Questo è un esempio di relazione di laboratorio

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1 Questo è un esempio di relazione di laboratorio RELATORE: prof. Paolo Gini STUDIO DELLA LEGGE GENERALE DELLA DINAMICA Obiettivi L obiettivo di questo esperimento è la verifica della validità della Legge Generale della Dinamica che mette in relazione l accelerazione di un corpo con la forza ad esso applicata. L esperienza sarà suddivisa in due parti: la prima con l obiettivo di verificare la proporzionalità diretta tra forza e accelerazione (a parità di massa), la seconda, di verificare che tra massa e accelerazione esiste un legame di proporzionalità inversa. 1) Introduzione Come è ben noto la Legge Generale della Dinamica (nota anche come Secondo Principio) esprime la relazione tra forza ( F r ) che agisce su di un corpo, massa (m) del corpo, e accelerazione ( a r ) che il corpo acquista per effetto della forza. Questa relazione è vettoriale, ciò significa che se su di un corpo agisce una forza F r (non equilibrata) il corpo subirà un accelerazione a r con la stessa direzione e lo stesso verso di F r e con modulo proporzionale al modulo di F r (la costante di proporzionalità coincide con la massa inerziale). Per verificare la legge è necessario verificare che, con massa costante, l accelerazione è proporzionale alla forza applicata (1^ parte) e che, con forza costante, l accelerazione è inversamente proporzionale alla massa. La verifica viene effettuata utilizzando una rotaia a cuscino d aria sulla quale si muove un cavaliere che, partendo da fermo, accelera trainato da un pesetto mediante un filo che scorre in una carrucola. La rotaia a cuscino d aria è costituita da un tubo metallico a profilo quadrato con fori praticati a intervalli regolari su due superfici; un compressore immette aria ad elevata pressione nel tubo, l aria fuoriesce dai fori creando un cuscino sul quale il cavaliere può muoversi con attrito ridotto (grazie al cuscino d aria il cavaliere non striscia sulla superficie della rotaia ma scivola sullo strato d aria che si forma tra la sua superficie inferiore e la rotaia, in tal modo non si ha a che fare con attrito radente ma con l attrito viscoso che, per le basse velocità raggiunte, è meno intenso). Per l esperimento è necessario conoscere con buona precisione la lunghezza degli spazi percorsi dal cavaliere e i tempi impiegati per percorrerli; la misura dei tempi è effettuata mediante un cronometro digitale (al centesimo di secondo) collegato a due fotocellule (START e STOP), il

