Sforzi e Deformazioni

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1 Corso di Comportamento Meccanico dei Materiali Ing. Matteo Vettori. AA 2010/2011 Rev. 10/2010 Parte V. Il Corpo Deformabile: Sforzi e Deformazioni Corso di Laurea in Scienze e Tecnologie del Packaging Corso di Laurea in Scienze e Tecnologie dei Materiali

2 CORPO DEFORMABILE Qualsiasi corpo soggetto a forze (o momenti), subisce comunque una certa variazione delle sue dimensioni (in genere si allunga in una direzione e si accorcia nell altra o viceversa) R F F R dimensione prima dell applicazione del carico dimensione dopo dell applicazione del carico La variazione delle dimensioni è in genere più o meno proporzionale alla forza (momento) applicata L o L o +L L o +2L P 2P Relazione tra forza applicata P e allungamento (L) di un corpo deformabile 70

3 COMPORTAMENTO ELASTICO Si immagini che la forza applicata sia comunque inferiore alla forza necessaria a determinare la rottura del materiale (forza di rottura): la lunghezza iniziale (L o ) aumenta di un certo valore ( L elastico ) con l aumento della forza applicata rimossa la forza applicata, la lunghezza torna ad essere quella iniziale (L o ) e l allungamento si annulla ( L=0) L o Forza 2 1 L = L o L o L elastico 2 L = L o + L elastico L o 1 3 Allungamento 3 L = L o 71

4 COMPORTAMENTO ELASTO-PLASTICO Si immagini che la forza applicata sia comunque inferiore alla forza necessaria a determinare la rottura del materiale (forza di rottura): se non si supera un certo valore critico della forza applicata (forza elastica limite) il comportamento è di tipo sostanzialmente elastico, pertanto la lunghezza iniziale (L o ) aumenta di un certo valore ( L elastico ) con l aumento della forza applicata se si supera la forza elastica limite si verifica un allungamento permanente di tipo plastico non più proporzionale alla forza ( L plastico ) rimossa la forza, l allungamento elastico ( L elastico ) viene recuperato, mentre resta sul materiale un allungamento residuo permanente( L plastico ) non più recuperabile Forza forza elastica limite Lo Lo Lelastico L = Lo 2 L = Lo + Lelastico Lo Lelastico Lplastico 3 L = Lo + Lelastico+ Lplastico 1 4 Allungamento 4 Lo Lplastico L = Lo + Lplastico 72

5 MATERIALI ELASTICI ED ELASTO-PLASTICI I materiali possono essere divisi in due categorie: materiali a comportamento elastico, sui quali l applicazione di una forza non può determinare l insorgenza di variazioni di forma permanenti, per i quali può essere individuata una forza di rottura materiali a comportamento elasto-plastico, sui quali l applicazione di una forza può determinare l insorgenza di variazioni di forma permanenti, per i quali può essere individuata sia una forza di rottura che una forza elastica limite MATERIALI ELASTICI MATERIALI ELASTO-PLASTICI Forza Ceramici (fragili) Forza di rottura Forza Metalli Forza di rottura Forza elastica limite Polimeri elastomerici Allungamento Polimeri termoplastici Allungamento I materiali ceramici (fragili) e i polimeri elastomerici (molto deformabili) hanno tipicamente comportamento elastico La maggior parte dei materiali metallici e i materiali polimerici termoplastici hanno tipicamente comportamento elasto-plastico 73

6 MASSIMO FORZA AMMISSIBILE Si immagini di realizzare un qualsiasi oggetto sottoposto a delle forze: è sicuramente necessario che esso non si rompa nella maggior parte dei casi è necessario anche che a seguito dell applicazione di una forza l oggetto non subisca variazioni di forma irreversibili Nel seguito ci limiteremo a considerare situazioni di questo tipo, pertanto: nel caso di materiali elastici la forza applicata deve essere inferiore alla forza di rottura nel caso di materiali elasto-plastici la forza applicata deve essere inferiore alla forza elastica limite MATERIALI ELASTICI MATERIALI ELASTO-PLASTICI Forza di rottura Forza Forza di rottura Forza limite elastica Forza Allungamento Allungamento 74

7 SFORZO E DEFORMAZIONE Nella progettazione e realizzazione di oggetti, componenti, apparecchiature è necessario calcolare: sotto quale forza il pezzo si rompe (o comunque resta in campo elastico) di quanto esso cambia di dimensioni se soggetto ad una data forza non sufficiente per romperlo (o comunque per deformarlo in modo permanente) Per poter giungere a tali valutazioni è tuttavia necessario tener conto delle forma iniziale del pezzo e introdurre: accanto al concetto di forza quello di sforzo accanto al concetto di cambio di dimensioni (allungamento), quello di deformazione 75

