Scambio termico per convezione

Transcript

1 Scambio termico per convezione La convezione forzata

2 Equazione di Newton T s >T v T T s * q Equazione di Newton q c q ( T ) = h A T * c s ( T ) = h T s Flusso Flusso specifico

3 v T h = T s >T q * f T s Fenomenologia Il meccanismo di scambio termico convettivo risulta, di fatto, generato da due meccanismi che operano insieme: Un primo apporto è legato alla conduzione; Un secondo apporto è legato al moto del fluido. ( c, λ,, geom., v, ρ, μ, T p f f f f ) q * c ( T ) = h T s q * c = q * k + trasporto di massa

4 Moto del fluido: lastra piana x x c v v(x,y) zona turbolenta buffer layer sottostrato laminare strato limite laminare regione di transizione strato limite turbolento Valutiamo più nel dettaglio questa zona

5 Moto del fluido: lastra piana Velocità di fluido indisturbato y v v Caratteristiche strato limite laminare δ(x) x Spessore strato laminare v(x,y) Bordo d attacco Profili di velocità nello strato laminare a diverse distanze dal bordo d attacco Profilo di velocità dello strato limite oltre il quale il fluido assume la velocità v

6 Moto del fluido: lastra piana x c zona turbolenta x v v(x,y) buffer layer sottostrato laminare strato limite laminare regione di transizione strato limite turbolento Chi determina la transizione dei vari strati? La transizione è strettamente collegata all effetto di due diverse tipologie di forze: le forze d inerzia; le forze viscose. A seconda che predomini l una sull altra è possibile avere un moto laminare o un moto turbolento.

7 Moto del fluido: lastra piana x c zona turbolenta x v v(x,y) buffer layer sottostrato laminare strato limite laminare regione di transizione strato limite turbolento Sembra allora conveniente fare un confronto tra queste due forze in gioco, in particolare andremo a definire il loro rapporto: F inerzia F viscose Tendono ad accelerare il fluido Tendono a rallentare il fluido

8 Moto del fluido: lastra piana x c zona turbolenta x v v(x,y) buffer layer sottostrato laminare strato limite laminare regione di transizione strato limite turbolento Lunghezza della lastra [m] F F inerzia viscose v Viscosità cinematica [m 2 /s] L ν ν = μ ρ Proprietà del mezzo che lega linearmente sforzo tangenziale e gradiente di velocità Viscosità dinamica [Pa s] dv τ = μ dy y= 0

9 Moto del fluido: lastra piana x c zona turbolenta x v v(x,y) buffer layer sottostrato laminare strato limite laminare regione di transizione strato limite turbolento v ν = L ν μ ρ v L μ ρ Per come abbiamo definito questo numero (rapporto tra due forze), esso è una quantità adimensionale che chiamiamo: NUMERO DI REYNOLDS (Re)

10 Moto del fluido: lastra piana x c zona turbolenta x v v(x,y) buffer layer sottostrato laminare strato limite laminare regione di transizione strato limite turbolento Re v = L μ ρ Esiste, per ogni geometria, un Reynolds particolare, detto Reynolds critico, oltre il quale il moto è turbolento; mentre per valori inferiori ad esso il moto è laminare.

11 Moto del fluido: lastra piana x c zona turbolenta x v v(x,y) buffer layer sottostrato laminare strato limite laminare regione di transizione strato limite turbolento Nel caso della lastra piana la lunghezza per la quale avremo il Reynolds critico viene definita lunghezza critica (x c ). Re c Noto questo valore insieme alle altre caratteristiche fisiche del fluido in moto sopra la lastra si può calcolare la lunghezza caratteristica.

