Scienza dei Materiali 1 Esercitazioni

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1 Scienza dei Materiali 1 Esercitazioni 6. Elasticità ver. 1.3

2 Sforzo e deformazione Sia dato un provino di lunghezza l avente area della sezione A, sottoposto ad una forza di trazione F. A causa di questa forza il provino si deforma fino ad assumere una lunghezza l ed un area della sezione pari ad A. Definiamo quale SFORZO ingegneristico o nominale eng : e come sforzo vero true = eng = true L ALLUNGAMENTO del provino, causato dell applicazione del carico è pari a: F A F A l = l l In corrispondenza di tale allungamento definiamo la DEFORMAZIONE ingegneristica o nominale come allungamento rispetto alla lunghezza iniziale: ε eng l l l l l l l = = = 1

3 Sforzo e deformazione Analogamente allo sforzo vero può essere definita una deformazione vera del provino: l ε true = ln l E da notare che la deformazione è un numero puro (non ha unità di misura!)

4 La legge di Hooke In campo elastico, sforzo e deformazione nominali sono legati tra loro da una relazione di proporzionalità diretta la cui costante è chiamata MODULO ELASTICO o MODULO DI YOUNG. La relazione tra sforzo e deformazione, in campo elastico lineare è riassunta nella legge di Hooke: F = E ε = A l l E l Nelle figure seguenti sono mostrati i punti principali in un diagramma sforzo deformazione ingegneristico per un materiale elasto-plastico e la curva di carico scarico nel caso di carico superiore a quello di snervamento.

5 Diagramma s/e ingegneristico tratto plastico frattura tratto elastico lineare = Eε ε

6 Diagramma s/e ingegneristico R limite di rottura (tensile strength) F y o.2 limite di snervamento (yield strength) limite di frattura (failure stress) ε =.2% ε

7 Diagramma s/e ingegneristico carico scarico deformazione plastica residua! recupero elastico ε

8 ESERCIZI

9 Ex 6.1. Resistenza Una forza di 5 kn viene applicata ad una barra di acciaio a sezione rettangolare di 1 cm x 1 cm. Se il limite di snervamento è 4MPa e quello di rottura è 48MPa, si deformerà plasticamente? presenterà strizione? Svolgimento Dati: F = 5 kn h =.1 m y = 4 MPa r = 48 MPa w =.1 m Calcoliamo dapprima lo sforzo applicato alla barra: F = = A F wh = 5 MPa Siccome lo sforzo è superiore al limite di snervamento, la barra si deformerà plasticamente. Lo sforzo è pure superiore al limite di rottura e quindi il provino mostrerà una strizione

10 Ex 6.2. Sforzo su cavo Calcolare il diametro minimo di un cavo utilizzato per sollevare un ascensore avente una massa di 1 kg. Il materiale di cui è costruito il cavo ha un limite di snervamento di 24 MPa. Svolgimento Dati: m = 1 3 kg y = 24 MPa La forza con la quale l ascensore allunga il cavo è pari a: F = m g F = 9.81 kn dove g è l accelerazione di gravità pari a 9.81 m/s 2. Nota la forza possiamo applicare la definizione di sforzo ingegneristico: F m g = = A A e valutare l area della sezione del cavo che permetta di lavorare in campo elastico

11 Ex 6.2. Sforzo su cavo ovvero: y F m g m g = = A = A A y Per una fune cilindrica, l area può essere esplicitata in termini del diametro e quindi: A 2 m g d 4 m g = = π d = 4 π y y Risultato: d = 7.22 mm

12 Ex 6.3. Modulo elastico Sottoposta ad una forza di 2kN, una barra di Mg a sezione quadrata di 1 cm di lato, si allunga da 1 cm a 1.45 cm. Calcolarne il modulo elastico. Svolgimento Dati: F = 2 kn h = w = 1 cm l = 1 cm l = 1.45 cm Calcoliamo dapprima lo sforzo agente sulla barra: F A F w = = = 2 MPa 2 e quindi la deformazione: ε l l = ε = 4.5x1-3 l Applichiamo ora la legge di Hooke ed otteniamo il modulo elastico:

13 Ex 6.3. Modulo elastico = E ε E = ε Qualora fossero utilizzate unità di misura anglosassone, si può utilizzare un opportuno fattore di conversione. Per la conversione da Pascal a psi (pound on square inch), utilizzare la relazione: ovvero: 1 psi = Pa 1 Pa = 1.45x1-4 psi Risultato: E = 44.5 GPa