8 SFORZO È intuitivo pensare che lo stato di sollecitazione interna di un materiale (sforzo) dipenda dalla forza applicata ma anche dalla forma del pezzo Lo sforzo può essere valutato mediante opportuno rapporto tra la forza agente e le dimensioni del pezzo (sezione resistente) Lo sforzo non è una grandezza effettivamente misurabile, ma solo una astrazione elaborata per facilitare il compito al progettista La valutazione dello sforzo è facile se ci riferisce solo ai casi più semplici Nelle situazioni reali, la corretta valutazione dello sforzo è piuttosto complessa e spesso per poterlo stimare è necessario ricorrere a metodi di calcolo sofisticati quali i codici a elementi finiti 76

9 DEFORMAZIONE Un corpo soggetto a delle forze subisce comunque una variazione di dimensioni (allungamento, accorciamento, ecc.) La variazione di dimensione che subisce un corpo sottoposto a delle forze è una grandezza effettivamente misurabile, ma l entità della variazione di forma dipende dalla dimensione iniziale Si definisce deformazione un opportuno rapporto tra la variazione di forma e le forma iniziale In un caso molto semplice (trazione) si immagini di avere due barre lunghe rispettivamente lunghezza iniziale 10 cm lunghezza iniziale 100 cm che dopo l applicazione di una forza subiscono una variazione di forma rispettivo di allungamento 5 cm allungamento 50 cm dividendo l allungamento per la lunghezza iniziale si può calcolare che deformazione 5/10 = 0,5 deformazione 50/100 = 0,5 i due corpi hanno subito allungamenti molto diversi (5 cm e 50 cm) ma uguale deformazione (0,5) deformazione = 0,5 77

10 SFORZO E DEFORMAZIONE I casi semplici di sforzo e connessa deformazione sono: trazione e compressione taglio flessione torsione M M asse neutro 78

11 TRAZIONE E COMPRESSIONE Lo stato di trazione o compressione è determinato da due forze (spesso una forza applicata e una reazione vincolare) uguali ed opposte, che agiscono lungo la stessa direzione Ogni rettangolo elementare che costituisce il corpo si deforma allungandosi in una direzione e accorciandosi nell altra senza variare la forma rettangolare: se il corpo tende ad allungarsi nella direzione della forza si parla di deformazione a TRAZIONE se il corpo tende accorciarsi nella direzione della forza si parla di deformazione a COMPRESSIONE 79

12 AZIONI INTERNE IN CASO DI TRAZIONE Si consideri una barra soggetta a due forze (o ad una forza applicata ed una reazione vincolare) uguali ed opposte allineate con l asse della barra (che ne garantiscono l equilibrio) Si voglia valutare se la barra è in grado di resistere oppure no alle forze applicate (si rompe oppure no) e di quanto si deforma Per poterlo valutare dobbiamo essere in grado di calcolare quale sia lo stato di sollecitazione effettivamente agente in una generica sezione V A = P P VA = P P P L L Ciò può essere fatto calcolando le AZIONI INTERNE che agiscono nella sezione stessa La metodologia per il calcolo delle azioni interne è relativamente complessa e verrà illustrata nel seguito Per il momento si dia per assodato che ogni sezione della barra in esame sia soggetta ad 1 forza di entità P che agisce perpendicolarmente alla sezione stessa 80

13 SFORZO Consideriamo una barra di sezione resistente A 0 sottoposta ad una forza F F F Ao A Ao A F F Si definisce sforzo [nominale] (s) il rapporto tra la forza applicata (F) e la sezione iniziale (A 0 ) forza F Sforzo [nominale] = s = sezione iniziale A 0 Unità di misura (sistema SI): forza : Newton N (forza che applicata ad una massa di 1 kg imprime l accelerazione di 1 m/s 2 ) lunghezza metro m sforzo Pascal Pa (N/m 2 ) o più spesso: sforzo megapascal MPa (MN/m 2 ) o (N/mm 2 ) Conversioni: 10 6 N/m 2 = 10 6 Pa = 1 MPa = 1 N/mm N/m 2 = 10 9 Pa = 1 GPa 1 kg/mm 2 = 9,81 MPa 81

14 DEFORMAZIONE Consideriamo una barra di sezione resistente A 0 e lunghezza l 0 sottoposta ad una forza F, che si allunga fino a raggiungere la lunghezza l F F l o A o l l A l o A o l A l o l l o F F Si definisce deformazione [nominale] (e) il rapporto tra l allungamento subito ( l = l - l 0 ) e la lunghezza iniziale (l 0 ) lunghezza finale - lunghezza iniziale Deformazione [nominale] = lunghezza iniziale l - l 0 Dl e = = l 0 l 0 Unità di misura: adimensionale m/m mm/mm 82

15 DEFORMAZIONE PERCENTUALE La deformazione può essere espressa anche come deformazione percentuale, che è pari alla deformazione moltiplicata per 100: l - l 0 Dl e% = e. 100 =. 100 =. 100 l 0 l 0 Unità di misura: adimensionale m/m mm/mm E necessario fare molta attenzione e non confondere la deformazione (e) con la deformazione percentuale (e%), perché si rischia di introdurre un errore di 2 ordini di grandezza 83