12 Moto del fluido: lastra piana x c zona turbolenta x v v(x,y) buffer layer sottostrato laminare strato limite laminare regione di transizione strato limite turbolento Se la lunghezza della lastra è tale che il Re c raggiunge e supera significativamente il valore limite di 3, si avrà la transizione a moto turbolento Se la lastra non è sufficientemente lunga da raggiungere il valore critico di Re si avrà solamente il regime laminare, non seguito da regime turbolento

13 Moto del fluido: lastra piana v(x,y) T (x,y) v v y T T δ(x) δ t (x) x T s Analogamente allo strato limite della velocità è definibile lo STRATO LIMITE TERMICO. Si vuole identificare la zona del fluido che risente del fatto che la lastra è a una temperatura diversa da quella del fluido indisturbato. Al di fuori dello strato limite termico il flusso è praticamente isotermo. All interno dello strato limite termico il profilo della temperatura ha gradienti significativi.

14 Natura del fluido La tipologia di fluido che, interagendo con il solido, determina la convezione, è indicato mediante un determinato paramento che ne mette in evidenza le caratteristiche termofisiche. Pr = NUMERO DI PRANDTL diffusività molecolare della quantità di diffusività molecolare termica moto Pr = μ ρ ρ c λ p Pr = μ c λ p ν Viscosità cinematica Inverso della diffusività termica Pr = a

15 Natura del fluido Pr = ν a Pr = diffusività molecolare della quantità di diffusività molecolare termica moto Pr = ν a La viscosità cinematica esprime come si diffonde a livello molecolare la quantità di moto. a è la caratteristica del fluido a far diffondere la potenza termica per conduzione all interno del sistema. GAS Pr 1 Il trasporto di energia termica e di quantità di moto sono confrontabili LIQUIDI METALLI LIQUIDI Pr >> 1 Pr << 1 Il trasporto di quantità di moto è maggiore di quello di energia termica. Il trasporto di energia termica è maggiore di quello di quantità di moto

16 Scambio termico x c zona turbolenta x v v(x,y) buffer layer sottostrato laminare strato limite laminare regione di transizione strato limite turbolento Le considerazioni che faremo riguardo allo scambio termico vengono effettuate prendendo in esame questa zona di fluido, nella quale è possibile fare la seguente posizione: q = * * k q c Tale posizione è valida se consideriamo il sistema al caso stazionario e se prendiamo in esame la zona evidenziata per la quale vale la relazione v = 0 m/s per il fluido a contatto con la parete.

17 H y q k * q c * T s Scambio termico Primo strato di fluido in moto Fluido fermo a contatto con la parete x q q * k * c = λ f dt dy ( T ) = h T s y= 0 h = T s λ h H λ f f T = dt dy T s y=0 H T dt dy y=0

18 Il Numero di Nusselt h H = H dt dy Nu = λ f Ts T T y=0 s T y= 0 H dt dy Ponendo quindi: T * = * y = T( y) T T T y H s Nu = dt dy * * y * = 0

19 Il Numero di Nusselt Il numero di Nusselt può essere ulteriormente sviluppato ed approfondito, evidenziando la seguente uguaglianza: Nu = q q * c * k Nu h = λ ( T ) s T ( T T ) s H Nu = h H λ f 1

20 Determinazione del numero di Nusselt Nu = T s H T dt dy y=0 Tengo fisse le seguenti grandezze: V ; L (lunghezza della lastra); Pr. Tutto ciò può essere riassunto dicendo che rimangono costanti: il numero di Reynolds; il numero di Prandtl

21 Determinazione del numero di Nusselt V y H x 1 x Sperimentalmente fissato un x 1 lungo l asse delle ascisse sulla lastra, vado a misurare, medianti opportuni dispositivi (termocoppie, tecniche interferometriche non invasive ), le temperature nei punti evidenziati. Avrò quindi, a partire dalla temperatura della piastra che è nota, una serie di temperature che decresceranno a mano a mano che mi allontano dalla parete fino a raggiungere il valore della temperatura del fluido indisturbato.

