APPUNTI SULLA CONVEZIONE

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1 APPUNTI SULLA CONVEZIONE Definizione del fenomeno Nello scambio di calore per convezione almeno uno dei due elementi che partecipano è un fluido. Esaminiamo il caso più semplice: una parete piana (verticale o orizzontale) lambita da un fluido. Se la parete ed il fluido sono alla stessa Temperatura, il fluido rimane fermo e non si ha scambio di calore; vi sono soltanto moti Browniani ma complessivamente il fluido rimane in quiete. Se la lastra ha una T maggiore di quella del fluido, il generico volumetto di fluido (indicato per brevità con dv) a contatto con la lastra si riscalda ed aumenta il proprio volume, poiché tutti i corpi per effetto di un ΔT positivo tendono a dilatarsi in misura maggiore o minore a seconda del valore del coefficiente di dilatazione termica β. l aumento di volume modifica la situazione precedente di equilibrio: all interno della massa ogni volumetto di fluido dv è soggetto alla Forza peso ed alla forza di Archimede che, in assenza di dilatazioni, si equivalgono. Quando il fluido si scalda il suo volume aumenta ma il peso resta lo stesso, quindi la Forza di Archimede aumenta e supera la forza peso: il generico dv di fluido tende a salire. In conclusione, il riscaldamento del fluido provoca una dilatazione di volume generando una spinta verso l alto: l effetto globale è una corrente ascensionale di fluido, ossia un MOTO CONVETTIVO che, come in questo caso in cui la parete è più calda, è diretto verso l alto; in caso contrario è diretto verso il basso. In seguito alla corrente ascensionale nuovo fluido proveniente dalle zone circostanti andrà a sostituire quello caldo spinto verso l alto. 1

2 LA CONVEZIONE IMPLICA QUINDI NECESSARIAMENTE UN TRASPORTO DI MASSA ASSOCIATO AL TRASPORTO DI CALORE. Inoltre, in questo caso il trasporto di massa (cioè il moto del fluido) è diretta conseguenza dello scambio di calore: si parla di CONVEZIONE NATURALE, ossia in quei casi in cui il trasporto di massa è funzione del solo scambio termico e viceversa senza l azione di agenti esterni. In altri casi, infatti, il fluido potrebbe essere già in moto rispetto alla parete (ad esempio spinto da un compressore in caso di gas o da una pompa centrifuga in caso di un liquido); se fluido e parete hanno la stessa temperatura non c è ovviamente scambio termico, ma se le due temperature sono diverse lo scambio di calore avviene come al solito: in questo caso però il trasporto di calore non è collegato al trasporto di massa, poiché quest ultimo è regolato da componenti esterni (pompe, compressori, ventilatori, ecc.). In questo caso si parla di CONVEZIONE FORZATA. Il concetto di strato limite Il moto complessivo del fluido ha per effetto il trasferimento di calore a seguito di un trasferimento di massa. Tutto ciò avviene ad una certa distanza dalla parete poiché, se ci si pone nelle immediate vicinanze, essendo la parete ferma, anche il fluido a contatto sarà fermo. Tale strato di fluido fermo è dovuto anche alla scabrezza della superficie: in pratica è come se il fluido ricoprisse le asperità superficiali del materiale, ma esse generano ostacolo al movimento e, attaccato alla parete, il fluido è praticamente fermo. A mano a mano che ci si allontana dalla parete la velocità v del fluido inizia a crescere fino a raggiungere il valore medio assunto in fase massiva, ossia la velocità nominale del fluido v* (molti testi riportano v cioè la velocità del fluido a distanza infinita dalla lastra, il che equivale a dire la velocità nominale del fluido in una condizione in cui l effetto della lastra non si esplica più). Praticamente, allontanandosi dalla parete la velocità del fluido aumenta da v=0 fino a v=v*: si definisce STRATO LIMITE di VELOCITA o STRATO LIMITE FLUIDODINAMICO lo strato di fluido all interno del quale la velocità aumenta da v=0 fino al 99% della velocità nominale, ossia fino a v=0,99v*. 2

3 In maniera molto più esplicativa si puo ricorrere al caso in cui un fluido si immetta dentro una tubazione: all imbocco avrò un profilo di velocità per cui v=0 sulla parete e velocità crescenti via via che il fluido percorre cammino all interno della tubazione. 3

