Strato Limite - Boundary layer

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1 1 Strato Limite - Boundary layer

2 Lo strato limite. Il fatto che il fluido nel quale un corpo è immerso sia viscoso implica che, a contatto con la parete solida, esso possieda velocità nulla (condizione di aderenza). La presenza della superficie all interno del fluido si farà sentire, alterandone la velocità, in una determinata regione del piano (se consideriamo un caso D) la cui estensione sarà determinata dall entità dei fenomeni viscosi rispetto a quelli inerziali. L importante parametro che definisce il rapporto tra le grandezze spazio-temporali dei fenomeni viscosi e quelle delle forze d inerzia è il numero di Reynolds già visto: Re ρul µ

3 Maggiore è il numero di Reynolds e minore è l effetto degli sforzi viscosi nel campo di moto. Nel caso limite di assenza di effetti viscosi (µ0) il numero di Reynolds tende all infinito. Al diminuire del numero di Reynolds la zona in cui il fluido risente della presenza del corpo, e nella quale prevalgono i fenomeni viscosi, si estende. Re0,1 Re0,1 Re ρul µ Re50 Re10 Re10 5 Re10 7 3

4 4 Lo strato limite è la zona di flusso compresa tra la parete (u0) ed il flusso indisturbato (uu). In pratica il flusso attorno ad un qualsiasi profilo può essere suddiviso in due zone: la prima, vicino a parete, consistente nello strato limite, all interno del quale prevalgono i fenomeni di natura viscosa. la seconda, lontano da parete, dove il fluido ha velocità pari ad U e nella quale i fenomeni viscosi sono trascurabili Lo strato limite è caratterizzato da forti gradienti di velocità in direzione normale al flusso. Se il numero di Reynolds è grande, infatti, in uno spazio relativamente piccolo si passa da velocità nulla (parete) a velocità pari a quella del flusso indisturbato.

5 5 Struttura dello strato limite Hp: fluido viscoso, incomprimibile. Strato limite che si sviluppa su lastra piana infinitamente lunga. Numero di Reynolds alto. Consideriamo due particelle fluide: l una che rimane nella zona di flusso indisturbato e l altra che attraversa lo strato limite che si sviluppa dal bordo d attacco della lastra. Caso Laminare Caso Turbolento

6 la prima particella è relativa ad una porzione del profilo di velocità che conserva la propria forma in quanto, attraversando unicamente la zona di flusso indisturbato, non è soggetta a particolari gradienti di velocità. la seconda, entrando nello strato limite, si distorce in quanto la velocità del flusso cresce man mano che ci si allontana dalla parete. La distorsione della particella fluida nello strato limite aumenta ulteriormente se si ha una transizione da strato limite laminare a turbolento. Nel strato limite laminare: il miscelamento avviene a livello molecolare Nel strato limite turbolento: 6 miscelamento su scale spaziali paragonabili con le dimensioni della particella fluida in questione.

7 7 Parametri descrittivi dello strato limite Si definisce spessore dello strato limite, δ, la distanza dalla parete alla quale il fluido possiede una velocità pari al 99% di quella indisturbata: δy dove u0.99u

8 8 Un altro importante parametro è lo spessore spostamento dello strato limite, δ*. Esso rappresenta lo spostamento che dovrebbe subire la parete per ottenere, con un profilo di velocità piatto pari a U, una portata equivalente a quella corrispondente al profilo reale (vedi figura alla pagina precedente). Dalla definizione possiamo scrivere: che implica δ * U ( U u) dy 0 u δ * (1 ) dy 0 U

9 9 Abbiamo detto che la componente della forza agente sul corpo parallela alla direzione del fluido rappresenta il Drag ovvero la resistenza offerta alla penetrazione. Per il secondo principio della dinamica tale forza è uguale alla variazione, in direzione del flusso, della quantità di moto del fluido tra una sezione a monte ed una a valle del profilo. Risulta perciò utile definire un parametro, lo spessore di quantità di moto dello strato limite, θ, come lo spostamento che dovrebbe subire la parete per ottenere, con un profilo di velocità piatto pari a U, un valore della quantità di moto equivalente a quella corrispondente al profilo reale, a pari portata: che implica ρθu ρ 0 u( U u) dy u u θ ( 1 ) dy 0 U U

10 10 Soluzione del Flusso La soluzione quindi del flusso sulla lastra piana è rappresentata dalla funzione g(η ) calcolata da Blasius con uno sviluppo in serie e sotto rappresentata: Lo sforzo di taglio diminuisce all aumentare della x a causa dell aumento di spessore dello strato limite minori gradienti di velocità in direzione y. Osservazione

