Misura del coefficiente di viscosità

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1 Esperienza n. Misura del coefficiente di viscosità Cenni teorici I fluidi sono sistemi formati da moltissimi elementi microscopici in continuo movimento gli uni rispetto agli altri. La forma dei fluidi è in generale fissata dai recipienti che li contengono. Essi non presentano forma propria. Fanno parte dei fluidi i liquidi e i gas. I primi sono sostanzialmente incomprimibili (a densità costante) mentre i secondi possono essere compressi e dunque variare la propria densità in rapporto al volume del contenitore. Si supponga di suddividere il volume occupato dal fluido in piccoli volumi elementari di dimensioni infinitesime (tali però da contenere un elevato numero di costituenti microscopici). Su ogni elemento di volume dv agiscono per effetto degli altri elementi di volume di fluido e per effetto di agenti esterni due tipi di forze: forze di volume e forze di superficie. Le forze si volume (come la forza di gravità) agiscono su tutti i costituenti microscopici compresi entro dv e dunque sono proporzionali alla quantità di materia presente in dv. Le forze di superficie agiscono sui costituenti microscopici presenti alla superficie di dv. Queste possono essere sia forze normali, che agiscono in direzione perpendicolare alle pareti dell elemento di volume, sia forze tangenziali, che agiscono parallelamente alla superficie che delimita l elemento di volume e dunque rappresentano df sforzi di taglio. In particolare si dice pressione la grandezza scalare p = n dove df ds n è la forza che agisce perpendicolarmente sulla superficie infinitesima ds di fluido. Le dimensioni fisiche della pressione sono quelle di una forza per unità di superficie e nel sistema internazionale essa si misura in Pa (Pascal) = N m. Se un fluido è in quiete, su ogni elemento di volume agiscono solo forze di pressione (sforzi normali). Se un fluido è in movimento, oltre agli sforzi normali devono considerarsi anche gli sforzi di taglio. Infatti, gli elementi che costituiscono il fluido (molecole), pur essendo in moto relativo gli uni rispetto agli altri, sono soggetti a forze di coesione reciproche (forze intermolecolari riconducibili ad effetti elettrostatici ). Quando una parte di fluido viene messa in movimento rispetto alle altre, le forze di coesione producono una sorta di attrito interno nella forma di uno sforzo di taglio. Questo dipende dal fluido considerato. La grandezza che rappresenta l effetto dell attrito interno è chiamata viscosità. Per dare la definizione operativa di viscosità si consideri un recipiente che contenga un liquido in quiete. Si ponga sulla superficie libera del fluido una lastra galleggiante di area S e si applichi una forza costante in modulo diretta tangenzialmente rispetto alla superficie libera. Supponendo che la velocità della lastra galleggiante sia sufficientemente piccola da non creare vortici ai suoi bordi, si osserva che gli strati superficiali di liquido a contatto con la lastra (che bagnano la lastra) per effetto delle forze intermolecolari di coesione tra liquido e lastra procedono con essa. In modo analogo, gli strati di liquido più bassi, a contatto con la parete di fondo del recipiente, sempre per effetto delle forze di coesione rimangono in quiete, a contatto con la parete. Gli strati di liquido intermedi si muovono con una velocità che dipende dalla profondità, variabile tra la velocità della lastra alla superficie libera e la velocità nulla delle parti di liquido a contatto con il fondo. Si osserva inoltre che applicando una forza di trazione F T costante, la velocità di regime con cui la lastra si muove è costante. Ciò è dovuto agli effetti di attrito viscoso che si manifestano tra i vari strati di liquido e che fanno sì che la forza di trazione sia controbilanciata dalla forza di attrito F A dovuta alla Si veda ad esempio S. Nannarone, L. Pasquali, Fisica A, Capitolo Forze nella pratica

