ESPERIENZA DELLA BURETTA

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1 ESPERIENZA DELLA BURETTA SCOPO: Misura del coefficiente di viscosità di un fluido Alcune considerazioni teoriche: consideriamo un fluido incomprimibile, cioè a densità costante in ogni suo punto, e viscoso cioè con dissipazione di energia durante lo scorrimento. Inoltre consideriamo il fluido in moto con velocità sufficientemente bassa da poter considerare soddisfatte le condizioni di regime laminare: ogni strato di fluido scorre sopra quello adiacente e la velocità degli elementi fluidi varia con continuità. Applicando una forza F alla tavola (di superficie S) la sua velocità a regime è costante: equilibrio tra F ed una forza di attrito A. Si noti che lo strato di fluido a contatto con la lastra in movimento ha la stessa velocità della lastra v 0 ; lo strato prossimo alla lastra fissa è invece in quiete. Consideriamo due strati adiacenti, uno ad altezza y e uno ad altezza y + dy. La differenza di velocità fra i due strati sarà proporzionale alla forza applicata alla lastra F, e alla differenza di altezza dy, e sarà inversamente proporzionale alla superficie della lastra S e al coefficiente di viscosità del fluido η: 1

2 v(y + dy) v(y) = F Sη dy Integrando questa equazione si ottiene: da cui: v0 0 dv = y0 0 F Sη dy v 0 = F Sη y 0 e infine si ottiene l espressione per la forza di attrito: F A = ηs v 0 y 0 Determiniamo l unità di misura del coefficiente di viscosità: 2

3 [η] = N L L 2 L T = M L T 2 L = M 1 L 3 T 1 L T [ ] kg = [P a s] m s Immaginiamo adesso di far scorrere un fluido all interno di un condotto di raggio R. La forza che mette in movimento il fluido sia causata da una differenza di pressione. Nel moto laminare allinterno di un condotto cilindrico le lamine di fluido sono dei cilindri di spessore dr concentrici con il condotto. Si consideri all interno del condotto un cilindro di raggio r e lunghezza l. Per definizione di moto laminare la velocità di uno strato di fluido considerato deve essere costante e quindi la risultante delle forze esterne deve essere nulla. Imponenedo questa condizione si ricava: 3

4 ( P 1 πr 2 P 2 πr 2 η(2πrl) dv ) = 0 dr Il segno meno davanti al gradiente di velocità indica che la velocità decresce dal centro verso l esterno, ossia al crescere di r. Segue che: e integrando: dv = P 2ηl rdr v(r) v(r) dv = R r P rdr = P 2ηl 2ηl v(r) v(r) = P 4ηl (R2 r 2 ) [ r 2 Poiché v(r) = 0 e la velocità per r = 0 è massima e vale: v max = P 4ηl R2 si ottiene l espressione per la velocità in funzione di r: ( ) v(r) = v max 1 r2 R 2 che ha chiaramente un andamento parabolico. 2 ] R r 4

5 Definiamo Q la portata, cioè il volume che nell unità di tempo attraversa una sezione ortogonale al moto. Dalla conoscenza del profilo v(r) possiamo calcolare Q: Integrando si ottiene: Q = dq = v(r)ds = 2πrv(r)dr v(r)ds = R 0 ( ) 2πv max 1 r2 rdr R 2 [ ] r 2 R [ Q = 2πv max 2 r4 R 2 = 2πv 4R 2 max 0 ] 2 R2 4 = v max 2 πr2 = vπr 2 Con v velocità media con cui il fluido attraversa la sezione circolare del condotto. L espressione: Q = π P 8 η l R2 è nota come legge di Poiseuille. Secondo la legge di Poiseuille la portata Q in un condotto cilindrico è direttamente proporzionale alla caduta di pressione per unità di lunghezza, alla quarta potenza del raggio del condotto ed inversamente proporzionale al coefficiente di viscosità. 5

