Cenni sulle proprietà elastiche dei solidi

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1 Cenni sulle proprietà elastiche dei solidi La nozione di corpo rigido deriva dal fatto che i corpi solidi sono caratterizzati dall avere una forma ed un volume non facilmente modificabili. Nella realtà i corpi solidi subiscono deformazioni sotto l azione di sollecitazioni meccaniche, che in diverse applicazioni hanno un importanza rilevante. Le proprietà elastiche descrivono le situazioni in cui la deformazione risulta essere proporzionale alla sollecitazione e scompare al termine della sollecitazione stessa, riportando il corpo nella configurazione originaria. Trazione e compressione La forza che viene applicata al materiale e ne causa la deformazione viene definita carico. La proporzionalità tra deformazione e carico è descritta dalla legge di Hooke analogamente al comportamento di una molla ideale, a cui quindi può essere assimilato il corpo soggetto alla sollecitazione. - Il materiale subisce un allungamento proporzionale all intensità della forza applicata alle sue estremità rimanendo comunque in una condizione di equilibrio. In questo caso il carico viene detto di trazione. Se la forza ha il verso contrario rispetto a quello mostrato in figura, il carico è di compressione e il materiale subisce un accorciamento. Nella pratica, anzichè i valori assoluti della deformazione e del carico, si preferisce utilizzare quelli specifici o unitari in modo da caratterizzare le proprietà elastiche di un materiale piuttosto che di un particolare corpo. Il carico specifico (o unitario) σ è definito come il rapporto tra la forza applicata ortogonalmente ad una superficie e la superficie S stessa. La deformazione specifica (o unitaria) ε, detta anche allungamento lineare unitario, è il rapporto tra l allungamento subito dal corpo e la lunghezza l del corpo stesso in assenza del carico di trazione. Si ha quindi: σ = S ε = l Dalla legge di Hooke il carico specifico e l allungamento unitario sono proporzionali. Definendo il loro rapporto E come modulo di Young o modulo di elasticità, si ha: 1 = l E S Valori tipici del modulo di Young sono dell ordine di all aumentare della temperatura fino alla transizione di fase. N/m 2, decrescenti

2 Legge di Poisson Oltre alla deformazione assiale, il carico, o sforzo, di trazione comporta una deformazione in direzione trasversale consistente in una variazione della sezione. Se r è una qualunque dimensione trasversale, ad esempio il raggio di una sbarra di forma cilindrica, si ha: r r σ = ν = ν l E ν è chiamato coefficiente di Poisson ed ha valori compresi tra e.5. Il volume V della sbarra deformata dallo sforzo di trazione vale quindi: ( r + r) ( l + ) πr l + πr + r l r V + V = π 2π Combinando le due relazioni, si ha V per ν.5. Il volume pertanto non diminuisce mai. Al contrario, nel caso di compressione, il volume non aumenta mai. Deformazione plastica e rottura Il comportamento elastico di un materiale è valido sino ad un valore massimo del carico σ s denominato carico specifico di snervamento. Per carichi superiore a questo valore, che è tipicamente dell ordine di N/m 2, la deformazione diventa plastica. Rispetto alla deformazione elastica, tale tipo di deformazione aumenta molto più rapidamente al crescere dello sforzo e non è reversibile. Aumentando ulteriormente il carico si arriva alla rottura del materiale, caratterizzata dal valore σ r denominato carico specifico ultimo o carico di rottura. I suoi valori tipici sono dell ordine di N/m 2 e possono differire, anche in maniera significativa, tra trazione e compressione. Si può quindi schematizzare il comportamento di un materiale attraverso un grafico deformazione-sforzo, che avrà quindi un aspetto del tipo mostrato in figura. snervamento rottura sforzo deformazione

