Meccanica dei Fluidi II

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1 Politecnico di Milano D.I.I.A.R - sezione Ingegneria Idraulica Note degli insegnamenti di: Meccanica dei Fluidi II Corso di Studi in Ingegneria Meccanica - IV Facoltà di Ingegneria Flusso attorno a corpi immersi Strato Limite: principali caratteristiche ed effetti Caratteristiche generali di flussi esterni Concetti di LIFT e DRAG Strato limite tra superfici infinite Sviluppo dello strato limite Lamina piana Cilindro circolare Legami funzionali dei coefficienti di forza Dipendenza dalla forma Dipendenza da Re Dipendenza da Ma Dipendenza da Fr Dipendenza da ε / l Testo di riferimento: Fundamental of Fluid Mechanics Munson, Yung and Okiishi 1994 nd Ed. by John Wiley & Sons Inc. -Chapter 9 Meccanica dei Fluidi McGraw-Hill Cozzo, Santoro Cap.1 e 11 1

2 Flusso attorno a corpi immersi L oggetto è completamente circondato da fluido flussi esterni Interessano: campo di moto fluido e forze esercitate dal fluido Esempi: 1. aeroplano in volo. sommergibile 3. navi (circondate da due fluidi: aria e acqua) 4. automobile, bicicletta (Lift e Drag esercitati su tali corpi) 5. progettazione corretta di edifici in presenza di vento Approcci di studio: teorici (analitici e numerici) e sperimentali forze esercitate dal fluido

3 campo di moto fluido campo di moto fluido e forze esercitate dal fluido Study of sediment motion in a local scour hole through an image processing technique Malavasi S., Radice A., Ballio F. River Flow, Napoli (Italy) June Torrente Scrivia - Busalla (GE) estate

4 campo di moto fluido e forze esercitate dal fluido Tacoma Narrows Bridge (194) Caratteristiche generali di flussi esterni È solitamente più comodo utilizzare un sistema di riferimento solidale con il corpo in movimento e trattare il problema come fluido che fluisce attorno ad un corpo in quiete con velocità. Per i nostri scopi adotteremo l ipotesi che sia uniforme. La struttura di un flusso esterno e la facilità con cui questo può essere descritto ed analizzato dipende spesso dalla natura del corpo immerso corpi affusolati / tozzi. (a) Cilindro indefinito campo di moto -D (b) assialsimmetrico (c) 3-D 4

5 Concetti di LIFT e DRAG Interazione tra corpo e fluido sforzi tangenziali (τ) e normali (p) sforzi di pressione Effetti integrali degli sforzi: sforzi tangenziali DRAG (D) forza risultante nella direzione della velocità LIFT (L) forza risultante in direzione normale alla velocità Forze risultanti Caso 3-D forza normale al piano che contiene D e L Concetti di LIFT e DRAG / Componenti lungo (, y) della forza sull elemento di superficie da: y p da τ da da ϑ df = (p da) cos ϑ + (τ da) sin ϑ dfy = -(p da) sin ϑ + (t da) cos ϑ Componenti della forza totale lungo (, y) Per eseguire l integrazione è necessario: - forma (geometria) del corpo (ϑ(, y) lungo la superficie) - distribuzione di τ e p lungo la superficie di contorno La pressione può essere misurata abbastanza facilmente (celle di pressione lungo la superficie del corpo) Misure di sforzi tangenziali τ sono di più complessa esecuzione D = df = p cos ϑ da + τ sin ϑ da L = dfy = p sin ϑ da + τ cosϑ da Componente dovuta alla distribuzione di pressione Componente dovuta alla distribuzione di sforzi tangenziali (attrito) 5

6 Concetti di LIFT e DRAG Esempi Lastra piana parallela alla direzione del flusso di monte : y p = p() = (spessore trascurabile) p = Lift = p da + p da = Asup Ainf Drag = τ da + Asup τ da = Ainf τ da Asup Concetti di LIFT e DRAG Esempi Lastra piana normale alla direzione del flusso di monte: y p = a 1 b y p = c (spessore trascurabile) p= τ(y) = τ( y) Lift = τ da τ da = A front A back Drag = p da A front A back p da 6