2 cronometro viene azionato dal passaggio davanti alla fotocellula START di una bandiera rigida montata sul cavaliere, il passaggio davanti alla fotocellula STOP arresta il cronometro. La distanza fra le fotocellule, misurata mediante un asta millimetrata, costituisce lo spazio percorso dal cavaliere. Il cavaliere viene trainato da una massa ad esso collegata mediante un filo (supposto ideale) che scorre in una carrucola; il cavaliere è inizialmente tenuto in posizione da un elettromagnete. ) Misure e dati sperimentali Spiegare come sono eseguite le misure e perché si opera in quel particolare modo; è necessario indicare gli accorgimenti utilizzati per migliorare la precisione e l affidabilità delle misure. È opportuno giustificare il numero di misure effettuate. L esperimento è suddiviso in due parti, la prima ha come scopo la verifica della proporzionalità diretta tra forza applicata e accelerazione, la seconda la verifica della proporzionalità inversa fra massa e accelerazione. 1^ Parte In questa parte dell esperimento si deve mantenere costante la massa che si muove, variare la forza e misurare l accelerazione che si ottiene. Per poter variare la forza trainante mantenendo costante la massa si procede caricando il cavaliere, nella prima prova, con alcune masse aggiuntive; nelle prove successive queste masse vengono spostate una alla volta dal cavaliere al traino, in questo modo la massa complessiva in movimento non cambia ma in ogni prova la parte di massa che funge da traino varia in modo noto. Per misurare l accelerazione è necessario fare alcune ipotesi sul moto: si deve supporre che il sistema (sottoposto ad una forza che non cambia nel tempo) compia un moto rettilineo uniformemente accelerato; con questa ipotesi la legge per calcolare lo spostamento è: 1 (1) s = v 0 t + at Se si fa in modo che il sistema parta da fermo (v0 = 0), che il tempo sia misurato dall istante in cui il sistema inizia a muoversi e che lo spazio sia misurato dal punto in cui il sistema parte, la precedente equazione diventa: da cui si ottiene: () s = 1 at s (3) a = t Questa relazione permette facilmente di calcolare l accelerazione misurando lo spazio percorso e il tempo impiegato. Per poter rispettare le ipotesi fatte è necessario posizionare molto accuratamente la fotocellula START, in modo che sia azionata immediatamente dopo la partenza del cavaliere. Si deve comunque osservare che, in realtà, la fotocellula non si trova esattamente in corrispondenza del punto in cui il cavaliere ha velocità nulla, ciò fa si che in realtà v 0 sia diverso da zero (anche se è molto piccolo) e quindi l accelerazione calcolata utilizzando la formula (3) sia sovrastimata (più grande di quella reale). L esperimento è stato effettuato utilizzando due diversi spostamenti ( S 1 =8,0±0,1 cm; S =63,0±0,1 cm), allo scopo di verificare se vi sia una dipendenza dalla distanza percorsa. Per ciascuna lunghezza sono state effettuate 5 prove con forze diverse, ogni prova è stata ripetuta tre volte per migliorare la precisione sulla misura del tempo.

3 L incertezza sull accelerazione è stata valutata utilizzando la formula per la propagazione degli errori nel prodotto: s t (4) a = a + s t La forza è stata calcolata con la relazione del suo valore. I dati ottenuti sono riportati nelle tabella 1 e e nel grafico 1. F = mg e la sua incertezza è stata stimata pari all 1% Tabella 1 massa sistema = 315 ± 3 g Spostamento = 0,80 ± 0,001 m F (N) F (N) t (s) t medio (s) t (s) a (m/s ) a (m/s ) 0,098 0,001 1,34 1,33 1,33 0,315 0,006 0,196 0,94 0,00 0,003 1,33 0,78 0,77 0,78 0,6 0,93 0,0 0,03 0,39 0,491 0,004 0,005 0,78 1,5 1,56 0,04 0,06 Tabella massa sistema = 315 ± 3 g Spostamento = 0,630 ± 0,001 m F (N) F (N) t (s) t medio (s) t (s) a (m/s ) a (m/s ) 0,098 0,001,01,01,01 0,31 0,004 0,196 0,00,01 1,43 1,4 1,4 0,6 0,94 0,003 1,4 1,17 1,17 1,17 0,93 0,0 0,39 0,491 0,004 0,005 1,16 1,4 1,5 0,03 0,04

4 Massa costante 1,8 1,6 1,4 1, a 1 0,8 L = 0,8 L = 0,63 0,6 0,4 0, 0 0,000 0,100 0,00 0,300 0,400 0,500 0 F (N) Figura 1 ^ Parte In questa parte dell esperimento si deve mantenere costante la forza, variare la massa e misurare l accelerazione che si ottiene. Per quanto riguarda la misura dell accelerazione valgono le considerazioni fatte nel punto precedente; la massa viene variata aggiungendo masse al cavaliere, la forza di traino viene sempre fornita da una piccola massa (m = 0 kg)che non viene modificata durante le misure. In questo caso, l esperimento è stato effettuato utilizzando solo lo spostamento S = 63,0±0,1 cm, e sono state eseguite 4 prove con masse diverse, ogni prova è stata ripetuta tre volte per migliorare la precisione sulla misura del tempo. Si deve osservare che nell ultima prova (eseguita utilizzando due cavalieri uniti per raddoppiare la massa) la forza fornita dal porta-masse non era sufficiente per mettere in moto il sistema, di conseguenza si è dovuto provvedere a modificare la massa di traino, di conseguenza la quarta prova non è stata eseguita mantenendo la forza costante e quindi i suoi risultati non sono comparabili con quelli delle prove precedenti, quindi nelle tabelle sono riportati solo i dati relativi alle prime tre prove. I dati ottenuti sono riportati nella tabella 3 nella figura. Tabella 3 Traino: massa (10 ± 1%) g Spazio percorso: (0,630 ± 0,001) m M (g) M (g) t (s) t medio (s) t (s) a (m/s ) a (m/s ) 15 1,68 1,68 1,68 0,446 0, ,68,38,38,38 0,3 0, ,37,86,85,85 0,155 0,001,84