22 Determinazione del numero di Nusselt L analisi così condotta mi permette di fare un grafico della distribuzione di temperatura nello strato di fluido di altezza H. T T s T=f(y) T Con i punti misurati sperimentalmente vado a costruire una curva interpolante che chiamo T(y). Facendo quindi la derivata in y=0 della funzione T(y), riesco a calcolarmi il valore del Nusselt locale, ossia che vale per x=x 1 y

23 Determinazione del numero di Nusselt V y H x 1 x 2 x 3 x Ripetendo quindi lo stesso procedimento per altri valori della x come mostrato in figura riesco a calcolarmi tanti numeri di Nusselt locali distribuiti lungo tutta la lunghezza L della lastra piana. A questo punto passo alla costruzione di un grafico in cui: lungo l asse delle ascissa ho la coordinata x che mi individua la posizione lungo la lastra piana; lungo l asse delle ordinate ho i numeri di Nusselt locali calcolati alle rispettive x.

24 Determinazione del numero di Nusselt Nu x Nu x =f(x) x 1 x 2 x 3 x n =L x Nu = 1 L L 0 Nu( x) dx

25 Determinazione del numero di Nusselt Nu = 1 L L 0 Nu( x) dx Così facendo ho calcolato il Nusselt medio lungo la lastra piana per un determinato numero di Reynolds ed un determinato numero di Prandtl. Posso ora procedere variando il numero di Reynolds e riconducendo l analisi sperimentale appena descritta. Questo potrò costruire un nuovo grafico con, in ascissa in numeri di Reynolds testati, ed in ordinata, i numeri di Nusselt medi calcolati per i rispettivi Re.

26 Nu Determinazione del numero di Nusselt Re 1 Re 2 Re 3 Re n Re La relazione ottenuta sarà del tipo: Nu = a Re b valida per un determinato numero di Prandtl, ossia per un determinato fluido.

27 Determinazione del numero di Nusselt Se, infine, testo diversi fluidi con le stesse modalità descritte, posso ottenere la relazione sperimentale completa del tipo: Nu = a b Re Pr c Noto così il numero di Nusselt è possibile ottenere il coefficiente di scambio termico convettivo mediante la formula: h = Nu λ f H

28 Scambio termico per convezione La convezione naturale

29 Fenomenologia Si parla di CONVEZIONE NATURALE o LIBERA quando il campo di moto è determinato dall effetto di variazioni di densità in seno al fluido, prodotte da gradienti termici, in presenza di un campo di forze di massa. T s T(x,y) T Il caso più frequente, che sarà qui considerato, è quello in cui il campo di forze è quello gravitazionale. v(x,y) La risultante tra la forza di galleggiamento e la forza peso determina l andamento del moto. Il moto è verso l alto o il basso a seconda che il fluido lambisca un corpo a temperatura maggiore o minore. v=0 v =0 g F y x elemento di fluido Il moto tende pertanto ad avvenire in direzione verticale. Un fluido riscaldato tende a muoversi verso l alto; se è raffreddato verso il basso

30 g T s v turbolento laminare Fenomenologia Nella CONVEZIONE FORZATA la velocità è una variabile INDIPENDENTE. Nella CONVEZIONE NATURALE il campo di velocità dipende SOLTANTO da quello termico e NON è quindi è una variabile INDIPENDENTE. La velocità dipende da: la differenza di temperatura (T s -T ); il modulo della accelerazione di gravità (g); il coefficiente di dilatazione cubica del fluido (β). β = 1 v v T T T s >T p 1 = ρ ρ T p β dà un idea di come vari il volume specifico, e quindi la densità, in relazione a sollecitazioni termiche a pressione costante. Gas ideale β = 1 T -1 [ K ] Quanto maggiore è il suo valore, più pronunciata, a parità di altre condizioni, è la convezione naturale.

