Le Isometrie e il piano cartesiano
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- Donato Bondi
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1 Le Isometrie e il piano cartesiano Generalità piano Gli enti geometrici del piano come punti, rette, angoli, poligoni,... possono essere spostati sul TRSLTI v RILTTI RISPTTO UN RTT r Francesca Incensi
2 RILTTI RISPTTO UN PUNTO O RUOTTI V Tali trasformazioni si chiamano ISOMTRI esse hanno la caratteristica di conservare le lunghezze dei segmenti e le ampiezze degli angoli. In altre parole, se si trasforma una figura geometrica T ottenendo la figura T, allora T e T sono congruenti. i conseguenza le isometrie conservano perimetro e area delle figure geometriche. Le isometrie sono anche dette movimenti rigidi del piano. Nei prossimi paragrafi vediamo le varie isometrie e come possono essere studiate sul piano cartesiano. Francesca Incensi
3 Traslazione isometria individuata da un vettore, cioè da un segmento orientato Nel piano cartesiano seguente è un vettore è un segmento orientato, cioè ha un punto iniziale (0; 0) e un punto finale (; ). Il vettore rappresenta uno spostamento di + unità in orizzontale e di + unità in verticale. 0 x ato il triangolo di vertici ( ; ), ( ; ), ( ; ) applichiamo al triangolo la traslazione di vettore, cioè vogliamo trascinare il triangolo di + unità orizzontali e di + unità verticale. 0 x Otteniamo in questo modo il triangolo i cui vertici hanno coordinate ( ; ), (0; ), (; ). ome si trovano queste coordinate? x punto arrivo = x punto di partenza + componente orizzontale del vettore punto arrivo = punto di partenza + componente verticale del vettore x = x + v x = + v Francesca Incensi
4 sempio x = x + = + = = + = + = x = x + = + = 0 = + = + = x = x + = + = = + = + = ( ; ), (0; ), (; ). Francesca Incensi
5 Simmetria ssiale isometria individuata da una retta r detta asse di simmetria La simmetria assiale rispetto alla retta r è quell isometria che dato un punto P gli fa corrispondere il punto P, specchiato di P rispetto all asse. istinguiamo diversi casi. I SO l asse di simmetria è l asse delle ascisse ato il triangolo di vertici ( ; ), (; ), (; ) applichiamo al triangolo la simmetria assiale di asse coincidente con l asse delle ascisse, cioè vogliamo ribaltare il triangolo rispetto all asse x. x 0 5 Otteniamo in questo modo il triangolo i cui vertici hanno coordinate ( ; ), (; ), (; ). ome si trovano queste coordinate? Osserviamo che le ascisse dei punti di partenza e dei punti trasformati sono uguali, mentre le ordinate sono opposte x punto arrivo = x punto di partenza punto arrivo = punto di partenza x = x = sempio x = x = = = () = x = x = = = () = ( ; ), (; ), Francesca Incensi 5
6 . II SO l asse di simmetria è l asse delle ordinate x = x = = = () = (; ).. II SO l asse di simmetria è l asse delle ordinate ato il triangolo di vertici (; ), (; 0), (; ) applichiamo al triangolo la simmetria assiale di asse coincidente con l asse delle ordinate, cioè vogliamo ribaltare il triangolo rispetto all asse. 0 x 5 Otteniamo in questo modo il triangolo i cui vertici hanno coordinate ( ; ), (; 0), ( ; ). ome si trovano queste coordinate? Osserviamo che le ascisse dei punti di partenza e dei punti trasformati sono opposte, mentre le ordinate sono uguali x punto arrivo = x punto di partenza punto arrivo = punto di partenza x = x = sempio x = x = () = = = x = x = () = = = 0 x = x = () = = = ( ; ), (; 0), ( ; ).. III SO l asse di simmetria è una retta qualsiasi sistono le formule per determinare le coordinate dei punti trasformati, ma saranno oggetto di studio alla scuola superiore. Francesca Incensi 6
7 Simmetria entrale isometria individuata da un punto O detto centro di simmetria La simmetria centrale rispetto al punto O è quell isometria che dato un punto P gli fa corrispondere il punto P, ribaltato di P rispetto al centro di simmetria. istinguiamo diversi casi. I SO il centro di simmetria è l origine ato il triangolo di vertici (; ), (; ), (; ) applichiamo al triangolo la simmetria centro di centro l origine O(0; 0), cioè vogliamo ribaltare il triangolo rispetto all origine O. O 0 x 5 Otteniamo in questo modo il triangolo i cui vertici hanno coordinate (; ), ( ; ), ( ; ). ome si trovano queste coordinate? Osserviamo che entrambe le coordinate dei punti di partenza sono opposte a quelle dei punti trasformati x punto arrivo = x punto di partenza punto arrivo = punto di partenza sempio x = x = () = = = () = x = x = () = = = () = x = x = () = = = () = x = x = (; ), ( ; ), ( ; ). Francesca Incensi 7
8 . II SO il centro di simmetria è un punto qualsiasi O(x 0 ; 0 ). II SO il centro di simmetria è un punto qualsiasi O(x 0 ; 0 ) ato il triangolo di vertici (; ), (5; ), (; ) applichiamo al triangolo la simmetria centro di centro il punto O(; ), cioè vogliamo ribaltare il triangolo rispetto al punto O. O x 0 5 Otteniamo in questo modo il triangolo i cui vertici hanno coordinate (0; ), ( ; ), (; ). ome si trovano queste coordinate? x punto arrivo = x centro x punto di partenza punto arrivo = centro punto di partenza x = x 0 x = 0 sempio x = x 0 x = = 0 = 0 = = x = x 0 x = 5 = = 0 = = x = x 0 x = = = 0 = = (0; ), ( ; ), (; ). 5 Rotazione isometria individuata da un punto O detto centro e da un angolo α sistono le formule per determinare le coordinate dei punti trasformati, ma saranno oggetto di studio alla scuola superiore. Francesca Incensi 8
9 6 sercizi. ato il triangolo di vertici (; ), (5; ), (; ), stabilire di che triangolo si tratta. alcolare perimetro e area del triangolo. ato il vettore OP con O(0; 0), P ( ; ), determinare le coordinate del triangolo trasformato di secondo la traslazione di vettore OP.. ato il quadrilatero di vertici ( ; ), (; ), (5; ), (; 5) determinare la natura di tale quadrilatero e calcolarne perimetro e area. eterminare le coordinate trasformato di secondo la simmetria assiale di asse l asse delle ascisse.. ati i punti ( ; ), (; 6), determinare le coordinate dei trasformati e secondo la simmetria assiale di asse l asse. isegnare il quadrilatero di che quadrilatero si tratta? alcolarne perimetro e area.. ato il triangolo di vertici (; ), (5; ), (; 6), stabilire di che triangolo si tratta. alcolare perimetro e area del triangolo. imostrare che il punto medio del lato è equidistante dai vertici del triangolo. eterminare le coordinate trasformato di secondo la simmetria centrale di centro l origine degli assi cartesiani. 5. ato il triangolo di vertici (; ), (7; ), (; ) verificare che è un triangolo rettangolo, retto in. alcolare perimetro e area del triangolo. ato il vettore OP con O(0; 0), P ( ; 5), determinare le coordinate del triangolo trasformato di secondo la traslazione di vettore OP. 6. ato il quadrilatero di vertici ( ; ), (; ), (; ), (; ) determinare la natura di tale quadrilatero e calcolarne perimetro e area. eterminare le coordinate trasformato di secondo la simmetria centrale di centro il punto O(; ). Francesca Incensi 9
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