16 MODULO DI POISSON Sottoponendo un materiale ad una forza lungo l asse z, esso subisce una deformazione positiva (allungamento) (+e z ) lungo tale direzione, e una deformazione negativa (contrazione) lungo gli assi x (-e x ) e y (-e y ) Viceversa se si ha deformazione negativa lungo l asse z (-e z ) si ha deformazione positiva lungo gli assi x (+e x ) e y (+e y ) In presenza di un solido isotropo e x e e y sono uguali Si definisce Modulo di Poisson (n) il rapporto invertito di segno tra la deformazione laterale (e x o e y ) e la deformazione longitudinale (e z ) e laterale e x e y n = - = - = - e longitudinale e z e z Poiché le deformazioni laterale e longitudinale hanno segno opposto, l aggiunta del segno meno garantisce che n sia positivo 84

17 VALORI DEL MODULO DI POISSON Per i materiali ideali n dovrebbe essere pari a 0,5 (costanza del volume); se n < 0,5 la contrazione laterale è inferiore al dovuto, cioè sotto sollecitazione il corpo aumenta di volume Valori tipici del coefficiente di Poisson n: materiali metallici 0,3 0,35 materiali ceramici 0,1 0,25 materiali polimerici (termoplastici) > 0,4 caucciù e polimeri elastomerici 0,5 85

18 ESERCIZIO Domanda: Si consideri un parallelepipedo con i lati a 0, b 0 ed l 0 inizialmente di lunghezza 5, 8 e 200 mm sottoposto ad una forza assiale di 400 kg f (orientata parallelamente al lato di lunghezza 200 mm). 1. Ipotizzando che la conversione tra kg f e N sia 1 kg f = 10 N (anziché 9,81 N), calcolare lo sforzo agente in kg f /mm 2, kn/mm 2 e MPa. 2. Ipotizzando che dopo l'applicazione della forza il parallelepipedo abbia subito una deformazione dello 0,02 e che il modulo di Poisson sia pari a 0,4, calcolare le dimensioni del parallelepipedo (lati a, b, l) dopo l'applicazione della forza stessa. Risposta: F l - l 0 e lat s = e = n = - A 0 l 0 e long 1. σ (kg f /mm 2 ) = 400/40 = 10 kg f /mm 2 σ (kn/mm 2 ) = ( )/40 = 0,1 kn/mm 2 σ (MPa) = ( )/( )=100 MN/m 2 =100 MPa σ (MPa) = (400 10)/40 = 100 N/mm 2 = 100 MPa 2. 0,02 = (l-200)/200 4 = l-200 l = l = 204 mm 0,4 = -(ε laterale /0,02) ε laterale = -0,4 0,02 = -0,008 a = a 0 + a 0. ε laterale = 5-5 0,008 = 5-0,04 = 4,96 mm b = b 0 + b 0. ε laterale = 8-8 0,008 = 8-0,064 = 7,936 mm 86

19 LEGAME SFORZO-DEFORMAZIONE Fino a che si resta in campo elastico (in presenza di deformazioni reversibili), il legame sforzo-deformazione è dato dalla LEGGE DI HOOKE s = E e oppure E = s/e oppure e = s/e dove: s = sforzo applicato (in MPa), e = deformazione (adimensionale), E = modulo di elasticità o di Young (in MPa). Unità di misura: si calcola in MPa per comodità spesso si riporta in GPa 1 GPa = 1000 MPa 1 MPa = 10-3 GPa 87

20 VALORI DEL MODULO DI ELASTICITÀ La deformazione che un materiale subisce se sottoposto ad un certo sforzo dipende molto dal tipo di materiale Ad esempio a parità dei dimensioni e sforzo i polimeri di più diffuso impiego (E 2 GPa) subiscono una deformazione 100 volte maggiore di un acciaio (E 200 GPa); nel caso di elastomeri (E 0,005 GPa) tale rapporto può diventare anche circa La conoscenza del suo valore del modulo di elasticità è pertanto fondamentale per prevedere la il comportamento in esercizio di un materiale Valori tipici del modulo di elasticità E: metalli GPa (acciaio 200 GPa) ceramici: tradizionali GPa avanzati fino 400 GPa diamante 1000 GPa polimeri 2-8 GPa (valore più comune 2 GPa) elastomeri 0,005 GPa legno GPa compositi fino 200 GPa (a matrice polimerica) 88

21 ESERCIZIO Domanda: Un parallelepipedo con i lati a o, b o ed l o inizialmente di lunghezza 10, 20 e 100 mm è soggetto ad una forza F di 8150 kg f allineata con l'asse l o. Sapendo che il modulo di elasticità del materiale è 200 GPa, calcolare la deformazione, la deformazione percentuale e la lunghezza finale l del parallelepipedo. Risposta: F l - l 0 s = e = e% = e 100 s = E e A 0 l 0 F = ,81 = N σ = F/(a b) = /(20 10) = 400 MPa ε = σ/e = 400/ = 0,002 ε% = 0,2% ε = (l-l o )/l o l-l o = l o ε l = l o +(l o ε) = 100+(100 0,002) = 100,2 mm 89