14 Ex 6.4. Modulo elastico Calcolare il modulo elastico di una barra di Al che si deforma di 3.5x1-3 se sottoposta ad uno sforzo di 24MPa. Calcolare quindi la lunghezza di una barra di 1 m sottoposta ad uno sforzo di 15 MPa Svolgimento Dati: = 24MPa ε = 3.5x1-3 l = 1 m appl = 15 MPa Utilizzando la legge di Hooke, ricaviamo il modulo elastico del materiale: = E ε E = ε Applicando ancora la legge di Hooke con la definizione di deformazione, otteniamo: appl l appl = E ε = E 1 l = l + 1 l E Risultato: E = 68.6 GPa l = 1.22 m

15 Ex 6.5. Deformazione Una fune metallica di 2 m avente il diametro di 3 cm, è impiegata per sollevare un carico di 4 kg. Qual è la lunghezza del cavo durante il sollevamento se il suo modulo elastico è di 2 GPa? Svolgimento Dati: E = 2 GPa l = 2 m w = 4 kg d = 3 cm Per valutare lo sforzo esercitato sulla fune, dobbiamo calcolare forza applicata ed area della sezione resistente: F = w g A = π Il carico di massa w esercita sulla fune uno sforzo pari a: d 4 2 F w g w g = = = = 5.55 MPa A d π d π 4

16 Ex 6.5. Deformazione Applicando la legge di Hooke e ricordando la definizione di deformazione, otteniamo quindi: l = E ε = E 1 l= l + 1 l E Risultato: l = 2.56 m (si allunga di.56 mm)

17 Ex 6.6. Prova di trazione Confrontare sforzo e deformazione ingegneristici (nominali) con quelli reali per una prova di trazione su un provino d acciaio del diametro di 13 mm considerando che con un carico di 85kg il diametro viene ridotto a 12 mm. Svolgimento Dati: d = 13 mm d load = 12 mm w = 85 kg Per calcolare gli sforzi dobbiamo conoscere la forza applicata al provino e l area della sezione resistente. La forza è valutabile conoscendo l accelerazione di gravità: F = w g F = kn Per il calcolo dell area, ricordiamo che la sezione è circolare quindi: A π = d 4 2 A load π = 4 d 2 load

18 Ex 6.6. Prova di trazione Per poter calcolare la deformazione dobbiamo conoscere la lunghezza iniziale e quella sotto sforzo del provino. Per fare ciò possiamo supporre che il volume del provino non cambi durante la prova e perciò che: Al A l = load load = lload Abbiamo ora tutti i dati per poter risolvere il problema: l A A load = ingegneristica F A ing = 628 MPa = reale F A load real = 737 MPa ε ingegneristica l l l A 1 1 l l A load load = = = load ε ing =.174 ε reale l load A = ln = ln l A load ε real =.16

19 Ex 6.7. Prova di trazione Applichiamo un carico di 15 kg ad un provino di MONEL (lega Ni, 2Cu, 2 Fe resistente alla corrosione ed alle alte temperature; E monel = 179 GPa) di raggio mm. Se con lo stesso carico produciamo la stessa deformazione in un campione di Ni (E Ni = 26 GPa), qual è il diametro di quest ultimo? Svolgimento Dati: w = 15 kg r monel = mm E monel = 179 GPa E Ni = 26 GPa Calcoliamo dapprima lo sforzo agente sul provino di MONEL, ricordando che la sezione è circolare: F w g monel = = 2 A π r monel = MPa monel e, sfruttando la legge di Hooke, calcoliamo quindi la deformazione: monel ε monel = ε monel = 3.29x1-4 E monel

20 Ex 6.7. Prova di trazione La medesima deformazione è applicata al provino di nickel, per il quale, invertendo il ragionamento, otteniamo: = E ε Ni Ni monel Ni = MPa e quindi, assumendo ancora sezione circolare: A Ni F = Ni A Ni = 2.171x1-4 m 2 d Ni = 4 A Ni π Risultato: d Ni = cm

21 Ex 6.8. Cilindro ottone Dato un cilindro di ottone (7 Cu 3 Zn; E = 11 GPa e ν =.37) sottoposto ad un carico assiale di 233 MPa, determinare la variazione in volume, il modulo di bulk e quello di taglio e stabilire qual è l angolo di taglio che si ottiene con uno sforzo di taglio pari a 262 MPa. Svolgimento Dati: E = 11 GPa ν =.37 = 233 MPa τ = 262 MPa Per la legge di Hooke, la deformazione lungo l asse del cilindro (asse y) vale: ε = y E x mentre quella in direzione radiale (asse x): ε x = ν E y