11 11 Dalla soluzione si possono calcolare vari parametri e fare considerazioni: che u/u 0.99 quando η5.0. Dalla definizione stessa di η risulta quindi: νx δ δ 5 U x lo spessore spostamento e per lo spessore di quantità di moto: δ * x 1.71 θ ; Re x x Re Re lo sforzo di taglio a parete dalla soluzione x 5 x u τ w µ τ w 0.33U 3 y y 0 ρµ x

12 1 Equazione integrale dello strato limite. E possibile scrivere una Equazione Integrale dello strato limite che leghi fra loro i parametri integrali attraverso un bilancio di q.d.m.. su un volume di controllo come mostrato in figura τ w U ρ θ * + (θ + δ ) U x U x ; Con queste equazioni è molto semplice calcolare sforzo di taglio e forza resistente, anche se in maniera approssimata, conoscendo il profilo di velocità dello strato limite, oppure conoscendo empiricamente legami fra τ θ δ! P x 0;

13 Transizione. Le equazioni finora viste sono state ottenute per strati limite laminari. I risultati da esse fornite concordano con quelli sperimentali fino a che non si verifica il fenomeno della transizione che implica il passaggio dello strato limite da laminare a turbolento. Il parametro che governa la transizione è il numero di Reynolds - in questo caso il numero di Reynolds basato sulla distanza dal bordo d attacco della lastra e definito come Re x ρux µ Od altre forme più di dettaglio Re δ ρuδ µ Per una lastra piana la transizione avviene solitamente per x10 5 <Re x <3x

14 14 La transizione non avviene automaticamente per i valori di Re x precedentemente detti. Essa è un fenomeno legato all instabilità del flusso e può essere innescato da perturbazioni: se tali perturbazioni avvengono per valori di Re x lontani da quelli critici il flusso si rilaminarizza. Se, al contrario, tali perturbazioni avvengono in prossimità del Re x si ha la transizione e lo strato limite diventa turbolento. In realtà la transizione può innescarsi anche in zone ristrette della lastra per poi essere distribuite a valle (vedi foto)

15 15 La transizione da laminare a turbolento implica un notevole cambiamento del profilo di velocità; si possono infatti notare le seguenti caratteristiche: Il profilo di velocità turbolento è più piatto. Presenta gradienti di velocità in direzione normale a parete maggiori rispetto a quello laminare. Lo spessore dello strato limite è maggiore.

16 16 Lo strato limite turbolento. Lo strato limite turbolento è caratterizzato da un flusso molto complesso, disordinato ed irregolare. Non esistono soluzioni esatte per il flusso nello strato limite turbolento. Le uniche relazioni esistenti sono ricavate empiricamente. Per il profilo di velocità si usa la seguente espressione: u U y δ 1 7 Essa mostra un buon accordo con i risultati sperimentali, tranne molto vicino alla parete dove risulterebbe u/ y per y0.

17 17 Per lo sforzo di taglio a parete si usa la seguente formula, determinata anch essa sperimentalmente: τ w ν Uδ 0.05ρU 1 4 Da queste due espressioni e ricordando le definizioni di spessore di spostamento e di quantità di moto si ottengono le espressioni per tutti i parametri che descrivono lo strato limite: δ θ ν U 7 δ x 5 4 δ * τ w δ ρU Re 1 5 x

18 18 Osservazioni: Per il flusso nello strato limite turbolento lo spessore δ è proporzionale a x 4/5 mentre, per il laminare, δ variava con x 1/. Lo sforzo di taglio a parete τ w risulta proporzionale a x -1/5 nello strato limite turbolento e a x -1/ in quello laminare. In generale il coefficiente di drag C d per una lastra piana è funzione del Re e della scabrezza relativa ε/l. Il diagramma a lato, riportante C d in funzione del Reynolds e di vari valori di scabrezza relativa, ha molti punti in comune con il diagramma di Moody.

19 19 Effetti del gradiente di pressione. L analisi dello strato limite finora fatta vale per flussi su lastre piane nei quali, visto lo spessore trascurabile del corpo immerso nel fluido, la velocità al bordo dello strato limite corrisponde con quella del flusso indisturbato. Ciò implica l uniformità della pressione in tutto il campo di moto. Consideriamo un cilindro immerso in un fluido non viscoso a velocità uniforme U. Il flusso, dal punto di ristagno A, accelera fino a C per poi decelerare nuovamente fino a F. Essendo il fluido non viscoso tutto ciò avviene senza perdite di energia; l aumento di velocità si traduce in diminuzione di pressione e viceversa.