22 ESERCIZIO Livello 2 Domanda: Si immagini di sollevare un peso da 48,93 kg mediante un attrezzo costituito da una maniglia e un gancio di acciaio, connessi con una barra di polimero (E = 2,0 GPa, ν = 0,4) di lunghezza 1 m e sezione 4 4 mm. Calcolare, nel momento in cui il peso si solleva dal terreno, la lunghezza finale della barra di polimero e la variazione di dimensione di ogni lato della sezione (indicando se positiva o negativa). Risposta: F l - l 0 e lat s = e = s = E e n = - A 0 l 0 e long F = 48,93 9,81 = 480N σ = F/A o = 480/16 = 30 MPa ε = σ/e = 30/2000 = 0,015 l-l o = ε l o l = l o (1+ε) = 1000 (1+0,015) = 1015 mm ε lat = -ν ε long = -0,4 0,015 = -0,006 a-a o = ε lat a o = -0,006 4 = -0,024 mm 90

23 TAGLIO Lo stato di taglio è determinato da due forze (spesso una forza applicata e una reazione vincolare) uguali ed opposte, che agiscono lungo direzioni parallele Ogni rettangolo elementare che costituisce il corpo si deforma trasformandosi in romboedro (inclinato di un angolo θ) 91

24 AZIONI INTERNE IN CASO DI TAGLIO Considerazioni analoghe a quelle fatte nel caso della trazione possono essere fatte nel caso del taglio P P P R = P R = P Si consideri una barra soggetta a due forze (o ad una forza applicata ed una reazione vincolare) uguali ed opposte che agiscono su piani paralleli La metodologia per il calcolo delle azioni interne è relativamente complessa e verrà illustrata nel seguito Per il momento si dia per assodato che ogni sezione della barra in esame sia soggetta ad 1 forza di entità P che agisce parallelamente alla sezione stessa 92

25 SFORZO DI TAGLIO Un materiali può deformarsi per effetto di una coppia di forze che agiscono in senso opposto su due superfici tra loro parallele sezione interessata A forza di taglio S R = S Immaginando che le forze S agiscano su due superfici parallele di area A, si definisce SFORZO DI TAGLIO (t) il valore forza di taglio Sforzo di taglio = t = sezione interessata S A Unità di misura (sistema SI): sforzo Pascal Pa (N/m 2 ) o più spesso: sforzo megapascal MPa (N/mm 2 ) 93

26 DEFORMAZIONE DI TAGLIO Il materiale soggetto ad uno sforzo di taglio si deforma spostando uno rispetto all altro i due piani angolo q scostamento a forza di taglio S distanza h R = S Immaginando che lo spostamento a si verifichi tra due superfici poste a distanza h, si definisce DEFORMAZIONE DI TAGLIO (g) il valore: spostamento a Deformazione di taglio = g = = tg q distanza h dove q è l angolo di scostamento tra le due superfici, misurato in radianti (per piccoli angoli g = q) Unità di misura: adimensionale m/m mm/mm 94

27 ESERCIZIO Domanda: Si consideri un parallelepipedo con i lati a, b e l di lunghezza 5, 10 e 40 cm soggetto a due forze S 1 e S 2 uguali ed opposte pari a 200 kn che agiscono sulle superfici parallele a-b. 1. Calcolare lo sforzo di taglio τ in MPa ed in kg f /mm Ipotizzando che la deformazione di taglio sia pari al 2%, calcolare di quanto trasla il punto di applicazione di S 2 rispetto a quello di applicazione di S 1. Risposta: S a t = g = A h 1. τ (MPa) = τ (N/mm 2 ) = S/A = /5000 = 40 MPa τ (kg f /mm 2 ) = τ (MPa)/9,81 = 4,2 kg f /mm 2 spostamento a 2. deformazione taglio γ = = 2% = 0,02 distanza h spostamento a = deformazione taglio γ distanza h = = 0, = 8 mm 95

28 LEGAME SFORZO-DEFORMAZIONE Anche nel caso del TAGLIO può essere scritta una legge che lega lo sforzo alla deformazione t = G g oppure G = t/g oppure g = t/g dove: t = sforzo di taglio applicato (in MPa), g= deformazione di taglio (adimensionale), G = modulo di taglio (in MPa). La legge è simile alla legge di Hooke valida per deformazione a trazione o compressione s = E e Il valore di G è legato a quelli di E (modulo di Young) e n (modulo di Poisson) tramite la relazione: G = E/2(1+n) 96