7 D = df = p cos ϑ da + τ sin ϑ da L = dfy = p sin ϑ da + τ cosϑ da Determinazione i Drag e Lift Misura / calcolo del campo fluido-dinamico Misura diretta di forza Misura p e (τ) Coefficienti di Forza Adimensionali C D, C L, C M Coefficienti di LIFT e DRAG Noti i coefficienti di Lift e Drag di un corpo le forze che insistono sullo stesso si possono ricavare come : L = 1 1 C L D = C D ρ ρ A A Coefficienti di Lift e Drag: numeri adimensionali da determinare mediante (a) prove di laboratorio (galleria del vento/ canale idraulico), (b) analisi semplificate, (c) metodi numerici. Coefficiente di Lift Coefficiente di Drag L D C L = C D = 1 ρ 1 A ρ A A è un area caratteristica dell oggetto tipicamente, l area frontale N.B.: è importante definire quale area si utilizza nella definizione di C D e C L 7

8 Legami funzionali dei coefficienti di forza C L = f (forma, Re, Ma, Fr, ε/l, ) C D = f (forma, Re, Ma, Fr, ε/l, ) forma = caratteristiche geometriche dell oggetto immerso Re = numero di Reynolds (riferito ad una dimensione caratteristica dell oggetto) Ma = numero di Mach (rapporto tra la velocità del fluido e quella del suono nel fluido considerato) Fr = numero di Froude (riferito ad una dimensione caratteristica del problema) ε/l = scabrezza adimensionale Per motivare queste dipendenze funzionali è necessario considerare la struttura del campo fluidodinamico ed introdurre il concetto di STRATO LIMITE Profilo di velocità Strato limite superfici infinite Moto di un fluido tra due superfici piane, parallele e infinite. Moto Laminare Q h y Moto Turbolento La distribuzione di velocità dipende principalmente dal Numero di Reynolds della corrente Q h y i1 8

9 Profilo di velocità Strato limite superfici infinite Q y u(y) Spessore dello strato limite u(y) =.99* = u() Definizione di strato limite Prandtl ( ): regione prossima alla superficie del corpo all interno della quale gli effetti viscosi sono importanti u(y) =.99* = u() y u(y) Spessore dello strato limite Nota: All esterno dello strato limite il fluido si comporta essenzialmente come ideale. Ovviamente, la viscosità è sempre la stessa, ma all interno dello strato limite vi sono alti gradienti di velocità Strato Limite su Lastra Piana Infinita in Flusso niforme - Spessore di spostamento, * ( = y per cui u =.99 sembra arbitrario) y u =.99 (a) μ = u = Aree uguali (b) μ u = u(y) -u A causa del deficit di velocità, u, nello strato limite, la portata attraverso la sezione (b-b) è minore di quella attraverso (a-a). Comunque, se solleviamo la piastra di una appropriata quantità * le portate attraverso le due sezioni sono uguali. u * b = b ( u) dy * = 1 dy Lo spessore di spostamento, *, rappresenta la quantità di cui si dovrebbe aumentare lo spessore della lastra affinché il flusso ideale uniforme abbia la stessa portata dell effettivo flusso viscoso. (a) (b) 9

10 - Spessore della quantità di moto, Θ y u =.99 Strato Limite su Lastra Piana Infinita in Flusso niforme (a) μ = u = (b) μ u = u(y) Aree uguali -u A causa del deficit di velocità, u, il flusso di quantità di moto attraverso la sezione (b-b) è minore di quello attraverso (a-a). Il deficit del flusso di quantità di moto nello strato limite è ρu ( u) da = ρb u ( u) dy che, è il flusso di quantità di moto in uno strato di spessore Θ e velocità uniforme in cui Θ è dato da ρb Θ = ρb u ( u) dy u u Θ = 1 dy (a) (b) Struttura del campo di moto Strato Limite su Lastra Piana Infinita in Flusso niforme Spessore dello strato limite: = y per cui u =.99 Re = / ν No. di Reynolds della piastra (di spessore zero) Consideriamo la deformazione una particella All esterno, una particella rettangolare rimane tale (il fluido si comporta come ideale) La particella che entra nello strato limite iniza a deformarsi a causa dei gradienti di velocità (la velocità in alto è maggiore della velocità in basso) Dopo una certa distanza dall inizio della lastra, lo strato limite diviene turbolento e la particella iniza a subire distorsioni. Transizione tra flusso laminare e turbolento all interno dello strato limite avviene per Re cr E+5 E+6. 1