5 Figura Forza costante 0,500 0,450 0,400 0,350 0,300 a 0,50 Serie1 0,00 0,150 0,100 0,050 0,000 0,000 0,100 0,00 0,300 0,400 0, ,700 m (kg) 3) Analisi dei dati Utilizzo delle tecniche di interpolazione (retta di massima e minima pendenza, metodo dei minimi quadrati, ) per determinare le eventuali relazioni matematiche fra le grandezze fisiche o per verificare le leggi/ipotesi. a) Analisi dati prima parte Dal grafico 1 si può osservare come i dati sembrino allinearsi molto bene lungo una retta passante per l origine, ciò confermerebbe l ipotesi che tra la forza e l accelerazione sia presente una relazione di proporzionalità diretta; l ipotesi può essere verificata in due modi: Analizzando se il rapporto fra forza e accelerazione è costante entro le incertezze (mediante una tabella); Eseguendo una interpolazione lineare. Primo metodo: analisi del rapporto tra forza e accelerazione Riportiamo in una tabella (Tabella 4) i valori del rapporto F/m con la relativa incertezza. L = 0,80 m F (N) F (N) a (m/s ) a (m/s ) F/a (F/a) 0,098 0,001 0,3 0,006 0,311 0,009 0,196 0,00 0,6 0,0 0,3 0,94 0,003 0,93 0,03 0,3 0,39 0,004 1,5 0,04 0,31 0,491 0,005 1,56 0,06 0,31 0,0 L = 0,630 m F (N) F (N) a (m/s ) a (m/s ) F/a (F/a) 0,098 0,001 0,31 0,004 0,31 0,196 0,00 0,6 0,3 0,94 0,003 0,93 0,0 0,3 0,39 0,004 1,4 0,03 0,3 0,491 0,005 1,5 0,04 0,3 Tabella 4