29 ESERCIZIO Livello 2 Domanda: Una lastra di vetro (E = 100 GPa, ν = 0,3) di dimensioni 1 2 metri e altezza 1 cm, sia appoggiata su due sostegni in pietra (E = 120 GPa, ν = 0,3) di dimensioni cm e altezza 80 cm. Fra vetro e ognuno dei sostegni vengono interposti due quadrati 5 5 cm di gomma naturale (E = 6 MPa, ν = 0,5) che, dopo che il vetro è stato appoggiato, diviene di spessore 2 cm. Calcolare, trascurando le deformazioni di secondario effetto, di quanto si sposta verso destra la lastra di vetro, se essa viene spinta lateralmente da sinistra, con una forza di 1000 N. Risposta: S a t = g = t = G g G = E/2(1+n) A h τ = S/A = 1000/ = 0,1 MPa G = E/2(1+ν) = 6/2(1+0,5) = 2 MPa γ = τ/g = 0,1/2 = 0,05 a = γ h = 0,05 20 = 1 mm 97

30 FLESSIONE Lo stato di flessione è determinata da due momenti (spesso un momento applicato e una reazione vincolare momento) uguali ed opposti, che agiscono sullo stesso piano δ +σ, +ε M M asse neutro -σ, ε asse neutro Ogni rettangolo elementare che costituisce il corpo si deforma curvandosi In una generica sezione si passa progressivamente da una situazione in cui le fibre sono sollecitate a trazione e allungate (+σ, +ε), ad una condizione in cui le fibre sollecitate a compressione e accorciate (-σ, -ε) Esiste una zona (asse neutro) in cui le fibre non sono né sollecitate, né deformate; in caso di geometria semplice (quadrata, rettangolare, rotonda) l asse neutro è sulla mezzaria Oltre che una deformazione locale (ε) si ha anche una macro deflessione (d) che misura lo spostamento della zona maggiormente flessa rispetto alla posizione iniziale 98

31 FLESSIONE Si consideri una trave di una certa lunghezza e sezione rettangolare, caricata con due momenti uguali ed opposti La trave sia abbia nel primo caso orientata con il lato maggiore della sezione verso l alto e nel secondo caso con il lato minore (ribaltamento di 90 ) +y -y +y -y M M M M E intuitivo che: le travi tendono a rompersi più facilmente e a flettersi maggiormente quanto maggiore è la coppia di momenti applicati M ( s e d aumentano con M) la trave orientata con il lato maggiore della sezione verso l alto (a parità di sezione, di momenti applicati M e di materiale) si rompe più difficilmente e si flette meno rispetto s e d diminuiscono con un parametro legato alla disposizione della sezione rispetto al carico a flessione, detto MOMENTO DI INERZIA) la sollecitazione dipende fortemente dalla posizione rispetto all asse neutro ( s dipende da y) y positivo: sforzo di trazione y nullo (asse neutro): sforzo nullo y negativo: sforzo di compressione 99

32 MOMENTI DI INERZIA Valuta la resistenza che una sezione oppone a essere deformata e dipende dalla sua geometria d d I quadrato = d 4 /12 h Irettangolo = d h 3 /12 d h' d d'/2 h I doppia ti = (d h 3 -d' h' 3 )/12 r I barra = πr 4 /4 r' r I tubo = π(r 4 -r' 4 )/4 t r Itubo parete sottile= 2πr 3 t t r I tubo tagliato = 2πr 3 t(1-3t/2r) 100

33 MOMENTI DI INERZIA In linea di massima il momento di inerzia: è proporzionale all altezza della sezione elevata alla terza potenza (al cubo) è proporzionale alla larghezza della sezione alla prima potenza Conseguentemente a parità di area della sezione (quantità di materiale): tanto più è grande il rapporto altezza/larghezza della sezione, tanto più è alto il momento di inerzia la sezione a doppia T garantisce il massimo valore del momento di inerzia le sezioni cave determinano un momento di inerzia superiore alle sezioni piene 101

34 AZIONI INTERNE IN CASO DI FLESSIONE Considerazioni analoghe a quelle fatte nel caso della trazione e del taglio possono essere fatte nel caso di flessione R = M M R = M M M Si consideri una barra soggetta a due momenti (o ad un momento applicato ed una reazione vincolare momento) uguali ed opposte che agiscono sullo stesso piano La metodologia per il calcolo delle azioni interne è relativamente complessa e verrà illustrata nel seguito Per il momento si dia per assodato che ogni sezione della barra in esame sia soggetta ad 1 momento di entità M che agisce perpendicolarmente alla sezione stessa 102

35 FLESSIONE: SFORZO Lo sforzo in un generico punto della sezione può essere calcolato come: s = M y I ove s = sforzo di trazione agente (MPa = N/mm 2 ) M = momento agente (N.mm) y = distanza dall asse neutro (mm) I = momento di inerzia (mm 4 ) 103

36 FLESSIONE: DEFORMAZIONE Localmente: ogni fibra si deforma in base alla legge di Hooke s = E e A livello macroscopico: si ha una macro deflessione d che a: aumenta con l aumento del momento applicato M aumenta con il quadrato dell aumento della lunghezza della trave L diminuisce con l aumento dal momento di inerzia I diminuisce con l aumento dal modulo di elasticità E δ δ M M M M L L La massima deflessione che subisce la trave può essere calcolata mediante opportune formule che verranno esaminate caso per caso f (M L 2 ) d max = f (E I ) 104