6 Il moto rimane ordinato senza turbolenze e il flusso può dirsi in regime laminare fino a quando la velocità rimane bassa. La velocità entro la quale il regime è laminare deve essere minore di una velocità critica v definita dal numero di Reynolds: Re = ρ vr η Dove ρ è la densità del fluido e η il coefficiente di viscosità. Si ha regime laminare per Re < Re è una quantità adimensionale, infatti: [Re] = M L L L 3 T M L T In un condotto verticale (come nel caso della buretta a disposizione in laboratorio), la differenza di pressione secondo la legge di Stevino è pari a P 1 P 2 = ρgh. Infatti: P = F S = mg S = ρ V g S = ρ Sh g = ρ g h S dove ρ è la densità del fluido. Definendo il verso positivo di h verso l alto in modo tale che quando l acqua scende nella buretta il segno di dh sia negativo, la legge di Poiseuille si riscrive come: Q = S dh dt = πρgh 8ηl R4 6

7 Chiamando B il termine : si ottiene: e integrando: πρgr 4 8ηlS dh h = Bdt h h 0 dh t h = B dt t 0 ln(h/h 0 ) = B(t t 0 ) OPERAZIONI DI MISURA L apparato sperimentale è costituito da una buretta, schematizzata in figura ed è collegata ad un capillare di lunghezza e diametro noti. Dati del capillare: diametro = 0.65±0.05 mm, lunghezza = 12.2 ± 0.1 cm. Il flusso fra buretta e capillare è regolato da un rubinetto. La buretta è posta verticalmente ed è dotata di una scala graduata in cc, il capillare è invece posto in orizzontale e allineato allo zero della scala della buretta. Un termometro permetterà di controllare che la temperatura dellambiente sia stabile essendo il coefficiente di viscosità che andiamo a misurare dipendente dalla temperatura. Operazioni preliminari: Si riempie la buretta con acqua distillata fino a 50cc. Si mette il capillare orizzontalmente rispetto al banco di lavoro e in corrispondenza dello zero della scala graduata della buretta. Si apre il rubinetto e si fa partire il cronometro, si misura il tempo necessario perché il livello nella buretta scenda di 2cc. È importante non far defluire tutto il liquido dalla buretta, ci si deve fermare quando il livello arriva a 6cc. Si ripete l operazione per due-tre volte con altra acqua e si controlla ogni volta la temperatura per verificare eventuali cambiamenti. Al volume riportato sulla scala della buretta si associa l errore di 0.5cc. Il volume di 50cc 7

8 sulla scala corrisponde ad una certa altezza dallo zero (h 0 ) e quindi dal capillare. Ad ogni tacca della scala del volume si associa l altezza corrispondente tramite la proporzione dove V 0 = 50cc. h h 0 = V V 0 8

9 La determinazione del coefficiente di viscosità: η = πρgr4 8BlS implica la determinazione di B. Si mettono in grafico il tempo misurato in funzione di ln(h/h 0 ) (separatamente per le tre serie di misure) assegnando ad ogni punto del grafico il proprio errore ( ) h t = 3σ t ln = V h 0 V + V 0 V 0 In ciascun grafico si potranno individuare le rette di massima e minima pendenza compatibili con i rettangoli d errore aventi equazione: ( ) h ln = (B ± B)(t t 0 ) h 0 Si individua in tal modo il coefficiente angolare B ± B. Se si sono fatte tre serie di misure, ossia riempiendo per tre volte la buretta e misurando i tempi di deflusso dell acqua si costruisce un grafico mettendo assieme tutti i dati. Da tale grafico dovrebbe risultare che i dati delle diverse serie sono praticamente indistinguibili. Individuate le rette di massima e minima pendenza si determina B max e B min e quindi il valore finale di B± B. Per poter ricavare il coefficiente di viscosità η è necessario conoscere la sezione della buretta S = V/h, a cui associamo l errore S S = V V 9 + h h

10 Si faccia attenzione ogni buretta è leggermente diversa dalle altre, per cui l altezza corrispondente a 50cc è diversa per ognuna. Ad esempio: h 0 = 54.2 ± 0.1cm. Riassumendo sono noti: - ρ, densità dell acqua distillata (dalla tabella a disposizione si legge il valore che corrisponde alla temperatura misurata in laboratorio con il termometro) - g, accelerazione di gravità (usare il valore fornito per la misura del momento d inerzia del volano) - R, raggio del capillare pari a ± cm - l, lunghezza del capillare pari a 12.2 ± 0.1 cm Abbiamo ricavato con il loro errore - il parametro B coefficiente angolare della retta ln(h/h 0 ) vs t - la sezione della buretta S Associare a η l errore η/η usando la propagazione degli errori. Verificare infine se è valida l ipotesi che il fluido scorra in regime laminare R/2l 1 e se il numero di Reynolds è minore di

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