legge di Stokes. 17. La caduta di una sfera in un fluido e il calcolo della velocità limite. 18. La forza di Archimede nei fluidi e il calcolo della velocità limite. 19. Esercizi vari e problemi di applicazione. 1. I fluidi e le loro caratteristiche. I fluidi sono le sostanze che hanno la proprietà di fluire, cioè di scorrere in una conduttura (canale o tubo). Essi sono i liquidi e i gas. I liquidi non hanno una propria forma ma hanno un volume proprio. Non sono comprimibili e quindi hanno una densità costante. I gas non hanno una propria forma e non hanno un volume proprio. Sono comprimibili e quindi hanno una densità che aumenta con la compressione. 2. La pressione in un fluido. Un fluido, a contatto con una superficie, produce una forza che tende a respingere la superficie in direzione perpendicolare ad essa. Viceversa, applicando una forza su una superficie a contatto con un fluido, si esercita una forza anche sul fluido stesso. Mentre il movimento dei solidi viene studiato utilizzando i concetti di massa m e di forza F, il movimento dei fluidi conviene studiarlo in termini di densità d e di pressione P. Ricordiamo che la pressione esercitata da una forza F su una superficie S risulta: La pressione si misura in N/m 2 che si chiama Pascal Invece la densità di una sostanza risulta: d = m V e si misura in Kg/m3. Per esercitare una pressione su un fluido bisogna mettere il fluido in un contenitore cilindrico dotato di pistone a tenuta scorrevole senza attrito. Esercitando una pressione sul pistone si esercita una pressione sul fluido contenuto nel cilindro. P = F S

3. La pressione atmosferica. Ѐ la pressione esercitata dall aria che circonda la terra su tutti gli oggetti che si trovano sulla superficie terrestre.

Lo strato di aria che circonda la terra ha uno spessore di circa 100 Km e contiene: azoto N2 (78%), ossigeno O2 (21%), Argon Ar, anidride carbonica CO2, Neon Ne, Elio He, monossido di azoto NO,

La pressione atmosferica, misurata per la prima volta da Torricelli, equivale alla pressione esercitata da una colonna di Mercurio (d=13600kg/m 3 ) alta 760 mmhg e risulta: P a = 1,01 10 5 Pa 4.

2 3. La pressione atmosferica. Ѐ la pressione esercitata dall aria che circonda la terra su tutti gli oggetti che si trovano sulla superficie terrestre. L aria rimane intorno alla terra perché è attratta dalla forza di gravità. Lo strato di aria che circonda la terra ha uno spessore di circa 100 Km e contiene: azoto N2 (78%), ossigeno O2 (21%), Argon Ar, anidride carbonica CO2, Neon Ne, Elio He, monossido di azoto NO, metano CH4 e altri gas. La pressione atmosferica, misurata per la prima volta da Torricelli, equivale alla pressione esercitata da una colonna di Mercurio (d=13600kg/m 3 ) alta 760 mmhg e risulta: P a = 1, Pa 4. La legge di Stevino. E una formula che permette di calcolare la pressione idrostatica che uno strato di liquido esercita sotto di sé. Si può dimostrare considerando un recipiente cilindrico avente area di base A, contenente un liquido di densità d fino ad altezza h. La pressione che questo strato di liquido esercita sotto di se vale: p = F p = mg A A = dvg A = dahg A = dgh La pressione che un liquido esercita sotto di sé dipende quindi dal livello del liquido e non dalla forma del contenitore. Nella figura, siccome i livelli di liquido sono uguali, risulta P 1 = P 2 = P 3 anche se le quantità di liquido sono diverse. Siccome sul liquido agisce la pressione atmosferica P a, la pressione totale alla profondità h risulta: P T = P a + dgh La legge di Pascal. Questa legge stabilisce come si trasmette la pressione attraverso un liquido. Essa afferma che se una pressione P viene esercitata su una superficie a contatto con il liquido, questa pressione si trasmette con lo stesso valore su ogni altra superficie a contatto con il liquido. La Forza di Archimede. Quando un corpo viene immerso in un liquido, subisce una forza dal basso verso l alto uguale al peso del liquido spostato. Tale forza si chiama forza di Archimede ed è data da questa espressione: F A = peso del liquido = m l g = d l V l g

3 La condizione di galleggiamento. Se un corpo di massa m c e volume V c è immerso totalmente o parzialmente in un liquido con densità d l e volume spostato V l, all equilibrio la forza peso F p è bilanciata dalla forza di Archimede F A, perciò risulta: F p = F A m c g = m l g m c = m l d c V c = d l V l d c d l = V l V c Se d c < d l allora V l < V c cioè il volume del liquido spostato è minore del volume del corpo e quindi l oggetto è solo parzialmente immerso in acqua. La relazione galleggiamento. d c d l = V l V c si chiama condizione di

(conduttura chiusa sotto pressione). La portata di una conduttura. La portata è una grandezza fisica che indica la quantità di fluido che passa in un certo intervallo di tempo.