37 TRAVE SU DUE APPOGGI (con forza agente in mezzaria) L/2 P R 1 R 2 L R 1 = R 2 = P/2 Anche se la dimostrazione verrà data in seguito, alcune considerazioni sono intuitive o possono essere accettate per valide: la trave è sollecitata da una forza P e da due reazioni vincolari R 1 ed R 2 entrambe pari a P/2 la trave tende a flettersi e il punto di massima sollecitazione (in cui eventualmente si romperebbe) è al centro in corrispondenza al punto di applicazione di P il momento flettente massimo al centro della trave vale M max = F L/4 e le formule di calcolo necessarie per calcolare lo sforzo e la deflessione al centro della trave valgono: s = F L y 4 I d max = F L 3 48 E I 105

38 106

39 ESERCIZIO Livello 2 Domanda: Una trave di lunghezza 250 cm è soggetta a flessione in tre punti da parte di una forza pari a 4,8 kn applicata nel centro della trave, che poggia su due appoggi posti alla distanza di 200 cm. Ipotizzando un modulo di elasticità del materiale di cui è fatta la trave pari a 200 GPa, calcolare la massima deflessione per le tre seguenti sezioni (tutte di pari area): (1) rettangolare con w = 20 mm e h = 50 mm; (2) rettangolare con w = 50 mm e h = 20 mm; (3) a doppia T con w = 20 mm, h = 80 mm, h = 60 mm, w /2 = 5 mm. Risposta: unità di misura utilizzate: forza in N, lunghezze in mm I = w h 3 /12 I 1 = / I 2 = / I 3 = [( )-( )]/ δ max = F L 3 /48 E I δ 1max = / mm δ 2max = / mm δ 3max = / mm 107

40 ESERCIZIO Livello 2 Domanda: Si consideri una libreria realizzata con mensole scatolate di larghezza 25 cm, altezza 3 cm e distanza tra gli appoggi 2 m, ottenute piegando e saldando una lamiera di alluminio (E = 60 GPa) di spessore 2,5 mm [si ipotizzi che il momento di inerzia valga Si calcoli quanti libri da 1019 g possono essere caricati su ogni mensola (ipotizzando di posizionarli al centro) senza che la deflessione della mensola superi 1 cm. W 3 cm h 25 cm Spessore lamiera 2,5 mm Risposta: d max = F L 3 /48 E I F = 48 δ E I/ L 3 = / = 864 N Peso 1 libro = 1,019 9,81 = 10 N Libri = 864/10 = 86 libri 108

41 TRAVE INCASTRATA (con forza agente all'estremità opposta) M=PL P R=P L Anche se la dimostrazione verrà data in seguito, alcune considerazioni sono intuitive o possono essere accettate per valide: la trave è sollecitata da una forza P e da una reazione vincolare verticale R pari a P e da una reazione vincolare momento M pari a P.L la trave tende a flettersi e il punto di massima sollecitazione (in cui eventualmente si romperebbe) è nell incastro il momento flettente massimo nel punto dell incastro della trave vale M max = F L e le formule di calcolo necessarie per calcolare lo sforzo e la deflessione al centro della trave valgono: s = F L y I d max = F L 3 3 E I 109

42 TORSIONE Determinato da due momenti (un momento applicato e una reazione vincolare momento) di segno opposto agenti su due piani paralleli Lo sforzo di torsione è dato in ogni punto da: Il momento massimo agente vale: t = M y/k dove : M è il momento agente, y la distanza dall asse neutro, K il momento polare di inerzia (alla torsione). In caso di corpo di forma tonda di raggio r, lo sforzo di torsione è massimo sulla superficie esterna del tondo e vale: t max = 2 M/p r 3 Anche per la torsione conoscendo i momenti applicati, la geometria del pezzo ed i momenti polari di inerzia, è possibile calcolare gli sforzi e le deformazione agenti. 110

43 MOMENTI DI INERZIA A TORSIONE d d I quadrato = 0,141d 4 I triangolo = ( 3/80)d 4 d r I barra = πr 4 /2 r r' I tubo = π(r 4 -r' 4 )/2 t r I tubo parete sottile = πr 3 t/2 t r I tubo tagliato = 2πrt 3 /3 111

44 FORMULE DA UTILIZZARE TRAZIONE E COMPRESSIONE F l - l 0 e lat s = e = e% = e 100 n = - s = E e A 0 l 0 e long TAGLIO S a t = g = t = G g G = E/2(1+n) A h FLESSIONE tre punti M y F L F L 3 s = M max = d max = I 4 48 E I FLESSIONE trave incastrata M y F L 3 s = M max = F L d max = I 3 E I MOMENTI DI INERZIA (A FLESSIONE) rettangolare: I = w h 3 /12 doppia T: I = (w h 3 -w h 3 )/12 circolare: I = pr 4 /4 112