2 viscosità del fluido. Sia v la velocità limite della lastra. Gli elementi di fluido a contatto con essa procedono alla stessa velocità. Gli elementi di fluido appartenenti allo strato di liquido immediatamente sottostante si muovono con una velocità leggermente inferiore, frenando lo strato sovrastante e così via sino allo strato a contatto con il fondo che rimane in quiete. La situazione è schematizzata in figura. Y y F A v F T dy v v+dv X Fig. Dall osservazione sperimentale si ricava che FT FT v( y + dy) v( y) = dy dv = dy S S da cui, integrando, si ottiene F T S = v y dove y è il livello del liquido nel recipiente. Il coefficiente è detto coefficiente di viscosità. Esso ha le dimensioni di [M L - T - ] e si misura in kg. m s In modo similare, quando un liquido viscoso è in moto in modo stazionario all interno di un condotto a sezione cilindrica costante di raggio R, si osserva che la velocità del fluido è massima al centro e nulla alle pareti di contatto col condotto. Definendo la portata come il volume di fluido che attraversa una qualunque sezione trasversale del condotto nell unità di tempo ( Q = dv ), si ricava la cosiddetta legge di Poiseuille 4 π R Q = p 8 l Per la derivazione della legge di Poiseuille si rimanda ai testi specializzati. Si veda ad esempio C. Mencuccini, V. Silvestrini, Fisica I, Ed. Liguori, Cap.IX.

3 dove l è la lunghezza del condotto e p è la differenza di pressione agli estremi del condotto stesso. La legge di Poiseuille può essere utilizzata per la misura del coefficiente di viscosità di un fluido, in quanto il valore di tale coefficiente può essere ricavato in base ai parametri geometrici del condotto e alle differenze di pressioni ai suoi capi. Su tale legge si basa il funzionamento dei viscosimetri a flusso capillare. Nel viscosimetro di Ostwald (si veda fig.) la misura del coefficiente di viscosità ignoto di un liquido è ottenuto in termini relativi, sulla base del confronto con il coefficiente di viscosità noto di un secondo liquido, solitamente acqua. Il viscosimetro di Ostwald è costituito da un tubo piegato ad U con due rigonfiamenti. Uno dei due rami dello strumento è costituito da un tubo capillare e presenta un rigonfiamento superiore agli estremi del quale sono segnati due indici m e m. La misura del coefficiente di viscosità procede nel seguente modo. Si introduce dapprima acqua dal ramo più largo fino al raggiungimento del livello c. La si aspira quindi per mezzo di una pompetta dal tubo più sottile fino a che il liquido non raggiunge il livello m. Si misura il tempo t necessario affinché l acqua passi dall indice m all indice m per effetto della forza peso. Si ripete lo stesso procedimento con il liquido di coefficiente di viscosità incognito, misurando anche in questo caso il tempo t necessario per la discesa da m a m. Fig.

4 Durante gli intervalli di tempo t e t il volume di liquido fluito nei due casi è lo stesso. Per definizione di portata, il volume è dato dalla seguente: t 4 π R V = Q( t) = p( t) 8 l. t Per i due liquidi si ha 4 t π R V = p ( t) V 8 l 4 t π R = p ( t). 8 l Poiché i due volumi sono uguali (il medesimo volume compreso tra le due tacche m ed m ) e le geometrie dello strumento sono le stesse nei due casi si ha t t p ( t) = p ( t). Per la determinazione delle due differenze di pressioni, si noti che se un liquido contenuto in un recipiente è soggetto alla sola forza di gravità, si ha che la pressione ad una qualunque profondità d è determinata dal peso di tutta la massa di liquido sovrastante (più eventualmente il peso della massa d aria che preme sulla superficie libera del liquido). In altri termini p = mg = ρgd dove S S è la sezione del recipiente, ρ è la densità di massa del liquido. Ne consegue che la differenza di pressione presente tra due livelli (quote) del liquido d e d è data da p = ρ g( d d). Ciò detto, chiamando con h( t ) il dislivello tra le due superfici libere del liquido dopo che è trascorso il tempo t, si avrà p( t) = ρgh( t) da cui t t ρ gh ( t) = ρ gh ( t) ρ t t ρ h t = ( ) h ( t) ρ ρ h t = h t

5 dove h e h rappresentano i dislivelli medi nei due casi. Poiché le due misure sono condotte in modo identico con la stessa strumentazione, si ha che h = h. Ne consegue che ρ t =. ρt Nota dunque la viscosità di uno dei due liquidi (acqua in questo caso) è possibile risalire alla viscosità dell altro misurando i tempi necessari affinché il livello dei liquidi passi per le due tacche m ed m. Occorre poi conoscere il rapporto tra le densità dei due liquidi. Per la determinazione delle densità è possibile procedere misurando le masse di un volume noto di ciascuno dei due liquidi e quindi m ottenere la densità da ρ =. V 3 Il coefficiente di viscosità dell acqua alla temperatura di C è pari a =.5 kg m s Materiale occorrente Viscosimetro di Ostwald Bilancia Sostegno con asta Morsetto doppio Pinza metallica Propipetta in gomma o pompetta a tre vie Spruzzetta con acqua distillata Spruzzetta con alcool etilico Cronometro. Brocca in plastica per raccolta liquidi usati Cilindro graduato da 5 ml Cilindro graduato da 5 ml Fig.3