31 Fenomenologia Facciamo l equilibrio delle forze in gioco: T s T(x,y) T R = F g F p R = ρ g V ρ fluido fluido elem g V elem β = 1 v v(x,y) v=0 v =0 y v T x p F g F p 1 = ρ elemento di fluido ρ T p R ( ρ fluido elem ) g Velem = ρ Quindi la forza che determina il moto è proporzionale alla variazione di densità. Nel nostro caso da cosa è determinata questa variazione? 1 Δρ T β = ρ Δ p Δρ = β ρ ΔT

32 Fenomenologia T s v g T s >T T turbolento laminare All interno dello strato limite la velocità è nulla a contatto della lastra, ed è nulla all estremità opposta dello strato limite. Al di fuori dello strato limite il campo di moto non risente della presenza della lastra. Se la lastra è sufficientemente estesa nella direzione del flusso, il regime di moto, inizialmente LAMINARE per gli effetti viscosi presenti, diventa instabile e passa a TURBOLENTO, caratterizzato dalla presenza di vortici che causano mescolamenti estesi, macroscopici, delle particelle di fluido. g T s v T T s <T turbolento laminare

33 g T s v turbolento laminare Fenomenologia Nella CONVEZIONE FORZATA la velocità è una variabile INDIPENDENTE. Nella CONVEZIONE NATURALE il campo di velocità dipende SOLTANTO da quello termico e NON è quindi è una variabile INDIPENDENTE. La velocità dipende da: la differenza di temperatura (T s -T ); il modulo della accelerazione di gravità (g); il coefficiente di dilatazione cubica del fluido (β). β = 1 v v T T T s >T p 1 = ρ ρ T p β dà un idea di come vari il volume specifico, e quindi la densità, in relazione a sollecitazioni termiche a pressione costante. Gas ideale β = 1 T -1 [ K ] Quanto maggiore è il suo valore, più pronunciata, a parità di altre condizioni, è la convezione naturale.

34 Fenomenologia Facciamo l equilibrio delle forze in gioco: T s T(x,y) T R = F a F g R = ρ g V ρ elem elem fluido g V elem β = 1 v v(x,y) v=0 v =0 y v T x p F g F p 1 = ρ elemento di fluido ρ T p R ( ρelem fluido ) g Velem = ρ Quindi la forza che determina il moto è proporzionale alla variazione di densità. Nel nostro caso da cosa è determinata questa variazione? 1 Δρ T β = ρ Δ p Δρ = β ρ ΔT

35 Fenomenologia T s T(x,y) T R ( ρelem fluido ) g Velem = ρ Δρ = β ρ ΔT R Δρ ΔT v(x,y) v=0 v =0 y x F g F p elemento di fluido R Quindi ancora una volta abbiamo dimostrato che il motore dello scambio termico, in questo caso la convezione naturale, è la differenza di temperatura. ( ρelem fluido ) g Velem = ρ R = Δρ g V elem R = β g ΔT ρ V elem

36 Gruppi adimensionali T s turbolento Nella CONVEZIONE FORZATA il campo di moto viene messo in conto attraverso la velocità v; in particolare attraverso le forze d inerzia. v Nella CONVEZIONE NATURALE alla velocità si sostituisce il gruppo: g β ΔT Forza di galleggiamento g T T s >T laminare Al NUMERO DI REYNOLDS nella convezione forzata sostituiamo il numero di Grashof: Re = ρ v L μ Gr = Gr = Forze di galleggiamento Forze vis cose ( g β Δ ) ν 2 T L 3

37 Gruppi adimensionali T s turbolento Con considerazioni analoghe a quelle già viste nella convezione forzata, la relazione per il calcolo del numero di Nusselt (necassario per ottenere il coefficiente di scambio termico convettivo), sarà del tipo: v Nu=f(Gr,Pr) Nu = a Gr b Pr c g laminare Le velocità associate alla convezione naturale sono di norma molto basse (raramente superano i 2 m/s). T T s >T I valori di h sono quindi, di norma, molto più bassi di quelli riscontrabili nella convezione forzata.

