FISICA DEL SISTEMA CARDIOCIRCOLATORIO

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Gianpaolo Mauro
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1 FISICA DEL SISTEMA CARDIOCIRCOLATORIO Conferenza organizzata dalla Fondazione Livia Tonolini e dalla Sezione Mathesis di Bergamo, a cura di F. Tonolini il 22 aprile 2005 A. Fondamenti di reologia B. Il circuito cardiocircolatorio C. Dati relativi al sistema cardiocircolatorio D. Fenomeni di elasticità nei condotti del sangue

2 Fondamenti di reologia 1. Portata quantità di una grandezza = intervallo di tempo 2. Corrente = quantità di una grandezza intervallo di tempo x area della superficie 3. Fluido che scorre in una condotta a) Portata Volumetrica π v = volume intervallo di tempo = Sv t t = Sv b) Portata di massa π m = ρ π v c) Portata in peso π p = γ π v 2

3 Fondamenti di reologia Effetto di una stenosi e di un varice sulla velocità del fluido 3

4 Fondamenti di reologia Velocità del fluido a varie postazioni e in corrispondenza di ramificazioni 4

5 Fondamenti di reologia 4. Moto stazionario di un fluido: la velocità è costante in ogni punto del condotto 5. Moto permanente: portata costante (nessuna sorgente, nessun pozzo) 6. Trasporto della quantità di moto in regime laminare (gli strati di fluido mantengono la loro individualità) 5

6 Fondamenti di reologia Viscosità dei fluidi Trasporto della quantità di moto in un regime laminare 6

7 Fondamenti di reologia 7. Legge di Newton Sforzo di taglio = F S = η v Y 7

8 Fondamenti di reologia 8. Legge di Newton espressa mediante la corrente della quantità di moto Q = mv F = ma = m dv dt d(mv) = = dq dt dt 2 a legge della dinamica La legge di Newton sullo scorrimento dei fluidi diventa F S = dq Sdt = Corrente di quantità d moto J Q J Q = η v Y = η gradiente di velocità 8

9 Fondamenti di reologia 9. Unità di misura della viscosità Nel SI N s Nel SGS m 2 cm 2 dina s 1 dina s cm 2 = 1 poise 1 cp = 10 2 poise 9

10 Fondamenti di reologia Viscosità dei fluidi 10

11 Fondamenti di reologia 10. Liquidi newtoniani e non newtoniani a) Liquidi newtoniani : η = costante b) Liquidi non newtoniani : η dipende dal gradiente di velocità 11

12 Fondamenti di reologia Viscosità dei fluidi Reogrammi di liquidi newtoniani e non newtoniani 12

13 Fondamenti di reologia Viscosità dei fluidi Regime laminare Regime di Poiseuille 13

14 Fondamenti di reologia 11. Legge di Poiseuille in regime laminare in condotto cilindrico a) liquido ideale: profilo rettangolare b) liquido reale: profilo parabolico p Si può mostrare infatti che: v = (a 2 -r 2 ) 4 η l Per r = a v= 0 Per r = 0 v max = v = v max 2 = p 8 η l a 2 p 4 η l a 2 La portata π v = Sv π = p 8 η l a 4 legge di Poiseuille 14

15 Fondamenti di reologia 12. Resistenza fluidodinamica Dalla legge di Poiseuille Poniamo: 8 η l πa 4 = R f p Per analogia con la legge di Ohm: Abbiamo: p = R f π v = 8 η l πa 4 resistenza fluidodinamica V π v = Ri 15

16 Fondamenti di reologia 13. Condotti in serie e condotti in paralllelo Per condotti in serie R f = R f1 + R f R fn Per condotti in parallelo 1 = R fn R f R f1 R f2 R c (capillare) > R a (arteriole) > R (aorta) ma R totale (arteriole) = N a R a R totale (capillare) = N c R c 16

17 Regime vorticoso e numero di Reynolds Fondamenti di reologia Viscosità dei fluidi V c = R l η aρ 17

18 Fondamenti di reologia 14. Regime vorticoso - numero di Reynolds V c = R l η a ρ V c = velocità critica R l 2000 per vasi lontani da gomiti, ostruzioni, curvature In caso contrario: R l < 2000 e la velocità critica dimiuisce Il regime lamiare è silenzioso, quello vorticoso è rumoroso 18

19 Resistenza fluidodinamica Fondamenti di reologia Viscosità dei fluidi 19

20 Fondamenti di reologia Conservazione dell energia meccanica: equazione di Bernoulli 20

21 Fondamenti di reologia Conservazione dell energia meccanica: equazione di Bernoulli Posizione orizzontale del corpo e tratto breve del condotto 21

22 Il circuito cardiocircolatorio Conservazione dell energia meccanica: equazione di Bernoulli Linea del carico totale di un liquido ideale 22

23 Il circuito cardiocircolatorio Conservazione dell energia meccanica: equazione di Bernoulli Linea dei carichi nel caso di un liquido viscoso: perdita di carico 23

24 Il circuito cardiocircolatorio Conservazione dell energia meccanica: equazione di Bernoulli Linea del carico totale di un liquido ideale con effetto di una pompa 24

