LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

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1 pag. 1 LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE Trasformazione geometrica Movimento rigido Traslazione Simmetria Costruzione di due punti simmetrici rispetto ad una retta Poligoni aventi assi di simmetria Rotazione Omotetia Similitudine 1. Trasformazione geometrica Una trasformazione geometrica (t) tra i punti di un piano è una funzione che fa corrispondere ai punti del piano altri punti del piano stesso e viceversa (trasformazione biunivoca). Dati due punti P e P' si può dire che: P' = t(p) è detto trasformato o immagine di P. P è detto antitrasformato o controimmagine di P'. Si dice trasformazione identica o identità la trasformazione che associa ad ogni punto P il punto stesso: t(p) = P. In una trasformazione le caratteristiche che non cambiano si chiamano invarianti; le caratteristiche che cambiano si chiamano varianti; gli elementi che hanno per trasformati se stessi si chiamano elementi uniti. Le principali caratteristiche che una trasformazione può lasciare invariate sono: la lunghezza dei segmenti l ampiezza degli angoli il parallelismo le direzioni il rapporto tra i segmenti l orientamento dei punti del piano

2 pag. 2 ESEMPIO 1 A' = t(a) A' corrisponde ad A B' = t(b) B' corrisponde a B C'= t(c) C' corrisponde a C Le invarianti di questa trasformazioni sono: la lunghezza dei segmenti (AB=A'B'; BC=B'C') l ampiezza degli angoli il rapporto tra i segmenti (BC:AB=B'C':A'B') l orientamento dei punti del piano Le direzioni ESEMPIO 2 A' = t(a) A' corrisponde ad A B' = t(b) B' corrisponde a B C'= t(c) C' corrisponde a C Le invarianti di questa trasformazioni sono: l ampiezza degli angoli il rapporto tra i segmenti (BC:AB=B'C':A'B') l orientamento dei punti del piano Le direzioni Le varianti di questa trasformazioni sono: La lunghezza dei segmenti

3 pag Movimento rigido Un movimento rigido è lo spostamento di una figura su un piano senza che essa subisca deformazioni. I movimenti rigidi sono detti anche isometrie (dal greco: figure uguali). L' Isometria è una trasformazione geometrica che conserva le distanze fra i punti. Sono isometrie le seguenti trasformazioni geometriche: simmetria traslazione rotazione ribaltamento SINTESI La simmetria, la traslazione, la rotazione e il ribaltamento sono movimenti rigidi sul piano o isometrie che a loro volta sono trasformazioni geometriche

4 pag La traslazione La traslazione è il movimento rigido di una figura su un piano lungo una direzione e secondo un verso assegnato La traslazione è caratterizzata da tre elementi: 1. direzione, la retta passante per i punti corrispondenti 2. verso o senso 3. intensità o modulo, rappresentata dalla misura della lunghezza dello spostamento I tre elementi vengono rappresentati insieme con un segmento orientato detto vettore (si rappresenta con una v e una freccia sopra): Il vettore AB indica che il verso va da A a B; il vettore BA indica il contrario. Fraseologia Se due figure F e F si corrispondono in una traslazione di vettore AB si dice che F è la trasformata di F nella traslazione di vettore AB. PROPRIETA DELLA TRASLAZIONE Una traslazione conserva 1. l allineamento dei punti, il parallellismo, le lunghezze dei segmenti, le ampiezze degli angoli,le aree, l orientamento dei punti del piano

5 pag La rotazione La rotazione è il movimento rigido di una figura su un piano mediante rotazione attorno ad un punto, detto centro di rotazione. La traslazione è caratterizzata da due elementi: 1. verso o senso, orario o antiorario 2. intensità o modulo, rappresentata dall ampiezza dell angolo di rotazione PROPRIETA Una rotazione conserva 1. il parallellismo 2. le lunghezze dei segmenti 3. le ampiezze degli angoli 4. le aree Nella figura è rappresentata una rotazione attorno al punto O esterno alla figura di verso antiorario e angolo 80 Nella figura a fianco è rappresentata una rotazione attorno al punto O interno alla figura, di verso antiorario e angolo 90

