REALTÀ E MODELLI SCHEDA DI LAVORO

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1 LE TRSFRINI GEETRICHE RELTÀ E DELLI SCHED DI LVR Il televisore La forma rettangolare di uno schermo televisivo è differente a seconda del rapporto tra la larghezza e l altezza. I televisori di vecchio tipo, a tubo catodico, hanno un rapporto :, mentre generalmente quelli moderni hanno un rapporto 6 : 9. Considera uno schermo : di altezza h e uno schermo 6 : 9 di altezza. Posizionata l origine del sistema di riferimento cartesiano nell angolo in basso a sinistra dello schermo, scrivi l equazione della trasformazione che porta l immagine dal primo schermo al secondo. Di che tipo di trasformazione si tratta? Daniela non vuole buttare il suo vecchio televisore funzionante: come vedrà l immagine se la trasmissione è predisposta per uno schermo di nuovo tipo? Schematizziamo la situazione con una figura. C' ' C I due rettangoli rappresentano i due schermi televisivi. Il rettangolo C individua lo schermo di tipo :. I suoi lati sono pertanto in rapporto: =. Il rettangolo llc l individua lo schermo di tipo 6:9. I suoi lati sono pertanto in rapporto: l 6 =. l l 9 Inoltre: l l =. h Per trovare l equazione dell affinità che trasforma il rettangolo C nel rettangolo llc l osserviamo che: l= $ ll= $ $ = $ $ $ " l = $ $. 9 9 h 9 h h l l= $ " = $. h h L equazione dell affinità è quindi: l = $ $ [ h = $ \ h Si tratta di una dilatazione. ' Figura Copright 0 anichelli editore S.p.., ologna

2 LE TRSFRINI GEETRICHE L immagine è predisposta per uno schermo 6:9. Se sul televisore : l immagine occupa l intero schermo, allora risulterà «allungata» in verticale, ovvero subisce una contrazione orizzontale. Se invece l immagine viene rimpicciolita in modo da essere tutta contenuta nello schermo mantenendo le proporzioni originali, allora appariranno due bande nere sopra e sotto l immagine. Come si elaborano le immagini? Determina la trasformazione che riproduce nel rettangolo del quarto quadrante individuato da (; -) la porzione del frattale di andelbrot individuata dal rettangolo simile di vertici (0; 0) e (; 9,). Nei rettangoli indicati sono messe in evidenza le diagonali e perché saranno le trasformazioni della diagonale a determinare quelle di tutta la figura. pplichiamo alla figura una traslazione in modo che il punto si trasformi nel punto. La stessa traslazione è applicata a tutti i punti dell immagine. Poiché (0; 0) e (0; 0), la traslazione considerata è: l = -0 t :( = -0 I trasformati dei vertici della diagonale sono: ( 0; 0) 7 l / ( 0; 0), ( ; 9, ) 7 lb; - l. ' Figura Copright 0 anichelli editore S.p.., ologna

3 LE TRSFRINI GEETRICHE Determiniamo ora la rotazione di centro che porta la diagonale l, appartenente alla retta di equazione =- ( $ 0), sulla diagonale del rettangolo d arrivo, individuata dall equazione =- ( $ 0). ' '' Figura Figura Una rotazione mantiene le distanze, quindi il punto l deve portarsi in m tale che l= m. 7 l = + b- l =. Il punto mb; - l della figura ha coordinate tali che: m = + = " = " mc ; - m. 6 0 l = cos a-sen a Le equazioni di una rotazione di centro sono ( ; = sen a+ cos a in queste sostituiamo ( ; ) = b; - l 7 7 e ( l; ) = c ; - m: 0 7 = cos a+ sen a [ 7 - = sen a- cos a \ 0 da cui: cos a = e sen a =- " a o. Posto a = cos a e b = sen a, ormai noti, rimane individuata la rotazione: l = a-b r : ( = b+ a La trasformazione geometrica si conclude con un omotetia di centro di equazioni 7 7 mc ; m nel punto (; - ): 0 7 = k 7 : 0 ~ [ " k = k - = \ 0 l = k ( che manda il punto = k Copright 0 anichelli editore S.p.., ologna

4 LE TRSFRINI GEETRICHE La trasformazione geometrica cercata è data dalla composizione ~ % r% t delle tre trasformazioni sopra determinate. La porzione iniziale del frattale viene trasformata nel rettangolo di diagonale. l frattali Uno dei frattali più noti è il triangolo di Sierpinski, che si ottiene in questo modo: da un quadrato di lato unitario si elimina il quadratino in basso a destra di lato ½. La figura che rimane è costituita da tre quadrati di lato ½: da ciascuno di questi quadrati si toglie il quadratino in basso a destra di lato ¼ e così via. La figura mostra un triangolo di Sierpinski in cui abbiamo colorato tre zone: ciascuna parte è simile all intero frattale. Fissato il sistema di riferimento con origine nell angolo in basso a sinistra del quadrato in cui il frattale è costruito, determina le trasformazioni geometriche che, applicate al frattale, restituiscono uno dei sottofrattali indicati in figura (considera solo la forma, non i colori). Dobbiamo determinare le trasformazioni geometriche che applicate al frattale restituiscono la parte (), oppure () oppure (), tutte simili al frattale di partenza. Poiché ognuna delle tre parti è grande la metà della figura iniziale, occorrono omotetie di ragione da comporre con opportune traslazioni. Le trasformazioni sono: l = l = l = + T :, T :, T : [ [ [. = = + = + \ \ \ T è un omotetia di ragione. T è un omotetia di ragione composta con una traslazione secondo il vettore b 0; l. T è un omotetia di ragione composta con una traslazione secondo il vettore b ; l. La tenda da sole Sui balconi di alcuni appartamenti vengono installate delle tende da sole profonde, m; il perno attorno al quale la tenda ruota si trova a m dal piano del terrazzo. Supponendo che per coprire una parte di balcone la tenda, da chiusa, venga aperta di, determina: le equazioni della rotazione nel piano individuata dall apertura della tenda (considera il sistema di riferimento con l asse verticale passante per il perno e l asse orizzontale appoggiato al piano del terrazzo e orientato verso la strada); di quanto bisogna inclinare la tenda affinché la parte opposta al perno raggiunga il 60% dell altezza totale. Copright 0 anichelli editore S.p.., ologna

5 LE TRSFRINI GEETRICHE Schematizziamo la situazione in figura (osserviamo la tenda di profilo). ' C Figura La rotazione di centro C( C ; C ) e angolo a ha equazioni: l = ( - ) cos a-( - ) sen a+ rc ( ; a): ( = ( - ) sen a+ ( - ) cos a+ C C C C C C La rotazione in esame avviene con centro C(0; ) e angolo a = -. Ricordando che cos( - o ) = e o sen( - ) =-, l equazione diventa: l = + ( -) rc ( ; a): [ =- + ( - ) + \ Per raggiungere il 60% dell altezza totale (pari a +, =, m), l estremo libero della tenda (con =, ) deve portarsi in l (con =, ). Calcoliamo l angolo dall equazione generale di una rotazione: = ( - ) sen a+ ( - ) cos a+ " = ( - ) sen a+ ( - ) cos a+ " C C C l C C C ", = (0-0) sen a+ (, - ) cos a+ ", =, cos a+ " " cos a = " a =! arccosb l -! 86 o. Per come abbiamo posto il sistema di riferimento, dobbiamo considerare l angolo negativo: a o. Copright 0 anichelli editore S.p.., ologna