6 Analizzando la tabella si osserva che, sia per la lunghezza di 8,0 cm che per quella di 63,0 cm, il rapporto fra forza e massa rimane costante (e pari a circa 0,315 kg) entro le incertezze sperimentali, ciò consente di affermare che: La forza è direttamente proporzionale all accelerazione del corpo; Il rapporto di proporzionalità non sembra dipendere dalla lunghezza del percorso in modo molto significativo (si ottiene sostanzialmente lo stesso rapporto con entrambe le lunghezze, anche se con la lunghezza maggiore ci sono indicazioni del fatto che tale rapporto sembra essere leggermente maggiore); Il rapporto fra forza e accelerazione coincide, entro le incertezze sperimentali, con la massa del sistema. Secondo metodo: interpolazione lineare È necessario conoscere le tecniche statistiche di interpolazione lineare (vedi dispense teoriche). Per eseguire l interpolazione lineare dei dati si può utilizzare direttamente il foglio di calcolo Excel. Per utilizzare l interpolazione (o Regressione) lineare in excel si procede nel modo seguente: A) selezionare un intervallo di tre celle in colonna B) selezionare dal menù Inserisci formula REG.LIN C) Compare una finestra di dialogo; nella casella y_nota inserire l intervallo dei valori x da usare, in questo esempio i valori di aceelerazione D) Nella casella x_nota inserire l intervallo dei valori y (la forza) E) Nella quarta casella scrivere VERO F) Concludere premendo contemporaneamente i tasti CTRL+MAIUSC+INVIO (in questo modo la formula è inserita come matrice Nella prima cella comparirà il coefficiente angolare della retta Nella seconda compare q Nella terza compare il coefficiente di correlazione R: esso indica se i dati approssimano bene una retta (deve essere molto vicino a ± 1) Eseguiamo l interpolazione lineare dei dati, cioè cerchiamo con metodi di calcolo statistico la retta che meglio approssima i dati sperimentali. Effettuiamo i calcoli solo con la distanza d = 0,80 m, considerando come variabile x l accelerazione e come y la forza: F (N) F (N) a (m/s ) a (m/s ) 0,098 0,001 0,3 0,006 m = 0,314 0,196 0,00 0,6 0,0 q = 0,0014 0,94 0,003 0,93 0,03 R = 0,9999 0,39 0,004 1,5 0,04 0,491 0,005 1,56 0,06 Dall elaborazione risulta un coefficiente di correlazione R = 0,9999, che indica che i dati approssimano in modo ottimo una retta con coefficiente angolare m = 0,314 (compatibile con la massa del sistema) e intercetta q = 0,0014 (compatibile con 0). Si può concludere che la forza e l accelerazione sono direttamente proporzionali e che la costante di proporzionalità rappresenta la massa del sistema. b) Analisi dati seconda parte Dal grafico si può osservare come i dati sembrino disporsi lungo un ramo di iperbole, ciò permette di avanzare l ipotesi che fra massa e accelerazione esista una relazione di proporzionalità inversa. Per verificare l esattezza della nostra ipotesi calcoleremo il prodotto della massa con l accelerazione e controlleremo se il risultato è costante entro le incertezze, in caso affermativo confronteremo il risultato con la forza applicata.

7 Tabella 5 M (kg) M (kg) a (m/s ) a (m/s ) M*a (N) M*a (N) F (N) 0,15 0,00 0,446 0,006 0,096 0,00 0,098 0,445 0,004 0,3 0,00 0,099 0,00 0,098 0,659 0,007 0,155 0,001 0,10 0,00 0,098 La tabella mostra che il prodotto della massa con l accelerazione non è esattamente costante entro le incertezze sperimentali, anche se i valori ottenuti si discostano di poco dal risultato atteso. 4) Conclusioni I risultati della prima parte dell esperienza sono in buon accordo con l ipotesi che, mantenendo la massa costante, la forza si direttamente proporzionale all accelerazione; entrambe le prove, eseguite utilizzando spostamenti diversi, forniscono un rapporto F/a costante entro le incertezze, inoltre il valore medio di tale rapporto, ricavato dal complesso delle due prove, vale ( F ) = ( 0,316 ± 0), un valore in ottimo accordo con il valore della massa del sistema a media (m = 0,315±0,003 kg). Si può ragionevolmente affermare che la prima parte dell esperienza conferma l ipotesi F = Ma con grande precisione (vista anche l entità molto ridotta delle incertezze percentuali e lo scarto molto piccolo fra i risultati delle varie misure). I risultati della seconda parte dell esperienza sono meno soddisfacenti, dato che non è stata ottenuta la prevista costanza del prodotto massa accelerazione. In particolare è necessario trovare una spiegazione per l aumento del prodotto all aumentare della massa; questo tipo di risultato no è spiegabile con l azione delle forze d attrito, dato che esse dovrebbero aumentare al crescere della massa del cavaliere (il cuscino d aria si schiaccia ) e quindi dovrebbero produrre una accelerazione minore (a parità di forza trainante, aumentando l attrito, l accelerazione deve diminuire) e quindi un prodotto massa accelerazione che decresce. Una possibile spiegazione del fenomeno potrebbe essere cercata nel fatto che, in realtà, all inizio dello spostamento il cavaliere ha una piccola velocità, quindi l accelerazione calcolata da noi è sovrastimata; l effetto dovrebbe essere maggiore per piccole masse, cioè quando, avendo un accelerazione maggiore, la velocità v 0 è più grande.