38 Gruppi adimensionali g T s v T turbolento laminare Altro gruppo adimensionale molto usato nella convezione naturale è il NUMERO DI RAYLEIGH: Ra = Gr Pr 2 ρ = 3 2 ( g β ΔT ) L c p μ c p ρ ( g β ΔT ) 2 μ Per cui la relazione sperimentale diventa: Nu = a 1 Ra b 1 λ = μ λ L 3 T s >T

39 Correlazioni

40 Correlazioni

41 Esempi Convezione Forzata Convezione forzata: Lastra piana y v T v v(x,y) T s T T (x,y) δ(x) δ t (x) x Re = v L ν v L ρ Re = μ Re c Nu = a b Re Poiché la temperatura nello strato limite varia da T s at le proprietà del fluido vengono valutate alla temperatura media T m = T s + T 2 μ Pr = λ c p Pr c

42 Attrito v(x,y) T (x,y) v v y T T δ(x) δ t (x) x T s Il coefficiente di attrito C x come il coefficiente di scambio termico convettivo h varia con la distanza x dal bordo di attacco. Il valore medio si determina con: C f = 1 L x=l C f,x X=0 dx Permette di calcolare la forza di trascinamento F τ = C f A ρ V 2 2 N

43 Caso: Flusso Laminare Re c Se il numero di Reynolds è minore del Re c per tutta la lastra allora il moto laminare si estende per tutta la lunghezza L della stessa e Reynolds verrà indicato con Re L. Diversamente il moto la minare si estende per una lunghezza inferiore e Reynolds verrà indicato con Re x ; questo caso verrà affrontato più avanti. Le correlazioni che verranno indicate si riferiscono ad una lastra isoterma; possono essere applicate anche se la temperatura non è proprio uniforme. In questo caso va considerata la temperatura media della lastra. C f =1, 328 Re L 1/2 Nu = 0, 664 Re L 1/2 Pr 1/3 Valida per Re < Re c e Pr 0, 6

44 Caso: Flusso Turbolento Re Re c C f = 0, 074 Re L 1/5 Valida per Re L 10 7 Nu = 0, 037 Re L 4/5 Pr 1/3 Valida per Re L , 6 Pr 60

45 Caso: Flusso Laminare e Turbolento In alcuni casi la lunghezza della lastra piana risulta tale da produrre un flusso turbolento senza, però poter trascurare la parte interessata da flusso laminare. In questo caso i valori medi del coefficiente di attrito e del numero di Nusselt si ottengono per somma delle integrazione della parte di flusso laminare più la parte del flusso turbolento. Le correlazioni fornite dipendono dal valore del Re c ; Nel nostro caso si ipotizza: Re c = I valori medi valgono per l intera lunghezza L della lastra C f = 0, 074 Re L 1/ Re L Valida per Re L 10 7 Nu = ( 0, 037 Re 4/5 L 871) Pr 1/3 Valida per Re L , 6 Pr 60

46 Caso: Lastra Piana a Flusso Termico Costante Se la lastra piana anziché essere a temperatura costante è sottoposta a flusso termico uniforme i numeri di Nusselt sono dati dalle correlazioni: Moto Laminare Nu = 0, 453 Re 1/2 Pr 1/3 Moto Turbolento Nu = 0, 0308 Re0,8 Pr 1/3

47 Convezione Forzata. Modo di Procedere Determinare la Temperatura media T m per valutare le proprietà termofisiche del fluido Determinare le proprietà termofisiche del fluido a T m Determinare il Re L e confrontarlo con il Re c in modo da stabilire il regime di moto Trovare le correlazioni adatte Determinare i valori medi del Coefficiente di attrito e del Numero di Nusselt Determinare il flusso termico specifico o il flusso termico scambiato per convezione e la forza di trascinamento