4 All interno di questo strato limite, il fluido può muoversi in regime laminare o turbolento, cosi come si può avere regime laminare o turbolento anche in fase massiva: lo strato limite rappresenta solo lo spessore di liquido nel quale si passa da v=0 ad un regime di velocità che al 99% è quello massivo. E ovvio che se in fase massiva il fluido ha regime laminare, lo spessore dello strato limite sarà maggiore; mentre se in fase massiva il moto è completamente turbolento lo spessore dello strato limite sarà molto piccolo. In ogni caso, a contatto con la parete vi sarà sempre una pellicola di liquido ferma (una specie di sottostrato laminare), il cui spessore dipende dalla scabrezza del materiale, dalla viscosità del fluido e da altri parametri chimico-fisici. Molto spesso (o comunque nei casi per cui questa approssimazione è valida) se la velocità massiva del fluido è alta (quindi il moto è pienamente turbolento) lo strato limite di velocità coincide quasi con la pellicola di liquido ferma aderente alla parete. 4

5 Il coefficiente di convezione Come già visto, rispetto alla conduzione nella convezione i meccanismi che regolano lo scambio di calore sono molto più complessi. Nella convezione si adotta un approccio diverso: partendo da un equazione generale, si fa riferimento a casi reali per i quali sono note le geometrie ed i parametri del problema (lastra piana orizzontale o verticale, tubo percorso internamente dal fluido, tubo lambito esternamente dal fluido, serie di tubi, ecc.) e per ognuno di essi si risolvono di volta in volta le equazioni che regolano il trasferimento di calore. Equazione generale Tale equazione si basa sui seguenti assunti: il calore scambiato deve comunque essere proporzionale al ΔT tra fluido e parete indipendentemente che lo strato limite coincida o meno con la pellicola, il calore, partendo dalla parete, deve attraversare uno strato di liquido completamente fermo: praticamente è come se fosse una seconda parete attaccata alla prima. Si potrebbe usare l espressione di Fourier per la conduzione su pareti composte, ma il problema è che non si conosce lo spessore della pellicola poiché il liquido nella pellicola è fermo, tale strato di fluido è comunque anisotropo quindi non si possono assegnare gli stessi valori dei parametri chimico-fisici calcolati per la fase massiva. L effetto della pellicola, con il suo spessore non calcolabile e la sua anisotropicità, viene inglobato nel parametro h coefficiente di convezione (o coefficiente di pellicola) per cui si ha Q = A h ΔT Formula generale di Newton per la convezione (notare la similitudine con l espressione di Fourier per la conduzione, dove si potrebbe affermare che h = K / s). Il calcolo del calore scambiato per convezione si riduce quindi al calcolo dei coefficienti di pellicola, calcolo che come detto viene fatto caso per caso (lastre, tubi, ecc.) Calcolo dei coefficienti di convezione h Il calcolo di h è fatto sfruttando una tecnica matematica conosciuta come ANALISI DIMENSIONALE. Essa si basa su un importante teorema detto 5

6 Teorema π o Teorema di Buckingham Ogni legge fisica può essere espressa attraverso una relazione tra parametri adimensionali Il numero N di questi parametri è pari alla differenza tra il numero di grandezze fisiche P da cui dipende il fenomeno meno il numero F di unità di misura fondamentali necessarie alla definizione dei parametri precedenti La relazione tra questi parametri adimensionali va scritta sotto forma di prodotto ESEMPIO: calcolo di h per convezione forzata entro tubi 1) Scelta dei parametri chimico-fisici dai quali dipende h, si potrebbe ipotizzare: h = f (ρ, v, d, µ, Cp, K) più il posizionatore che per semplicità non metterò nel calcolo; quindi in totale P = 7 2) Unità di misura: analizzando le unità di misura dei 7 parametri precedenti, si nota come le UM fondamentali si riducano a quattro: Massa (kg), Lunghezza (m), Tempo (s), Temperatura ( C o K non fa differenza), Quindi F = 4 3) Per il Teorema di Buckingham N = P F = 7 4 = 3 parametri adimensionali Questo problema di convezione forzata, ossia il calcolo del coefficiente di pellicola in questo caso, può essere fatto utilizzando 3 gruppi adimensionali. Con la pratica, conoscendo il problema, si potrebbero già scegliere i gruppi adimensionali adatti, ma facciamo il caso che non si conoscano e quindi vanno determinati: per la determinazione dei gruppi adimensionali si ricorre appunto all analisi dimensionale, qui proposta con il metodo degli indici. Indichiamo con: M unità di misura della massa t u.m. del tempo T u.m. della temperatura Q u.m. del calore L u.m. della lunghezza Esplicitiamo h in funzione dei singoli parametri, tenendo conto che la dipendenza per il momento è del tutto generica (quindi ogni parametro è elevato ad un esponente generico): 6