6 pag. 6 Come individuare l angolo di rotazione se conosciamo il centro O Per individuare l angolo e il verso di rotazione in due figure che si corrispondono in una rotazione è sufficiente unire due punti corrispondenti (ad esempio B e B ) con il centro O misurare l angolo con il goniometro. Il verso è da B a B. Come individuare il centro di rotazione, l angolo di rotazione e il verso Date le due figure ABCD e A'B'C'D': 1. Unisci almeno tre coppie di vertici corrispondenti (BB, CC, DD ) 2. Traccia gli assi dei tre segmenti ottenuti (BB', CC', DD') 3. Se i tre assi si incontrano nello stesso punto, il punto di incontro è il centro di rotazione. 4. Unisci il di incontro degli assi con due vertici corrispondenti. L angolo compreso fra i due segmenti è l angolo di rotazione 5. Costruisci un arco di centro O e raggio A. Il verso di rotazione va da

7 5. La simmetria assiale LEZIONI GEOMETRIA pag. 7 Punti simmetrici Due punti A e A' sono simmetrici rispetto ad una retta s quando hanno la stessa distanza dalla retta s e la retta s è asse di simmetria del segmento AA'. La retta s è detta asse di simmetria. Poligoni simmetrici Due poligoni sono simmetrici rispetto a una retta s se i vertici corrispondenti sono simmetrici rispetto a s, cioè ogni coppia di punti corrispondenti sono alla stessa distanza dalla retta. Due figure simmetriche sono sempre congruenti, ma opposte. Invarianti e varianti di una simmetria assiale Invarianti 1. la lunghezza dei lati corrispondenti 2. l'ampiezza degli angoli corrispondenti Varianti 1. l'orientamento della figura F rispetto alla figura F'. Pertanto si dice che: Due figure corrispondenti in una simmetria assiale sono inversamente congruenti, cioè opposte

8 pag. 8 Altri esempi di simmetria assiale L'asse di simmetria attraversa il poligono Osserva bene la disposizione dei punti rispetto alla retta. il simmetrico di B è a sinistra della retta il simmetrico di A è a destra Il quadrato è simmetrico di se stesso rispetto la retta che lo attraversa nei punti medi dei lati. La retta è detta asse di simmetria del quadrato Analizza tutti i quadrilateri studiati. Individua in essi tutti gli assi di simmetria Come costruire due punti simmetrici rispetto ad una retta Per costruire due punti simmetrici rispetto a una retta r si procede con il compasso nel seguente modo: 1. Si punta il compasso sul punto A in modo da tagliare la retta r in due punti C e D (fig. 1); 2. Con la stessa apertura si punta su C e poi su D in modo da tracciare due archi (fig. 2) 3. Il punto di intersezione dei due archi, detto A', è simmetrico al punto A rispetto la retta r 4. Tracciare gli archi e il segmento AA' con la matita Tracciare la retta r e i punti A e A' con una penna

9 Figure dotate di assi di simmetria LEZIONI GEOMETRIA pag. 9 Una figura è dotata di assi di si mmetria quando esiste una retta tale che, per ogni punto della figura, anche il suo simmetrico appartiene alla figura 1. Il quadrato ha 4 assi di simmetria 2. Il triangolo equilatero ha tre assi di simmetria Esercizi Individua tutti i quadrilateri e triangoli che hanno uno o più assi di simmetria. Disegna i poligoni e gli assi di simmetria.

10 pag Omotetia L omotetia è una trasformazione non isometrica che comporta una dilatazione secondo una costante K detta costante di omotetia e un punto O detto centro di omotetia. K = OA' OA PROPRIETA L omotetia conserva 1. il parallellismo 2. le ampiezze degli angoli K=2 Fig. 1 A B :AB=B C :BC=C D :CD=A D :AD=2 OA =2OA OB =2OB OC =2OC OD =2OD Le dimensioni della figura ABCD sono state ingrandite due volte. Cioè sono direttamente proporzionali.

11 pag. 11 K= 1 2 Le dimensioni della figura A B C D sono la metà di quelle di ABCD. Fig. 2 Nell immagine a sinistra il centro di omotetia è interno ad ABCD Fig. 3 Centro di omotetia sul vertice C fig. 4

12 pag. 12 Omotetia inversa. A B C D è dalla parte opposta rispetto O. Una simmetria centrale è una omotetia inversa di K=1 fig. 5 Osserva questo esempio di omotetia inversa di cui O è interno ad ABCD. Sembra uguale alla fig. 3. Quale differenza noti? Fig. 6