48 Esempio 1 Un olio lubrificante non usato alla temperatura di 30 C, scorre con una v di 3 m/s sopra una lastra piana lunga L = 6 m e larga b = 1 m e la cui temperatura è di 80 C. Si calcoli il flusso termico scambiato e la forza di trascinamento Calcolo della T m T m =55 C Calcolo delle proprietà termofisiche del fluido: Bibliografia Tab. A.18 T ( C) ρ (kg m -3 ) λ (W m -1 k -1 ) ν (m 2 s -1 ) Pr ,144 2,420E ,141 1,234E ,140 8,390E

49 Esempio 1 Calcolo del Numero di Re L Re L = v L ν = 3 6 1, =1, Re L <Re c Regime di moto Laminare Correlazioni per valide per il moto laminare e per il nostro numero di Pr = 1505 C f =1, 328 Re L 1/2 Nu = 0, 664 Re 1/2 L Pr 1/3 per Re L < Re c e Pr 0, 6 Calcolo di C f e F τ C f =1, 328 ( 1, ) 1/2 C f = 3, F τ = C f A ρ V 2 2 F τ = 3, ( 6 1) = 81,39 N

50 Esempio 1 Calcolo del Numero di Nu medio Nu = 0, 664 Re 1/2 L Pr 1/3 per Re L < Re c e Pr 0, 6 Nu = 0, 664 Re 1/2 L Pr 1/3 = ( 1, ) 0,5 ( 1505) 1/3 = 2, Nu = h L λ h = Nu λ L h = 2, ,141 6 = 68,30 W m 2 K Calcolo del flusso q * = h ( T S T )= 68,30 50 = 3415 W m 2 q = q * A = 3415 ( 6 1)= W

51 Esempio 2 Un flusso d aria alla temperatura di 16 C e alla pressione P 101 kpa, scorre con una v di 2 m/s sopra una lastra piana lunga L = 3 m e larga b = 1 m e la cui temperatura è di 58 C. Si calcoli il flusso termico scambiato e la forza di trascinamento Calcolo della T m T m =37 C = 310 K Calcolo delle proprietà termofisiche del fluido: Bibliografia Tab. A.19 T ρ λ ν Pr (K) (kg m -3 ) (W m -1 k -1 ) (m 2 s -1 ) 310 1,143 0,0268 1,67E-05 0,712

52 Esempio 2 Calcolo del Numero di Re L Re L = v L ν = 2 3 1, = 3, Re L <Re c Regime di moto Laminare Correlazioni per valide per il moto laminare per Re c =510 5 C f =1, 328 Re L 1/2 Nu = 0, 664 Re 1/2 L Pr 1/3 per Re L < Re c e Pr 0, 6 Calcolo di C f =1, 328 ( 3, ) 1/2 C f = 2, F τ = C f A ρ V 2 2 C f e F τ 1,143 F τ = 2, ( 3 1) 2 =1, N

53 Esempio 2 Calcolo del Numero di Nu medio Nu = 0, 664 Re 1/2 L Pr 1/3 per Re L < Re c e Pr 0, 6 Nu = 0, 664 Re 1/2 L Pr 1/3 = ( 3, ) 0,5 ( 0, 712) 1/3 = 3, Nu = h L λ h = Nu λ L h = 3, , = 84,35 W m 2 K Calcolo del flusso q * = h ( T S T )= 84,35 42 = 3543 W m 2 q = q * A = 3415 ( 3 1) =10628 W

54 Esempio 3 Si consideri un abitazione mantenuta a temperatura costante e pari 22 C. Sulla parete di tamponamento ci sono tre finestre ciascuna alta h= 1,5 m e larga L = 1,2 m. Le finestre sono a vetro singolo (λ v = 0,78 W m -1 K -1 ) dello spessore di 0,5 cm. Il coefficiente di scambio termico convettivo all interno dell ambiente sia h i =8Wm -2 K - 1, quello esterno sia he = 10 W m -2 K -1 e la temperatura esterna Te = - 2 C. Ora comincia a soffiare un vento a 60 km/h, si determini il flusso disperso attraverso le tre finestre. Calcolo della temperatura della superficie del vetro nelle condizioni iniziali q * = T i T e 1 + s + 1 h i λ v h e q * = , , ,1 104 W m 2 1 T sv = T i q * + s = ( 0, , 006)= 8, 4 C = 281, 4K h i λ v Nelle condizioni iniziali le tre finestre disperdono q = q * A 3 =104 1, W