7 h = Φ ( ρ a v b d c µ d Cp e K f ) e sostituendo le unità di misura si ottiene: h = Φ b M L 3 l a L b b l t Poiché le unità di misura di h sono: Q h = T t L 2 ] Lg c b t M L d l b Q l e b Q M T t L T f l è ovvio che la somma delle grandezze a secondo membro deve essere uguale a quelle del primo membro; si ottiene così un sistema di cinque equazioni: Z a + d - e =0 _ ] b ] -3a + b + c - d - f =- 2 b [ -b - d - f =-1 ` ] -e - f =- 1 b ] e + f = 1 b \ a che risolto fornisce: a = b c = a - 1 d = e a f = 1 e che sostituiti: h = Φb M L 3 l a b L l a ] t Lg a ] Lg -1 b t M l e b L t M l -a L b Q l e b Q M T t L T l b Q l -e t L T raggruppando quindi le grandezze con lo stesso esponente si ottiene: 7

8 h = Φ R Va S M L L W S L 3 t S t M W L W T X R S S S T t M Q L M T Q t L T Ve W W W X b Q l t L T ] Lg -1 ed esplicitando le grandezze fisiche dalle unità di misura si ottiene Prof. Andrea Franchi h K D ρ v d = c µ a m b C p µ l e K Il primo membro è il NUMERO DI NUSSELT h D Nu = K mentre a secondo membro il numero nella prima parentesi è il Numero di Reynolds ed il secondo è il Numero di PRANDTL. Pr = Cp µ K L equazione risolutiva del problema di convezione diventa quindi: Nu = Φ oppure se vogliamo h = Φ d K ] Reg a ] Prg b ] Reg a ] Prg b che permette di calcolare il coefficiente di pellicola h. Resta solo da determinare (in via sperimentale, considerando di volta in volta le varie geometrie) i valori delle costanti numeriche Φ, a e b. Di seguito sono riportati alcuni esempi di equazioni sperimentali per la convezione naturale e forzata 8

9 Formule sperimentali per il calcolo del n di Nusselt: CONVEZIONE FORZATA Campo di validità: (R E ) Calcolo del Numero di Nusselt N U = Φ Re a Pr b Autori Note Φ a b < (D/X) 1/ Elser L/D<20 (teorico) < Sieder e (D/X) 1/3 Tate Valore medio tra 0 e X>20 D < (D/X) 1/ Pohlhausen Teorico per parete piana Bohm Giulianini e (D/X) 0.37 al. 1.2D<X<20D > (D/X) 1/ Nusselt > (D/X) 1/ Kraussold Liquido riscaldato > (D/X) 1/ Kraussold Liquido riscaldato > (D/X) 1/3 7/ Elser Teorico > Dittus e Boelter > Dittus e Boelter > Sieder e Tate (D I /D E ) Monrad e Pelton Fluido riscaldato Fluido raffreddato Per prodotti petroliferi Aria o acqua 9

10 Formule sperimentali per il calcolo del n di Nusselt: CONVEZIONE NATURALE Situazione Geometrica Campo di validità ( R A = G R P R ) Nu= Φ Gr b Pr c Autori Note Φ b c Superficie cilindrica orizzontale < Mc Adams Nu e Gr Calcolati in funzione del diametro D Superficie piana o cilindrica verticale Mc Adams Nu e Gr calcolati in funzione della estensione verticale L Superficie piana orizzontale, quadrata di lato L Fishenden e Saunders Flusso di calore verso l alto Idem, verso il basso Sfera Bromhame Mayhew Strato verticale di altezza H e spessore L: una parete verticale più calda dell altra. < 2000 Pr ( ) Pr ( ) Pr < (H/L) -1/ (H/L) - 1/ (H/L) -1/ Jakob Emery e Chu Nu e Gr calcolati in funzione di L. Relazioni valide per l aria Idem, relazioni per liquidi, con 3< Pr <