11 - Equazione integrale dei flussi di quantità di moto y h Linea di corrente (1) τ() () Obiettivo: det. della forza esercitata dagli sforzi tangenziali sul corpo Integrazione diretta equazioni differenziali Approccio integrale In direzione se b = larghezza D = Drag che la lastra esercita sul fluido () u Hp:pressione costante in tutto il campo di moto (ad es. in aria) F = ρ u v n da + ρ u v (1) Strato Limite su Lastra Piana Infinita in Flusso niforme () F = D = τ da = b τ ( A) ( lastra) NB: La forza netta causata dalla distribuzione uniforme di pressione non contribuisce al drag n da d Dal momento che la lastra è solida (contorno impermeabile) e la parte superiore del volume di controllo è una linea di corrente Strato Limite su Lastra Piana Infinita in Flusso niforme y Linea di corrente () h u (1) τ() () D = ρ (1) ( ) da + ρ u da () h è incognito, ma, per conservazione della massa deve essere sostituendo nell espressione di D D = ρb u dy ρb u dy D = ρ h = bh ρb u dy u dy D = ρb u ( u) dy = ρb Si ottiene quindi il drag in termini di deficit del flusso di quantità di moto attraverso la superficie di uscita del volume di controllo u e quindi funzione del profilo di velocità u Θ = 1 dy Θ 11

12 Strato Limite su Lastra Piana Infinita in Flusso niforme Fluido non-viscoso D (perchè u= ; infatti τ = quando μ = ) y Linea di corrente h () (1) τ() () u tilizzando Θ si può scrivere: D = ρb Θ (valida sia per moto laminare che turbolento) differenziando rispetto ad si ottiene la distribuzione di τ considerando che dd = b τ d dd d = bτ la conoscenza del profilo di velocità nello strato limite consente di risalire alla distribuzione di τ() τ dd d = ρb d = ρ Θ d dθ d Esempio: determinare lo sforzo tangenziale associato al profilo di velocità assegnato y Θ = u 1 u = per y > u = y / u dy = per y u 1 u dy = Strato Limite su Lastra Piana Infinita in Flusso niforme Azioni tangenziali: τ d = ρ Θ d Supponiamo di essere in condizioni laminari: u τ = μ y y y 1 dy = 6 y= = μ ( è funzione di ) Combinando le precedenti : μ ρ = 6 d d 6μ d = ρ d Integrando tra = ( = ) e la generica ascissa a cui lo spessore dello strato limite è 6μ = ρ = ν τ =.89 3/ ρμ 1

13 In generale, se consideriamo un generico profilo di velocità (Y = y/) u u = g(y ) per Y 1 = 1 per Y > 1 con le condizioni: g() = e g(1) = 1 (dg/dy =, per Y = 1) 1 D = ρb D = ρb C 1 con C1 = g( Y )[1 g( Y )] dy u τ = μ y μ = dg dy 1 μ = u( u) dy = ρb g( Y )[1 g( Y )] dy y= Y = Y = C con Strato Limite su Lastra Piana Infinita in Flusso niforme C = dg dy Forza di Drag Sforzo alla parete μc d = ρc 1 d (integrando) = νc C 1 = C / C1 Re Spessore Strato Limite su Lastra Piana Infinita in Flusso niforme In definitiva, le dipendenze funzionali di e τ dalle grandezze fisiche ρ, μ, e sono sempre le stesse. Le costanti variano in funzione del profilo di velocità assunto. Re / 1/ 1 ( μ / ρ ) = const. τ 3 ( ρμ / ) 1/ (in cui Re = ρ /μ) Lineare: u / = y / Parabolico: u / = y / ( y / ) Cubico: u / = 3(y / )/ ( y / ) 3 / Sinusoidale: u / = sin [π (y / )/] Per una lastra piana di lunghezza l e larghezza b, la forza di drag di attrito, D, può essere espressa in funzione del Coefficiente C Df l b τ d l 1/ D C C C 1 1 μ Df = = = d = 1 1 bl bl l ρ ρ ρ 8C C 1 Re l in cui Re l = ρ l/μ 13