22 Ex 6.8. Cilindro ottone Valutiamo, differenziando l espressione del volume del provino, la dipendenza della variazione di volume dalla variazione di lunghezza nelle tre direzioni (più facilmente calcolabile): V V = + = + L R 2 V L R πr L 2LπR R La variazione rispetto al valore iniziale è perciò: = + = + 2 = ε + 2ε 2 V πr L 2LπR R L R R 2 2 V LπR LπR L R Utilizzando le espressioni per le deformazioni in direzione assiale e radiale sopra ricavate, otteniamo: y x V = εy + 2εx = 1 2ν V E ( ) V/V = -.55% Il modulo di bulk è definito come: E K = 31 2 ( ν ) K = 141 GPa

23 Ex 6.8. Cilindro ottone mentre quello di taglio è calcolabile come: G = ( + ν ) 21 E G = 4 GPa Noto il modulo di taglio, è immediato valutare l angolo di taglio per il materiale applicando la definizione: τ γ = G γ = 6.55 mrad =.38 Ricordare che l angolo di taglio che si ottiene è espresso in radianti! E quindi necessaria una conversione per ottenere il valore desiderato in gradi. Risultato: V/V = -.55% K = 141 GPa G = 4 GPa γ =.38

24 Ex 6.9. Pressione idrostatica Calcolare il V/V dovuto a pressione idrostatica P n = -1.4 GPa per un materiale con costanti elastiche E = 25 GPa e ν =.29. Svolgimento Dati: P n = GPa E = 25 GPa ν =.29 Possiamo operare in due modi per risolvere il problema. Il più semplice consiste nel calcolare dapprima il modulo di bulk K del materiale: K = E 31 2 ( ν ) K = GPa Successivamente, ricordando che il modulo di bulk è l inverso della compressibilità, possiamo ricavare la variazione di volume K 1 Pn V Pn = = = β V V K V V/V = -.86 %

25 Ex 6.9. Pressione idrostatica Il medesimo risultato può essere ottenuto passando attraverso la deformazione. La deformazione lungo la direzione x può essere scritta come: x ν εx = ( y + z) E E Visto che la pressione applicata è idrostatica, gli sforzi saranno i medesimi nelle tre direzioni e perciò: P ε = ν = n ν E E ( 1 2 ) ( 1 2 ) ε = -.287% Nota la deformazione lungo una direzione, tralasciando infinitesimi di ordine superiore la variazione di volume può essere scritta come: V V L 3 = 3ε L V/V = -.86 % Risultato: V/V = -.86%

26 Ex 6.1. Variazione sezione Calcolare la variazione di diametro e di area della sezione per un provino (materiale con E = 25 GPa e ν =.29) di cilindrico del diametro di 18.6 mm sottoposto ad un carico di trazione di 67kN. Svolgimento Dati: F = 67 kn d = 18.6 mm E = 25 GPa ν =.29 Definendo le direzioni x radiale e y assiale, lo sforzo lungo l asse del provino può essere valutato come: F F y = 2.46 GPa y = = 2 A d π 4 Sfruttiamo ora la legge di Hooke per calcolare la deformazione radiale (ovvero in direzione x) del provino, che è proprio la variazione di diametro cercata: ν ν ε = ( + ) = E E E x x y z y ε x = -.35%

27 Ex 6.1. Variazione sezione L area iniziale del provino, di sezione cilindrica, è: π A= d 4 2 Derivando questa espressione rispetto al diametro, otteniamo la variazione di area relativa ad una variazione del diametro: e infine: A π = 2d d 4 A A π 2d d 4 d = = 2 = 2ε π 2 d d 4 x A/A = -.7% Risultato: A/A = -.7%

28 Ex Prova di impatto Un pendolo strumentato di 2kg ha un centro di massa posto a 6 cm dal fulcro. Il pendolo viene sollevato di 12 rispetto alla verticale e fatto impattare su un provino intagliato. L energia persa nell impatto fa risalire il pendolo fino a 9 dal lato opposto. Qual è l energia assorbita dal materiale? Svolgimento Dati: w = 2 kg l = 6 cm a 1 = 12 a 2 = 9 L energia misurata nella prova di impatto è energia potenziale. E perciò sufficiente valutare la differenza di altezza tra lo stato iniziale e quello finale per calcolare l energia persa nell impatto (ovvero acquistata dal provino). Schematizziamo il problema:

29 Ex Prova di impatto iniziale finale l l h 12 La variazione di energia potenziale è data da: E = wg h

30 Ex Prova di impatto Dalla geometria del problema: ( ) h= lsin 3 = l 2 e quindi, nell impatto, il pendolo ha perso un energia: l E = w g E = J 2 Il provino perciò acquista un energia pari a E. Siccome il provino è intagliato (per favorirne la frattura fragile), quest energia ne rappresenta la resilienza. Risultato: E = 58.9 J

31 FINE