11 Significato fisico dei principali numeri adimensionali utilizzati nei fenomeni convettivi NUMERO DI NUSSELT Praticamente rappresenta l incremento della potenza termica trasmessa per convezione rispetto a quella trasmessa per pura conduzione. ρ x v x d Re= µ = f o r z e d i i n e r z i a f o r z e v i s cose NUMERO DI REYNOLDS Se il moto è laminare, prevalgono le forze viscose di coesione tra le molecole del fluido; viceversa, nel moto turbolento prevalgono le forze inerziali di moto. G r = β x g x ΔT x L 3 x ρ 2 f o r z e d i g a l l e g g i a m e n to = µ 2 f o r z e d i a ttr i to v i s coso NUMERO DI GRASHOF I numero di Grashof trova utilizzo in regimi di convezione naturale (in cui essendo molto basse le velocità lineari dei fluidi, il moto sarà di tipo laminare e perciò l intero processo di scambio termico risulterà meno dipendente dal Numero di Reynolds). Il coefficiente di dilatazione termica β evidenzia quanto si dilati il gas al variare della temperatura: In generale β varia al variare della temperatura. Sarà quindi opportuno risalire al valore corretto utilizzando tabelle specifiche. Maggiore è Gr, maggiore risulterà lo scambio termico per convezione naturale Pr = C p x µ K = d i f f u s i v i ta ' d e l l a q. d i m o to d i f f u s i v i ta ' d e l c a l o r e NUMERO DI PRANDTL Si può considerare a tutti gli effetti come una proprietà chimico-fisica del fluido: in pratica dà una misura di come un fluido diffonde simultaneamente il calore e la quantità di moto (ossia un trasferimento di massa): ad esempio, Pr è minimo (<0,01) nei metalli liquidi nei quali il calore diffonde più rapidamente della quantità di moto (ossia delle singole molecole); è invece massimo (> 10 5 ) per gli oli pesanti. 11

12 ALTRI NUMERI ADIMENSIONALI IMPORTANTI 12

13 Se moto laminare a=b Convezione forzata Nu = f (Re a x Pr b ) Nu = f (Pe) Convezione naturale Nu = f (Gr a x Pr b ) Nu = f (Ra) >>1 CONV. FORZATA Se la convezione è mista: Re 2 G r =1 MISTA N u m i s to n = (N u n a tu r a l e n + N u f o r z a ta ) 1/n n=3 per superfici verticali 3<n<4 per superfici orizzontali <<1 CONV. NATURALE 13

14 SCAMBIO DI CALORE PER CONVEZIONE: FORMULE UTILIZZATE NOTE h lato tubo K h = 0,027 x x (Re) 0,8 x (Pr) 0,33 di h lato anello K h = 0,027 x x (Re) 0,8 x (Pr) 0,33 Deq HAIRPIN ΔP Continue Lato anello Localizzate Lato anello Ltot ΔPc = f x (Deq) * v ΔPc = n 2 x 2g v 2 x 2g (Deq)*= Di - de 1,056 f = 0, , 42 (Re* ) n=num. Hairpin ΔP lato tubo ΔPc = f x Ltot v 2 x di 2g L tot =2L x n hairpin 1,056 f = 0,014 + (Re) 0, 42 h lato tubi K h = 0,027 x x (Re) 0,8 x (Pr) 0,33 di FASCIO TUBIERO ΔP h lato shell Continue Lato tubi Localizzate Lato tubi Deq in base alla disposizione dei tubi K h = 0,36 x x (Re) 0,55 x (Pr) 0,33 Deq ΔPc = f x Ltot v 2 x di 2g v ΔPc = 4n 2 x 2g f dal grafico Ltot=Lt x n n= n passaggi lato tubo ΔP lato shell ΔPc = f x Ltot v 2 x Deq 2g f dal grafico Ltot= Dis x n diafr. n dia=l/lb 14

15 CONVEZIONE NATURALE h esterno ai tubi e superfici piane h entro tubi Tubi cilindrici Orizz. e vertic. Parete piana verticale Parete piana orizz. Faccia superiore Parete piana orizz. Faccia inferiore K h = 1,86 x x (Re x Pr x di ΔT h = 3,6 x ( de ) 0, 25 0, 25 h = 1,525 x (ΔT) 0, 25 h = 2,145 x (ΔT) 0, 25 h = 1,14 x (ΔT) di ) 0, 33 x l 2,25 x (1+ 0,01xGr 0, 33 ) log Re ΔT in C de in cm REATTORI INCAMICIATI CON AGITATORE L K l 2 xρ xn h = 0,36 x x ( µ ) 0, 66 0, 33 x (Pr) di = lunghezza agitatore n= n giri/s 15

16 NUMERI E PARAMETRI IMPORTANTI ρ x v x d Numero di Reynolds Re = µ Cp x µ Numero di Prandtl Pr = K Numero di Grashof Gr = β x g x ΔT x L 3 x ρ 2 µ 2 h x d Numero di Nusselt N u = K Numero di Rayleigh Ra = Gr x Pr Numero di Peclet Pe = Re x Pr Costante di Stefan-Boltzmann σ = 4,87 x 10-8 kcal / (h m 2 K 4 ) Legge di Wien T x λ = 0, (m x K) 16