14 -Transizione da flusso laminare a turbolento Per lastre sufficientemente lunghe, ad un certo punto il moto nello strato limite diviene turbolento (il parametro che governa tale transizione è il Numero di Reynolds e Re cresce) Re cr è una funzione complessa di: scabrezza superficiale, curvatura della superficie (lastra o sfera), disturbi nella corrente esterna,... Transizione tra flusso laminare e turbolento all interno dello strato limite avviene per Re cr Transizione non limitata ad un punto, ma generalmente coinvolge un regione del corpo. Cambia il profilo di velocità nello strato limite Strato Limite su Lastra Piana Infinita in Flusso niforme Tipici profili di velocità su lastra piana - Strato limite turbolento Strato Limite su Lastra Piana Infinita in Flusso niforme Struttura molto complessa, random ed irregolare. Velocità non-stazionaria e varia in una maniera casuale. Non esiste soluzione esatta al problema dello strato limite turbolento (dal momento che non c è una espressione precisa per τ turbolenti; τ = ρ u v ) Soluzioni numeriche, integrazione diretta delle equazioni di Navier-Stokes Il coefficiente di drag, C Df, per una lastra piana di lunghezza l, è funzione del Numero di Reynolds, R el, e della scabrezza relativa, ε/l 14

15 Strato Limite su corpi tozzi -Effetti del gradiente di pressione In generale, quando il flusso incontra un oggetto che non sia una lastra piana, il campo di pressione non è più uniforme. In generale, la pressione lungo la normale locale alla superficie ha gradienti trascurabili; al contrario, la pressione lungo la superficie del corpo varia significativamente se questo è curvo Esempio: flusso di fluido non-viscoso (μ = ) attorno ad un cilindro indefinito Pressioni sulla superficie Velocità alla superficie Esempio: flusso di fluido viscoso (μ ) attorno ad un cilindro indefinito Nel passaggio dal A a F la particella è soggetta alla medesima distribuzione di pressione della corrente ideale esterna, ma stavolta, a causa della viscosità, ci sono perdite di energia la particella non ha energia sufficiente per vincere tutto il gradiente avverso di pressione e risalire sino al punto F sul retro dell oggetto. A causa dell attrito, una particella non riesce a viaggiare dal fronte al retro rimanendo attaccata al corpo. Esempio del ciclista che scende in una valle e poi tenta di risalire, pedalando. Il fluido avanza nella zona di gradiente avverso fin che può, poi si stacca dalla superficie (separazione). Alla localizzazione di separazione (profilo D) il gradiente di velocità alla parete è nullo (zero τ). Oltre tale punto, il flusso si inverte nello strato limite. 15

16 Influenza del n. di Reynolds e della forma del corpo sullo strato limite Lamina piana l Re = ν l = lunghezza della lamina Re =.1 Re = 1 Re = 1 7 Cilindro circolare indefinito D Re = ν D = diametro del cilindro Re =.1 Re = 5 Re = 1 5 Legami funzionali dei coefficienti di forza C L = f (forma, Re, Ma, Fr, ε/l, ) C D = f (forma, Re, Ma, Fr, ε/l, ) forma = caratteristiche geometriche dell oggetto immerso Re = numero di Reynolds (riferito ad una dimensione caratteristica dell oggetto) Ma = numero di Mach (rapporto tra la velocità del fluido e quella del suono nel fluido considerato)? Fr = numero di Froude (riferito ad una dimensione caratteristica del problema)? ε/l = scabrezza adimensionale Nota: Di seguito si discutono i risultati sperimentali ottenuti relativi a C D ; analoghi studi sono presenti in letteratura anche per C L (ad esempio Munson et al. 1994) 16

17 Dipendenza di C D dalla forma 1/ l/d =!!Attenzione alla def. di C D!! D b >> l,d l l/d Coefficiente di drag per un ellisse con area caratteristica A = bdoppure A = bl l/d CD i16 Dipendenza di C D dalla forma / In figura: due oggetti di diverse dimensioni (in scala) e forma che soggetti alle stesse C.C. sviluppono la stessa forza di Drag 1 D A parità di diametro dei due corpi, la zona di scia a valle del corpo profilato è molto più ridotta, rispetto alla scia del cilindro i17 17