45 113

46 SFORZO DI SNERVAMENTO E DI ROTTURA Un materiale a comportamento elastico (anche fragile) è caratterizzato dalla presenza di: uno sforzo di rottura, al di sopra della quale si verifica la rottura finale del componente Sforzo di rottura Sforzo Deformazione Un materiale a comportamento elastico-plastico è caratterizzato dalla presenza di: uno sforzo di snervamento, che separa il campo elastico da quello plastico uno sforzo di rottura, al di sopra della quale si verifica la rottura finale del componente Sforzo Sforzo di rottura Sforzo di snervamento Deformazione 114

47 MATERIALI ELASTICI (anche fragili) Se lo sforzo applicato è inferiore allo sforzo di rottura (σ < σrottura) il materiale opera in campo elastico; se si toglie lo sforzo applicato la deformazione viene recuperata Viene recuperata la forma iniziale Se lo sforzo applicato è superiore allo sforzo di rottura (σ > σrottura) si supera la massima resistenza meccanica del materiale e l oggetto si rompe rompe 115

48 MATERIALI ELASTO-PLASTICI Se lo sforzo applicato è inferiore allo sforzo di snervamento (σ < σsnervamento) il materiale opera in campo elastico; se si toglie il carico applicato la deformazione viene recuperata Viene recuperata la forma iniziale Se lo sforzo applicato è superiore allo sforzo di snervamento ma inferiore allo sforzo di rottura (σsnervamento < σ < σrottura) il materiale opera in campo plastico; se si toglie il carico applicato la sedia resta deformata plasticamente in modo permanente poiché viene recuperata solo la componente elastica Resta una deformazione permanente Se lo sforzo applicato è superiore allo sforzo di rottura (σ > σrottura) si supera la massima resistenza massima del materiale e l oggetto si rompe rompe 116

49 GRANDEZZE NECESSARIE PER STUDIARE IL COMPORTAMENTO DI UN MATERIALE Ci si era posti inizialmente l obiettivo, conoscendo le forze agenti e le dimensioni di un corpo, di calcolare gli sforzi agenti e le deformazioni conseguenti per poter verificare: se un pezzo resiste alle forze applicate oppure no se si deforma in modo eccessivo o no Per poter sapere se un corpo resiste alle forze applicate oppure no, per ogni materiale dobbiamo conoscere: s ammmissibile massimo sforzo che un certo materiale può sopportare senza rompersi o senza che su esso avvengano eccessive deformazioni plastiche irreversibili Nel caso di materiali isotropi, (come sono in genere tutti i materiali tranne i materiali compositi a fibre e i materiali naturali) per poter calcolare, noti gli sforzi, le deformazioni che esso subisce, dobbiamo conoscere le tre costanti elastiche: E modulo a trazione, che lega lo sforzo di trazione alla deformazione tramite la legge di Hooke (s = E.e) G modulo a taglio, che lega lo sforzo di taglio alla deformazione tramite la legge (t = G.g) n modulo di Poisson, che lega la deformazione longitudinale alla deformazione trasversale (n = -e lat /e long ) Data la formula che lega tra loro queste grandezze [G = E/2(1+n)] è sufficiente in realtà conoscere due di tali grandezze (in genere E e ν) Nella Tabella seguente sono riportati i valori di s ammmissibile, E e n per i principali tipi di materiali 117

50 GRANDEZZE NECESSARIE PER STUDIARE IL COMPORTAMENTO DI UN MATERIALE Valori indicativi di alcune caratteristiche meccaniche per alcune classi di materiali Materiale σ ammissibile (MPa) E (GPa) ν (-) acciai ,3 ghise ,2 leghe di rame ,35 leghe di alluminio ,35 gomma , ,5 plastica ,4 plastica rinforzata calcestruzzo 30-50* ,2 vetro ,23 allumina ,16 * a compressione (a trazione o flessione valori molto più bassi) 118

51 ESERCIZIO Livello 2 Domanda: Si dimensioni lo spessore dello schienale di una sedia. Esso in prima approssimazione può essere assimilato a una mensola di larghezza 40 cm e profondità 40 cm, incastrata in un estremo e sulla quale grava nell estremo opposto un peso di 55 kg f e che sia accettabile un abbassamento massimo della mensola di 1 cm. Si ipotizzi l uso di: (1) lega di alluminio (σ ammissibile = 135 MPa, E = 80 GPa) (2) polimero (σ ammissibile = 19,2 MPa, E = 2 GPa) (3) legno (σ ammissibile = 19,2 MPa, E = 20 GPa) Risposta: unità di misura utilizzate: forza in N, lunghezze in mm σ max = M y/i = F L h/2i = 6 F L/w h 2 h = (6 F L/w σ max ) δ max = F L 3 /3 E I = 4 F L 3 /E w h 3 h = (4 F L 3 /E w δ max ) (1) h 1σ = ( / ) 24 5 mm h 1δ = 3 ( / ) mm (2) h 3σ = ( /400 19,2) mm h 3δ = 3 ( / ) mm (3) h 2σ = ( /400 19,2) mm h 2δ = 3 ( / ) mm critico critico critico Ad esempio nel caso di uso di lega di alluminio, è necessario uno spessore di 5 mm per garantire che la mensola non si rompa (o pieghi) e uno spessore di 6 mm per garantire che non si pieghi eccessivamente; pertanto lo spessore minimo necessario è di 6 mm (spessore che garantisce da entrambe le eventualità) 119