20 0 Si noti che la forza agente sul cilindro è in questo caso nulla in quanto le distribuzioni di pressione sono perfettamente simmetriche. Nel tratto A-C il flusso accelera diminuendo la propria pressione; in questi casi si dice che il fluido è soggetto ad un gradiente di pressione favorevole. Nel tratto C-F il flusso decelera aumentando la propria pressione; in questi casi si dice che il fluido è soggetto ad un gradiente di pressione avverso. Il gradiente di cui si parla è quello nella direzione del flusso; la pressione rimane costante, anche in questo caso, in direzione normale alla parete. Nel caso non viscoso il flusso è simmetrico attorno al cilindro in quanto, non essendoci perdita alcuna di energia, tutta la quota di pressione spesa per accelerare il flusso fino a C viene interamente recuperata nel tratto C-F a spese della quota cinetica.

21 1 Il discorso cambia se consideriamo un fluido viscoso. In questo caso Il flusso perde energia a causa degli effetti viscosi nello strato limite. Nel tratto A-C il flusso accelera diminuendo la propria pressione statica. Nel tratto a valle di C il flusso deve decelerare ed aumentare la pressione al fine di seguire la curvatura del cilindro. Avendo però dissipato parte dell energia posseduta, il flusso non riesce a recuperare tutta la pressione necessaria si ha una separazione di flusso (punto D).

22 Osservazioni: Dalla figura nella pagina precedente possiamo notare che la posizione della separazione di flusso dipende dalla natura del flusso. Uno strato limite turbolento, rispetto ad uno laminare, possiede più quantità di moto ed energia cinetica. Ciò in quanto il profilo ad esso associato è più simile, come forma, a quello corrispondente al flusso non viscoso; inoltre può esserci una considerevole quota energetica associata alle fluttuazioni turbolente di velocità, componenti di cui non teniamo esplicitamente conto considerando le velocità mediate nel tempo. Grazie a ciò un flusso con strato limite turbolento resta attaccato al cilindro più a lungo, rispetto ad un laminare, prima di separare. Il fenomeno della separazione può essere osservato attorno a qualsiasi altro profilo di spessore finito allorché si sia in presenza di un gradiente di pressione fortemente avverso.

23 3 Esempio: Nella figura sottostante viene mostrato un profilo alare in due diverse condizioni di incidenza del flusso. Nel primo caso (angolo di attacco0) non si ha separazione. Nel secondo caso il flusso separa nel punto D in quanto non riesce a recuperare una quantità sufficiente di pressione per poter seguire il profilo superiore dell ala.

24 4 Pressure Drag e Friction Drag. Ora è meglio comprensibile la distinzione delle tipologie di forza resistente agente su un corpo immerso in un fluido viscoso : i due contributi: Forza resistente dovuta all attrito D f. Essa è data dalla somma, su tutta la superficie del corpo, delle componenti di attrito agenti su elementi di area paralleli alla direzione del flusso indisturbato. La sua entità è data non dall intensità dello sforzo di taglio ma anche dall inclinazione della superficie su cui agisce. Forza resistente dovuta alla pressione D p. Essa è data dalla risultante di tutte le pressioni agenti sul corpo. Come è intuibile questo contributo dipende fortemente dalla forma del corpo.

25 Friction drag: Friction drag: la forza resistente su un corpo (simil lastra piana) di larghezza b e lunghezza l parallela alla direzione del flusso indisturbato può essere calcolata come: D f 1 ρu blc Df C Df è il coefficiente di friction drag. Il suo valore è funzione del Re e della scabrezza relativa e dell angolo di attacco del flusso. Pagina 5

26 Pressure (form) drag: Pressure (form) drag: La forza di pressione in direzione parallela al flusso Dp è data da: D p p cos ϑ da 1 ρ U AC Dp 1 ρ U C p cos ϑ da Dove C Dp è il coefficiente di pressure (form) drag mentre: C p *(p-p 0 )/ΔU è detto coefficiente di pressione θ è l angolo fra la normale alla parete e la direzione del flusso. Pagina 6

27 7 Esempio 1: Il vento alla velocità di 1 m/s passa su una lastra delle dimensioni di 9 lunghezza e 7 di altezza. La tavola è allineata alla direzione del vento. Determinare la forza esercitata sul lato piatto usando i seguenti dati: ρ1.177 kg/m3, µ18.46x10-6 Ns/m La forza di drag può essere calcolata con la presente equazione in cui A rappresenta l area esposta al vento: D f 1 ρu AC D Il coefficiente C D può essere calcolato, utilizzando il grafico riportato a lato relativo al flusso su lastra piana una volta calcolato il numero di Reynolds. ρvl 1.177*1*9 6 Re 6.9x10 µ x10 Per questo valore del Re C D La forza di drag è: D f 1 * N