3 I materiali per cui il carico di snervamento e quello di rottura sono molto prossimi tra loro vengono definiti fragili. Al contrario la caratteristica di quei materiali in grado di sopportare ampie deformazioni plastiche prima di giungere alla rottura viene definita duttilità. Un dato di primaria importanza per definire le proprietà di un materiale e che evidenzia l irreversibilità delle deformazioni plastiche è il suo ciclo di isteresi, rappresentato in figura. Si supponga il materiale inizialmente non sollecitato e quindi nello stato corrispondente all origine del grafico, in cui sia lo sforzo che la deformazione sono nulli. Imprimendo poi uno sforzo di trazione, il materiale subisce una deformazione dapprima elastica e poi plastica seguendo la curva che porta al punto A. Riducendo a questo punto lo sforzo, non si ripercorre tale curva in verso opposto, ma si riscontra una maggior deformazione a parità di sforzo applicato, per cui ci si muove lungo il tratto che va da A a B. In B lo sforzo si annulla, ma rimane una deformazione, giustificando quindi il fatto che la deformazione plastica è di tipo irreversibile. Per riportare il corpo alla sua lunghezza originaria, è necessario uno sforzo di compressione fino al punto C. Aumentando ulteriormente la compressione, si registra un accorciamento progressivo. Se si prosegue sino al punto D, simmetricamente disposto rispetto al punto A, per poi diminuire lo sforzo di compressione sino ad annullarlo nel punto E, ci si muove lungo un nuovo percorso tale per cui il corpo rimane accorciato anche in assenza di sforzo. Rimettendolo infine in trazione, si ritorna al punto A, chiudendo quindi il ciclo di isteresi. In regime plastico la relazione tra sforzo e deformazione non è quindi univoca, ma dipende da come è stato trattato il materiale. Vengono ora introdotti due casi di sollecitazione, che possono essere considerati come casi fondamentali, in quanto in un caso si ha una deformazione semplice di forma, che lascia inalterato il volume, mentre nell altro si ha una deformazione semplice di volume, che lascia inalterata la forma. Scorrimento Si consideri un parallelepipedo a cui vengono applicate due forze tangenziali uguali e contrarie su due facce opposte, per esempio bloccando la faccia inferiore ed applicando la sollecitazione sulla faccia superiore. In questo caso la sollecitazione viene detta di taglio.

4 La corrispondente deformazione consiste in uno scorrimento delle sezioni del corpo parallelamente alla direzione della forza applicata in modo tale che il suo volume non cambi e può quindi essere misurata tramite l angolo θ. In regime elastico si ha quindi: σ = Gθ essendo G il modulo di rigidità o di taglio, che ha valori tipici dell ordine di 1 1 N/m 2 rad. Compressione uniforme Si consideri ora la situazione in cui la sollecitazione consiste nell applicare ovunque una forza ortogonale alla superficie del corpo in modo tale che il carico risulti uniforme. Se come in figura le forze sono dirette verso l interno, la sollecitazione viene definita come pressione, altrimenti, se le forze sono dirette verso l esterno, come tensione. La corrispondente deformazione consiste in una variazione di volume senza cambiamento di forma. In particolare si ha una contrazione ( V=V-V >) nel caso in cui la sollecitazione è di pressione, un espansione ( V=V-V <) nel caso in cui la sollecitazione è di tensione.

5 In regime elastico vale al solito una relazione lineare tra sforzo e deformazione: V V 1 = P β dove P=P-P è la variazione della pressione rispetto al valore di riferimento e β è il modulo di compressibilità, valutato a temperatura costante. I suoi valori tipici sono per i solidi dell ordine di N/m 2, per i liquidi intorno a 1 9 N/m 2, mentre i gas il modulo di compressibilità è pari alla pressione del gas stesso. Si conclude quindi che, almeno in prima approssimazione, solidi e liquidi possono essere trattati come incomprimibili, a differenza degli aeriformi. Il modulo di compressibilità è l unica grandezza caratteristica di una deformazione elastica che è possibile definire anche per un fluido, in quanto in tutti gli altri casi il fluido non è in grado di sviluppare le corrispondenti reazioni elastiche. Relazioni tra le costanti elastiche Per un dato materiale si ha che: 9βG E = 3 β + G ν = 3β 2G 2 ( 3β + G) Solo due costanti elastiche sono quindi tra loro indipendenti. Si giunge a relazioni analoghe considerando ogni altra possibile deformazione, ad esempio torsione o flessione. Il risultato non stupisce in quanto la deformazione di un corpo soggetto ad una sollecitazione qualsiasi risulta essere in generale una sovrapposizione di una deformazione di volume e di una di forma. Il modulo di compressibilità e il modulo di rigidità sono quindi da considerarsi come le costanti fondamentali, da cui dipendono tutte le altre. Da un punto di vista sperimentale risulta però più conveniente misurare il modulo di Young e il modulo di rigidità.