52 CARATTERISTICHE MECCANICHE DI UN MATERIALE Le principali caratteristiche meccaniche di un materiale sono: resistenza rigidezza duttilità tenacità Ognuna di queste caratteristiche può essere stimata mediante opportuni valori numerici La conoscenza delle caratteristiche meccaniche dei vari materiali è necessaria per giungere ad una scelta oculata 120

53 RESISTENZA Definizione: capacità di un materiale di sopportare una sollecitazione (statica) senza snervarsi e/o rompersi Grandezze caratterizzanti: sforzo di snervamento: s sn sforzo di rottura: s R (σ 0,2%, R s, R sn, TYS) (σ R, R, R max, UTS) SFORZO DI SNERVAMENTO E ROTTURA Sforzo Sforzo di rottura Sforzo di snervamento Deformazione 121

54 RIGIDEZZA Definizione: capacità di un materiale di opporsi alla deformazione elastica (reversibile) Grandezza caratterizzante: modulo di elasticità: E N.B.: in presenza di flessione o torsione dipende anche dal momento di inerzia (I) MODULO DI ELASTICITA Sforzo alto modulo basso modulo Deformazione 122

55 DUTTILITA Definizione: capacità di un materiale di subire deformazione plastica (permanente) Grandezza caratterizzante: allungamento percentuale dopo rottura: A% ALLUNGAMENTO % Sforzo Allungamento % Deformazione 123

56 TENACITA Definizione: capacità di un materiale di opporsi alla frattura fragile a seguito della presenza di difetti o di urti Grandezza caratterizzante: tenacità a frattura: K Ic TENACITA A FRATTURA Se in un materiale sono presenti difetti interni (o è soggetto ad urti), il materiale può rompersi in modo fragile per la propagazione di una cricca con origine dal difetto stesso La frattura fragile si verifica più facilmente su alcuni materiali e meno su altri ed è tanto più facile quanto: la sollecitazione s è elevata il difetto a è grande la forma del difetto b è acuta A B C D E A<B B C>B D>B C<B Una grandezza che caratterizza adeguatamente tale comportamento è la tenacità a frattura K Ic K Ic = b s p a (unità di misura MPa m) 124

57 Tanto più è basso il valore di K Ic tanto più il materiale è suscettibile a rottura fragile e viceversa 125

58 TIPICHE CARATTERISTICHE MECCANICHE PROPRIETA RESISTENZA RIGIDEZZA DUTTILITA' TENACITA' caratteristica sforzo ammissibile deformazione elastica recuperabile deformazione plastica permanente non fragilità ósn (MPa) ór (MPa) E (GPa) A (%) KIc (MPam) METALLI acciai ghise leghe di alluminio leghe di rame POLIMERI polietilene (LDPE) 9-14,5 8,3-31,4 0,17-0, polistirene (PS) - 35,9-51,7 2,28-3,28 1,2-2,5 0,7-1,1 elastomero , CERAMICI calcestruzzo - 37,2-41,4* vetri ,8 allumina ,7-4,2 NATURALI legno

59 ESERCIZIO Livello 2 Domanda: Si debbano realizzare: un calcolatore portatile ultraleggero un telefono cellulare di peso contenuto L involucro esterno deve avere contemporaneamente le seguenti proprietà: basso peso alta rigidezza alta resistenza meccanica Oltre che un basso costo del materiale, la produzione in serie impone inoltre un basso costo di lavorazione (il pezzo deve poter essere ottenuto per stampaggio) Si discutano, alla luce della tabella sorroriportata, le principali alternative, consistenti in: polimero termoplastico gommoso (T g <20 C): polipropilene polimero termoplastico vetroso (T g >20 C): polistirene composito epossidica-fibra di carbonio bidirezionale leghe metalliche leggere (alluminio, titanio, ecc.) Materiale d s ammissibile E Resistenza Costo Costo (g/cm) (MPa) (GPa) all urto (Euro/kg) lavorazione Polipropilene (PP) 0, ,5 media 1,2 basso Polistirene (PS) 1, ,3 bassa 1,3 basso Policarbonato (PC) 1,2 65 2,3 alta 4,0 basso Composito carbonio molto alta 20 alto* Alluminio (Al) 2, molto alta 2,0 medio Titanio (Ti) 4, molto alta 11 alto** Magnesio (Mg) 1, molto alta 3,3 medio * non è possibile realizzare il pezzo per semplice stampaggio ** di difficile lavorazione 127