55 Esempio 3 Calcolo della T m T m =3,32 C = 276,5 K Calcolo delle proprietà termofisiche del fluido: Bibliografia Tab. A.19 T ρ λ ν Pr (K) (kg m -3 ) (W m -1 k -1 ) (m 2 s -1 ) 250 1,413 0,0223 1, , ,5 1,288 0,0243 1, , ,271 0,0246 1, ,717

56 Esempio 3 Calcolo del Numero di Re L Re L = v L ν = 16, 67 1, 2 1, =1, Re L >Re c Determiniamo la lunghezza critica Re c = v L c ν L c = Re ν c = , v 16, 67 = 0, 41 m Regime di moto misto

57 Correlazioni per valide per moto misto Esempio 3 Nu = ( 0, 037 Re 4/5 L 871) Pr 1/3 Valida per Nu = 2, Calcolo del flusso h = Nu λ = 41, 51 W L m 2 K Re L , 6 Pr 60 q * = h ( T S T )= 41, W m 2 Le tre finestre disperdono q = q * A 3 = 432 ( 1, 5 1, 2) 3 = 2331 W

58 Esempio 3 Se si fossero usate le equazioni per il moto turbolento Nu = 0, 037 Re L 4/5 Pr 1/3 Nu = 2830 Nu = h L λ h = Nu λ L h = 57,31 W m 2 K q * = h ( T S T )= 596 W q = q * A 3 = 3218 W m 2

59 Esempio 4 Si consideri una latra piana sottile di sezione quadrata di lato L = 0,8 m. Una faccia della lastra si trova a 65 C ed è rivolta verso un ambiente la cui temperatura di fluido indisturbato è 19 C. L altra faccia della lastra è isolata. Si trovi il flusso termico scambiato quando la lastra è posta verticalmente, orizzontalmente con la superficie calda verso l alto e con la superficie calda verso il basso. Calcolo dei parametri termofisici Convezione naturale ΔT = 35 C Dalla Tab. A19 T m = T s + T 2 = = 42 C = 315K β = 1 T m = 3, T ρ λ ν Pr (K) (kg m -3 ) (W m -1 k -1 ) (m 2 s -1 ) 310 1,143 0,0268 1, , ,127 0,0272 1, , ,110 0,0275 1, ,710

60 Esempio 4 Calcolo del numero Ra Ra = Gr Pr = g β ΔT L3 ν 2 Pr = ρ 2 ( g β ΔT) L 3 μ 2 Pr Ra = Gr Pr = g β ΔT L3 ν 2 Pr =1, Correlazioni per superfici verticali Nu = 0,1 Ra 1/3 Per 10 9 <Ra<10 13 Nu =110 h = Nu λ = 3, 747 q * = h ( T S T )=131 W L m 2 q = q * A = 83, 94 W

61 Esempio 4 Correlazioni per superfici orizzontali con superficie calda verso l alto Nu = 0,15 Ra 1/3 Per 10 7 <Ra<10 11 Nu =165,3 h = Nu λ = 56, 21 q * = h ( T L S T )=196, 7 W m 2 q = q * A =126 W

62 Esempio 4 Correlazioni per superfici orizzontali con superficie calda verso il basso Nu = 0, 27 Ra 1/4 Per 10 6 <Ra<10 11 Nu = 51, 6 h = Nu λ =1, 756 q * = h ( T L S T )= 61, 41 W m 2 q = q * A = 39,34 W