4 La corrente di un fluido. La corrente di un fluido è il movimento ordinato di un fluido all interno di una conduttura, cioè all interno di un canale (conduttura aperta a pressione atmosferica) o all interno di un tubo (conduttura chiusa sotto pressione). La portata di una conduttura. La portata è una grandezza fisica che indica la quantità di fluido che passa in un certo intervallo di tempo. La portata si indica con q ed è uguale al rapporto tra il volume di fluido V che passa nella conduttura e l intervallo di tempo impiegato t. q = V t La portata si misura in m3 s. Le correnti stazionarie. La corrente di una conduttura si dice stazionaria quando la sua portata rimane costante nel tempo. Ciò accade quando nella conduttura non ci sono perdite e non ci sono infiltrazioni. Per una corrente stazionaria la portata è uguale al prodotto tra la sezione della conduttura e la velocità del liquido. q = s v Infatti, se consideriamo un pezzo di conduttura di sezione s, lunghezza l e volume V = s Δl, si ottiene: q = V = s l t t = s v t t = s v L equazione di continuità. Siccome i liquidi sono incomprimibili, se un volume V di liquido entra da una parte della conduttura, lo stesso volume V deve uscire dall altra parte. Quindi se consideriamo un tubo con sezione variabile risulta: V 1 = V 2 cioè A 1 l 1 = A 2 l 2 e dividendo i due membri per t si ottiene: A 1 l 1 = A t 2 l 2 t cioè A 1 V 1 = A 2 V 2 Questa formula si chiama equazione di continuità. Essa esprime il fatto che se una conduttura si restringe la velocità del liquido aumenta; se una conduttura si allarga la velocità del liquido diminuisce.

cinetica: Energia di pressione: Se supponiamo che: K = 1 2 mv2 U p = p V 1. il liquido sia incomprimibile (cioè la sua densità rimane costante) 2.

5 L equazione di Bernoulli. Ѐ un equazione che esprime il principio di conservazione dell energia meccanica per i liquidi. Un liquido di massa m, volume V, densità d, che si muove con velocità v in un tubo che si trova ad altezza h, possiede tre tipi di energia: Energia potenziale gravitazionale: U g = mgh Energia cinetica: Energia di pressione: Se supponiamo che: K = 1 2 mv2 U p = p V 1. il liquido sia incomprimibile (cioè la sua densità rimane costante) 2. la corrente del liquido è stazionaria (cioè la portata rimane costante) 3. gli attriti sono trascurabili (sia gli attriti fra i vari strati di liquido sia gli attriti tra il liquido e il tubo) Allora l energia meccanica totale del liquido rimane costante durante il movimento nel tubo. mgh mv2 + p V = cost In generale, quando un liquido scorre in un tubo, l energia totale del liquido in una certa posizione iniziale è uguale all energia totale in un altra posizione finale: U T1 = U T2. Nel passare dalla posizione iniziale 1 alla posizione finale 2 il liquido potrà variare la sua altezza h, la sua velocità v, la sua pressione p ma la sua energia totale rimane costante. Quindi si avrà: Dividendo per il volume ΔV si ottiene: mgh mv P 1 V = mgh mv P 2 V Che si può anche scrivere nella forma: dgh dv P 1 = dgh dv P 2 dgh dv2 + P = cost Equazione di Bernoulli Il termine idrostatica; dgh si chiama pressione 1 il termine 2 dv2 si chiama pressione idrodinamica il termine P si chiama pressione effettiva.

6 Casi particolari dell equazione di Bernoulli. Nei problemi pratici si verificano spesso alcune condizioni che permettono di semplificare l equazione di Bernoulli. 1- Tubo orizzontale. Il tubo si allarga o si restringe ma si mantiene sempre orizzontale e quindi h 1 = h 2 Nell equazione di Bernoulli si semplifica il termine dgh 1 che compare al primo membro col termine dgh 2 che compare al secondo membro. L equazione di Bernoulli diventa: 1 2 dv P 1 = 1 2 dv P 2 2- Tubo a sezione costante. Il tubo sale o scende ma la sua sezione rimane costante cioè s 1 = s 2. Di conseguenza, per l equazione di continuità, anche la velocità rimane costante e quindi v 1 = v 2. Nell equazione di Bernoulli si semplifica il termine 1 2 dv 1 2 che compare al primo membro col termine 1 2 dv 2 2 che compare al secondo membro. L equazione di Bernoulli diventa: dgh 1 + P 1 = dgh 2 + P 2 3- L ingresso e l uscita del tubo sono aperti. L ingresso e l uscita del tubo sono aperti e quindi il liquido contenuto è sottoposto alla pressione atmosferica sia all ingresso che all uscita, cioè P 1 = P a e P 2 = P a Nell equazione di Bernoulli si semplifica il termine P 1 che compare al primo membro col termine P 2 che compare al secondo membro. L equazione di Bernoulli diventa: dgh dv 1 2 = dgh dv 2 2 L effetto Venturi e alcune applicazioni. La forza di attrito viscoso nei fluidi. L attrito di un oggetto che si muove in un fluido. La legge di Stokes. La caduta di una sfera in un fluido e il calcolo della velocità limite. La forza di Archimede nei fluidi e il calcolo della velocità limite. Esercizi vari e problemi di applicazione.

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