18 Dipendenza di C D dal Numero di Reynolds 1/3 Re molto bassi (Re <1) Effetti inerziali trascurabili D = f (, l, μ) Da considerazioni dimensionali D = C μ l In cui: C dipende dalla forma del corpo D C C D = 1 = Re ρ l Disco circolare normale al flusso d Re = ρ l/ μ C D =.4 / Re Disco circolare parallelo al flusso d C D = 13.6 / Re Sfera d C D = 4. / Re i18 Dipendenza di C D dal Numero di Reynolds /3 Corpi affusolati C D Re 1/ Corpi tozzi C D costante (1 3 < Re < 1 5 in figura) C D in funzione di Re per cilindro circolare e sfera lisci C D varia bruscamente quando lo strato limite diventa turbolento 1 5 < Re < 1 6 i19 18

19 Dipendenza di C D dal Numero di Reynolds 3/3 Corpi affusolati: C D cresce quando lo strato limite diviene turbolento la maggior parte del drag è dovuta ad azioni tangenziali, che sono più alte in moto turbolento che in laminare. Corpi tozzi (cilindro, sfera, etc.): C D decresce quando lo strato limite diviene turbolento lo strato limite può penetrare molto di più nella zona a gradiente avverso di pressione. Ne risulta una più sottile regione di scia a valle, con riduzione del drag di pressione Coefficiente di drag per corpi di diversa forma in funzione di Re i Dipendenza di C D dalla comprimibilità - All aumentare della velocità del corpo, la comprimibilità del fluido non è più trascurabile -Bassi valori di Ma comprimibilità poco importante - Alti valori di Ma comprimibilità molto importante (solo effetti secondari di Re) Esistenza di onde di shock per Ma vicino ad 1 Numero di Mach Ma = / c c: velocità del suono nel fluido i1 19

20 Dipendenza di C D dalla scabrezza superficiale - Entra in gioco quando il moto nello strato limite è turbolento - La Scabrezza altera gli sforzi tangenziali alla parete (τ) e Re a cui avviene la transizione - Corpi affusolati: il drag aumenta con la scabrezza superficiale (ali degli aereoplani il più liscie possibile) - Corpi tozzi (cilindro, sfera, etc.): un aumento della scabrezza superficiale può anche causare una diminuzione del drag. Andamento del C D di una SFERA con Re al variare della scabrezza relativa ε/d Esempio Pallina da golf: D = 4.3 cm, peso =.44 N, = 6 m/s Pallina da ping pong: D = 3.8 cm, peso =.5 N, = m/s Determinare: Drag per la palla da golf liscia e scabra e per la palla da ping pong. Drag = ½ ρ ¼ π D CD Palla da golf Re = ρd/μ Palla da ping pong Re = ρd/μ Palla da golf scabra: CD =.5 Drag =.83 N Palla da golf liscia: CD =.51 Drag = 1.68 N Palla da ping pong: CD =.5 Drag =.1 N i Dipendenza di C D dal numero di Froude Fr = g l C Dw = coefficiente di Drag riferito alla sola dipendenza di Froude (fenomeni di interazione con la superficie fluida); come è evidenziato in figura questo coefficiente è influenzato fortemente dalla forma. i3

21 L istazionarietà intrinseca e non dell interazione fluido-struttura Sources of ecitation: EIE EIE eraneously iduced ecitation IIE Instability induced ecitation MIE Movement induced ecitation EOF Ecitation due to fluid oscillation IIE MIE EOF EIE eraneously iduced ecitation = (, y, z, t) u=u(, y, z, t) ; v=v(, y, z, t); w=w(, y, z, t) analogamente per v e w u u=u m +u L=L(t) D=D(t) t D D = D m + D L = L m + L L t 1

22 IIE Instability induced ecitation Classificazione delle tipologie di scia in caso di corpi prismatici Leading-edge vorte shedding (LEVS) Impinging leading-edge vorte (ILEV) Sh=f D/V Trailing-edge vorte shedding (TEVS) Alternate-edge vorte (AEVS)