6 Procedimento esecutivo Si misura con la bilancia la massa del cilindro da 5 ml prima vuoto e successivamente con un volume noto di acqua. Si ripete la stessa operazione con il liquido incognito (l alcol etilico) usando, questa volta, il cilindro graduato da 5 ml. Note massa e volume dell acqua e del liquido incognito si possono calcolare le densità dei due liquidi ed il relativo errore. Successivamente si introduce acqua dal ramo più largo del viscosimetro con la spruzzetta fino al raggiungimento del livello c (vedi Fig. 4). Dal ramo più sottile la si aspira mediante la propipetta finché non raggiunge un livello superiore a m (vedi Fig. 5). Si toglie la propipetta in modo da consentire la discesa del liquido per effetto della forza di gravità. Per il calcolo del tempo t si fa partire il cronometro nel momento in cui il liquido passa per il livello m e lo si blocca quando passa per m. Fare almeno cinque misure del tempo t. Ripetere lo stesso procedimento con il liquido di viscosità incognita (alcol etilico). Avvertenza Le vibrazioni del tavolo su cui è appoggiato il sostegno col viscosimetro, anche se piccole, modificano il tempo di deflusso del liquido e per tanto sono fonte di errori sistematici.

7 Esempio di relazione Misura del coefficiente di viscosità Sommario In questo esperimento è stato misurato il coefficiente di viscosità dell alcol etilico mediante un viscosimetro di Ostwald. La misura è stata effettuata in termini relativi, confrontando la viscosità dell alcol etilico con quella dell acqua, il cui coefficiente di viscosità, noto, è dato da 3 =.5 kg m s. Per ottenere il coefficiente di viscosità incognito sono state misurate le densità dei due liquidi. Per le densità dei due liquidi sono stati ottenuti i valori ρ =... ±... (unità di misura) e ρ =... ±... (unità di misura), dove ρ è la densità dell acqua e ρ quella dell alcol etilico. Per la misura del coefficiente di viscosità dell alcol etilico si è ottenuto il valore =... ±... (unità di misura). Introduzione Nell'introduzione viene spiegato più in dettaglio lo scopo dell'esperimento e quali sono le sue basi di partenza, ovvero ciò che è già noto e/o che si vuole verificare. Apparato sperimentale Descrizione dell'apparato sperimentale e del suo montaggio (con schema); Descrizione degli strumenti usati e delle loro caratteristiche, con particolare riguardo per la loro risoluzione. Risultati Descrizione di come viene effettuata la misura, con particolare attenzione agli accorgimenti adottati per ridurre gli errori. Valutare quale errore è conveniente associare al valore noto del coefficiente di viscosità dell acqua (esso è un valore noto per via sperimentale). Valutare le sorgenti di errore nelle misure di densità e in quelle di intervalli temporali. Indicare le ragioni per cui le misure di densità non vengono ripetute mentre è conveniente ripetere più volte le misure di intervalli temporali per effettuare un analisi statistica. Tabella dei dati sperimentali e delle loro incertezze. Esempi: V... ±... unità di misura m... ±... unità di misura V... ±... unità di misura m... ±... unità di misura ρ... ±... unità di misura ρ... ±... unità di misura t t Numero prova n t σ σ t

8 Utilizzo della propagazione delle incertezze per la determinazione degli errori da attribuire alla misura del coefficiente di viscosità. Discussione degli errori sui risultati ottenuti. Discussione Discussione dei dati sperimentali ottenuti e dei risultati quantitativi che da essi si possono ricavare (facendo riferimento allo scopo dell'esperimento). I risultati ottenuti vanno riportati con i loro errori. Conclusioni Nelle conclusioni si verifica se gli scopi prefissati sono stati ottenuti e si riportano eventuali considerazioni critiche sui limiti dell'esperimento effettuato.