25 Il circuito cardiocircolatorio Conservazione dell energia meccanica: equazione di Bernoulli Linea dei carichi totali nel caso di liquido viscoso. Ripristino della perdita di carico per mezzo di una pompa 25

26 Il circuito cardiocircolatorio Conservazione dell energia meccanica: equazione di Bernoulli Circuito sanguigno del corpo umano 26

27 Il circuito cardiocircolatorio Conservazione dell energia meccanica: equazione di Bernoulli Circuito sanguigno del corpo umano 27

28 Il circuito cardiocircolatorio Conservazione dell energia meccanica: equazione di Bernoulli Schema della macchina cuore come pompa 28

29 Il circuito cardiocircolatorio Conservazione dell energia meccanica: equazione di Bernoulli Schema delle fasi di un ciclo della macchina cuore 29

30 Il circuito cardiocircolatorio Conservazione dell energia meccanica: equazione di Bernoulli Andamento delle pressioni nell aorta, nel ventricolo e nell atrio in funzione delle varie fasi del pompaggio (ciclo cardiaco) 30

31 Il circuito cardiocircolatorio Conservazione dell energia meccanica: equazione di Bernoulli Portata del sangue in uscita dal cuore. M s dt Dove M s = gettata 31

32 Il circuito cardiocircolatorio Conservazione dell energia meccanica: equazione di Bernoulli Distribuzione di pressione nel circuito sanguigno 32

33 Dati relativi al sistema cardiocircolatorio 1. La portata in uscita del cuore è pulsata. Il flusso da pulsato si trasforma in continuo per effetto della elasticità dei vasi 2. Il ciclo dura mediamente 1/75 di minuto = 0,8 s. 0,25 secondi sono dedicati alle sistole ventricolari, i rimanenti 0,55 secondi alla pausa tra una gettata e la successiva. 3. La gettata media m s è compresa normalmente tra 40 g e 75g. La frequenza tra 70 min -1 e 80 min La frequenza e la gettata non sono indipendenti: se la frequenza aumenta troppo, la gettata diminuisce. 5. La portata media è data da: π p = M s ν Essa varia da un minimo di g/min= 2800 g/min a un massimo di g/min = 6000 g/min 33

34 Dati relativi al sistema cardiocircolatorio Perdite di carico e prevalenza delle pompe 6. Consideriamo una portata di 4500 g/min e come valori di pressione 30 mmhg per il cuore destro e 100 mmhg per il cuore sinistro. Ricordiamo che per un circuito chiuso in regime permanente la perdita di carico è data da Abbiamo allora: p γ R 3,4 = 30 kg cm 2 γ = 40,8 cm (= H D ) R 1,2 = 100 kg cm 2 γ = 136 cm (= H S ) 34

35 Dati relativi al sistema cardiocircolatorio Potenza delle pompe del cuore π p 7. Potenza: P = H (energia/peso) (peso/tempo) = energia/tempo P D = H D π p = 40, = 0,3 W P S = H S π p = = 1 W P t = P D + P S = 1,3 W per un rendimento del 10% P eff = P t 10 = 13 W In un giorno viene erogata una potenza : (13 24) Wh/giorno = 312 Wh/giorno Poiché 1 Kcal = 4, joule, abbiamo: 312 3, = 268 Kcal/giorno 4,

Fenomeni di elasticità nei condotti del sangue Consideriamo un segmento di vaso cilindrico di raggio R (un segmento di vena o arteria) contenente un liquido, in questo caso sangue, ad una pressione

36 Fenomeni di elasticità nei condotti del sangue Consideriamo un segmento di vaso cilindrico di raggio R (un segmento di vena o arteria) contenente un liquido, in questo caso sangue, ad una pressione p, detta anche nel gergo dei fisiologi pressione trasmurale. A causa di questa pressione, tutti i punti della superficie della membrana del vaso sono sollecitati da una trazione T, tangente in ogni punto della superficie della membrana. La trazione T varia da 170 N/m per l aorta (raggio uguale a ~1,3 cm) a 0,016 N/m per i capillari (raggio ) T = p R Pressione di Laplace per un condotto cilindrico 36

37 Fenomeni di elasticità nei condotti del sangue Riportiamo (come in figura 2a) in funzione di R la trazione T = P 1 R e la tensione elastica T el. Possiamo allora osservare che il punto A 1 di intersezione tra la retta e la curva corrispondente al raggio R 1, rappresenta un punto di equilibrio stabile. Se per svariate cause, fra cui l invecchiamento, si ha un deterioramento delle caratteristiche elastiche, per cui l andamento della curva della tensione elastica T el differisce dal caso esaminato in fig. 2a, e cioè presenta una concavità verso il basso, si hanno 2 punti di intersezione A 1 ed A 1, ma solo A 1 è un punto di equilibrio stabile. Per pressione superiore a P 2 la retta (ad esempio T=P 3 R) che rappresenta la trazione non intercetta più la curva T el. Non si hanno quindi punti di equilibrio: la trazione supera sempre la tensione elastica e il vaso si rompe. 37

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