28 8 Esempio: Determinare la forza D su un cilindro di lunghezza b immerso in un flusso viscoso ed incomprimibile. Lo strato limite rimane attaccato fino al punto di separazione a θ Lo sforzo di taglio a parete è dato, in termini adimensionali, dalla figura (b). lo sforzo di taglio a valle della separazione è trascurabile. Determiniamo per primo il contributo dovuto all attrito sulle pareti: D f τ sinθda w π D b τ wsinθdθ 0 Il coefficiente C Df può essere calcolato, utilizzando il parametro adimensionale F(θ) riportato in figura

29 9 C Df D f 1 1 ρu bd Re Integrando numericamente o graficamente la funzione F otteniamo il risultato C Df π 5.93 Re 0 F ( θ ) sinθdθ C Calcoliamo adesso il contributo dovuto alle forze di pressione: Dp π C 0 p cosϑdθ Dove C p è plottato in figura

30 30 Integrando numericamente o graficamente la funzione C p otteniamo il risultato C Dp 1.17 In definitiva il coefficiente di Drag agente sul cilindro è C D C Df + C Dp E interessante confrontare questo risultato con quelli sperimentali mostrati in figura. Per Re<10 le curve divergono in quanto le equazioni utilizzate non sono valide in questo campo. La differenza tra i risultati per Re>3x10 5 è dovuta alla transizione la quale altera la distribuzione di pressione.

31 31 Esempi di Drag e Lift su vari profili e in funzione di vari parametri. La forza resistente agente su un corpo è data dalla somma DD f +D p. I parametri principali dai quali dipende questa forza sono: Forma del profilo e Numero di Reynolds

32 3 Rugosità superficiale Angolo d attacco

33 33 Esempio Consideriamo un flusso uniforme entrante, con velocità pari a U 1 10 m/s, in un condotto a sezione quadrata di lato l m. Da calcoli avanzati risulta che lo spessore spostamento dello strato limite che si sviluppa sulle pareti è legato all ascissa secondo la formula δ * 0.007x 1 Si determini la velocità UU(x) dell aria nel condotto all esterno dello strato limite.

34 34 Se si assume, viste le basse velocità in gioco, che il flusso sia incomprimibile la portata in volume in ogni sezione del condotto deve essere pari a quella in ingresso Q 1 Q(x) ovvero: Q U 10m / s 3 ( m) 40m s 1 1A1 / Dalla definizione di δ*, la portata attraverso una generica sezione (x) è pari quella di un flusso con velocità uniforme U attraverso un condotto le cui pareti sono state spostate all interno di δ*. Ciò significa che ( x) uda 3 Q1 40m / s uda U (m δ *) ( x)

35 35 Inserendo nell ultima espressione la formula che lega δ* alla coordinata x si ottiene: 40m 3 / s 4U (1 007x 1 ) U x 1 m / s Si noti come la velocità U aumenti all aumentare della distanza x dall inizio del condotto. Ciò è dovuto al fatto che, aumentando con x lo spessore dello strato limite, il flusso vede un restringimento di sezione; dovendo la portata rimanere la stessa, la diminuzione di area deve essere compensata da un aumento della velocità.

36 36 Strato limite termico. In un flusso viscoso nel quale si abbiano gradienti di temperatura, oltre che di velocità, in direzione normale alla parete si può parlare di strato limite termico. La forma del profilo di temperatura è simile a quello di velocità: il parametro dal quale dipende la differenza tra le due distribuzioni è il Numero di Prandtl definito come: Prν/α(quota di diffusione viscosa)/(quota di diffusione termica)

37 37 Complementi analitici : Soluzione analitica per lo strato limite laminare (Prandtl- Blasius) All interno dello SL possiamo assumere il un flusso bidimensionale, stazionario, incomprimibile, laminare e con effetti della gravità trascurabili. E inoltre possibile introdurre le seguenti semplificazioni basate su osservazioni di natura geometrica e fluidodinamica: strato limite fine v << u << x y Equazioni Finali u x u u x p y v + y 0 0 u + v y u υ y continuità QDM-dir x QDM-dir y

38 38 Osservazioni: L equazione della q.d.m. lungo y è semplificata. Non compare la pressione che si mantiene costante attraverso lo strato limite. Le condizioni al contorno per queste equazioni sono: Uv0 per y0 u U per y Blasius ipotizza che, in forma adimensionale, i profili di velocità siano simili ovvero non funzioni della coordinata x; in formule ciò può essere espresso come: u y g g( η) U δ Dove g(y/δ) è una funzione da determinare. Da un bilancio di Q.M. si può dimostrare che vale la seguente relazione: 0. 5 δ νx U η U y ν x 0.5